山西太原市第二外国语学校教育集团（太原市第十八中学）2026～2027学年高一上学期10月集中练习数学试卷

太原二外教育集团 2026-2027 学年度第一学期 10 月集中练习 高一年级数学 一、单选题（每题 3 分，满分 24 分） 1．已知集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 2．若 ，，则（　　） A． B． C． D． 3．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 或 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 4．已知实数集合 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知集合 ，，，则 ，， 之间的关系是（　　） A． B． C． D． 6．高一 2 班共有 28 名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有 15 人、8 人、14 人．同时参加集体项目和田径比赛的有 3 人，同时参加集体项目和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（　　）人 A． B． C． D． 7．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知不等式 成立的充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． D． 二、多选题（每题 3 分，满分 9 分） 9．下列叙述正确的是（　　） A．， B．命题“，”的否定是“， 或 ” C．命题“，”的否定是真命题 D．设 ，，则“ 且 ”是“”的必要不充分条件 10．对于集合 ，，我们把集合 且 叫做集合 与集合 的差集，记作 ．已知集合 ，．则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（　　） A．不等式 的解集是 B．若 ，则 的最小值为 C．若 ，，则 D．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 三、填空题（每题 3 分，满分 9 分） 12．若集合 只有 2 个子集，则 的取值集合是______． 13．已知 ，则 的最小值为______． 14．已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围是______． 四、解答题（15 题 10 分，16 题 10 分，17 题 10 分，18 题 13 分，19 题 15 分） 15．（10 分）已知集合 ，． (1)若 ，求集合 ，； (2)设 ，若 ，求实数 的值． 16．（10 分）已知集合 ，． (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)设命题 ：，命题 ：，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 17．（10 分）已知 ，，且 ． (1)证明：． (2)求 的最小值． 18．（13 分）已知命题 ：，，命题 ：，． (1)若两个命题都是真命题，求实数 的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围． 19．（15 分）若集合 具有以下性质： ①，； ②若 ，，则 ，且 时，． 则称集合 是“好集”． (1)分别判断集合 ，有理数集 是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合 是“好集”，求证：若 ，，则 ； (3)设集合 是“好集”，求证：若 ，则 ． 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原二外教育集团 2026-2027 学年度第一学期 10 月集中练习　参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B A B A D D BC ABD ABD 1．已知集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求并集，再求补集． 【解答】，所以 ，选 A． 2．若 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 得 ，再与 同向相加． 【解答】因为 ，所以 ；又 ，两式同向相加得 ，选 C． （A、D 在 或负数时不成立，B 中 与 无法比较．） 3．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 或 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式即 ，由解集用韦达定理． 【解答】不等式即 ，解集为 或 ，所以 ，且 、 是 的两根， 由 ，，得 ，代入得 ，即 ，， 所以 ，选 B． 4．已知实数集合 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 且 分类讨论 在 中的来源，注意集合元素的互异性． 【解答】因为 ，所以 ，即 或 或 ． 若 ，则 中元素重复，不合题意； 若 ，则 （ 已舍），此时 ，，由 得 ，即 ； 若 ，则 ，由 得 ，即 ，，不合题意， 所以 ，，，选 A． 5．已知集合 ，，，则 ，， 之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把三个集合的元素通分成同分母，比较“分子模几余 1”． 【解答】，，， 所以 ；又 也是 的形式，所以 ， 而 但 ，故 是 的真子集， 所以 ，选 B． 6．高一 2 班共有 28 名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有 15 人、8 人、14 人．同时参加集体项目和田径比赛的有 3 人，同时参加集体项目和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（　　）人 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用容斥原理先求出同时参加田径和球类的人数，再求只参加集体项目的人数． 【解答】设同时参加田径和球类比赛的有 人，由 得 ， 只参加集体项目的有 人（无人同时参加三项）， 所以共有 人，选 A． 7．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用 把 拆开，凑基本不等式． 【解答】， 当且仅当 ，即 （此时 ，）时取等号， 所以最小值为 ，选 D． 8．已知不等式 成立的充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】D 【分析】“ 是充分不必要条件”即 是 的真子集． 【解答】由题意 ，且不能相等， 所以 且 ，即 ， 此时 一定比 大（长度为 ），符合“不必要”，选 D． 9．下列叙述正确的是（　　） A．， B．命题“，”的否定是“， 或 ” C．命题“，”的否定是真命题 D．设 ，，则“ 且 ”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【分析】逐项判断真假：A 看判别式，B 看否定的写法，C 看反例，D 看推出关系． 【解答】A：， 恒成立，错误； B：特称命题的否定是全称命题，且 的否定为 或 ，正确； C：原命题的否定为“，”，取 成立，是真命题，正确； D： 且 能推出 ，反之不成立（如 ，），应为充分不必要条件，错误．故选 BC． 10．对于集合 ，，我们把集合 且 叫做集合 与集合 的差集，记作 ．已知集合 ，．则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】按差集定义逐项计算． 【解答】A： 中不在 中的元素是 、，所以 ，正确； B： 中不在 中的元素只有 ，所以 ，正确； C：，错误； D：，去掉 得 ，正确．故选 ABD． 11．下列说法正确的是（　　） A．不等式 的解集是 B．若 ，则 的最小值为 C．若 ，，则 D．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 【答案】ABD 【分析】逐项求解或求最值． 【解答】A：，即 ，解得 ，正确； B：由 得 ，即 ，当 时取等号，正确； C：，所以 的取值范围是，与所给区间不符，错误； D：由 得 ，即 ， 所以 ，当 时取等号，正确．故选 ABD． 12．若集合 只有 2 个子集，则 的取值集合是______． 【答案】 【分析】“只有 2 个子集”即集合 恰有 1 个元素，分 与 讨论． 【解答】集合 只有 2 个子集，说明 中恰有 1 个元素． 当 时，方程化为 ，，符合； 当 时，需 ，即 （此时 ），符合， 所以 的取值集合是 ． 13．已知 ，则 的最小值为______． 【答案】 【分析】换元 ． 【解答】令 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以最小值为 ． 14．已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围是______． 【答案】 【分析】，按 、 有两个元素、 只有一个元素三类讨论． 【解答】． 当 时，方程化为 ， 不是 的子集，不合； 当 时：若 ，则 ，即 ，符合； 若 ，则 且 ，解得 ，符合； 若 只有一个元素，则 ，即 ，此时 ，不在 中，不合， 所以 ． 15．（10 分）已知集合 ，． (1)若 ，求集合 ，； (2)设 ，若 ，求实数 的值． 【答案】(1)，；(2) 【分析】(1)由 且 求 ；(2)由补集只有一个元素确定 与 的关系． 【解答】(1)由 知 且 ， 由 得 或 ，再由 得 ， 此时 ，，所以 ，． (2)由 知 ， 且 中其余元素都在 中， 所以 ，且 ，解得 或 ， 当 时 中元素重复，不合题意， 当 时 ，，，符合， 所以 ． 16．（10 分）已知集合 ，． (1)若 ，求实数 的取值范围； (2)设命题 ：，命题 ：，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1) 即 ，注意 的情形；(2) 是 的真子集． 【解答】(1)当 ，即 ， 时，符合题意； 当 ，即 时，由 得 且 ，即 且 ，所以 ， 综上 ． (2) 是 的充分不必要条件，即 是 的真子集． 当 时 ，此时 是 的真子集 成立； 当 时需 且 ，即 ，又 （因 需 与 同时成立，无解）， 综上 ． 17．（10 分）已知 ，，且 ． (1)证明：． (2)求 的最小值． 【答案】(1)证明见解答；(2) 【分析】(1)用基本不等式；(2)先化为关于 的函数，再用基本不等式． 【解答】(1)因为 ，，，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，得证． (2)因为 ，所以 ， 设 ，则 ， ， 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号， 而 在 的范围内可以取到（如 ，）， 所以最小值为 ． 18．（13 分）已知命题 ：，，命题 ：，． (1)若两个命题都是真命题，求实数 的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】先把两个命题为真的条件化成关于 的不等式． 【解答】对命题 ：由 对一切 成立，得 ； 对命题 ：方程有实根，，得 或 ． (1)两命题都真： 且（ 或 ），所以 ． (2)恰有一个为真： 若 真 假，则 且 ，得 ； 若 真 假，则 且（ 或 ），得 ， 所以 ． 19．（15 分）若集合 具有以下性质： ①，； ②若 ，，则 ，且 时，． 则称集合 是“好集”． (1)分别判断集合 ，有理数集 是否是“好集”，直接写出结论； (2)设集合 是“好集”，求证：若 ，，则 ； (3)设集合 是“好集”，求证：若 ，则 ． 【答案】(1) 不是“好集”， 是“好集”；(2)(3)证明见解答 【分析】(1)按定义检验；(2)用 再相减；(3)分 与 讨论，关键是用 造出 ． 【解答】(1) 不是“好集”（取 ，，则 ）；有理数集 是“好集”． (2)因为 ，，所以 ， 又 ，所以 ． (3)若 或 ，则 ； 若 且 ，则 且 ，， 所以 ，，从而 ，且 ， 所以它的倒数 ， 再由(2)得 ． 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $