精品解析：山西省晋城市第一中学校2026～2027学年高一上学期第一次调研考试数学试题

晋城一中 2026—2027 学年第一学期高一第一次调研考试试题 数　学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 命题人：翟树杰；审题人：聂慧明 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共 40 分） 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，且，则集合的个数为（ ）． A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 4. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式 的解集是 ，则 的范围是（　　） A. B. C. D. 8. 设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 二、多选题（共 18 分） 9. 已知关于的不等式的解集为. 则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式 的解集是 10. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共 15 分） 12. 已知集合 ，，则满足 的集合 的个数为______． 13. 已知，则的取值范围为______. 14. 已知函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（共 77 分） 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 16. 已知，为正实数，且， （1）求的最大值. （2）求的最小值； （3）求的最小值. 17. （1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 18. 已知，关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 19. 设集合，． （1）求集合中元素的最小值和最大值； （2）用表示集合中所有元素的和． （i）求； （ii）设是正整数集的一个子集，且，对于任意正整数，都存在的子集，使，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋城一中 2026—2027 学年第一学期高一第一次调研考试试题 数　学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 命题人：翟树杰；审题人：聂慧明 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共 40 分） 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的定义判断. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以为：，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题，集合，，则 3. 已知集合，，且，则集合的个数为（ ）． A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算及集合间的关系，得到，进而求解即可. 【详解】因为，则， 又，所以集合的个数为． 4. 某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有2人 B. 只参加100米比赛的有3人 C. 只参加400米比赛的有3人 D. 只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【解析】 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用不等式的性质求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，所以，即，得， 将代入中，得，即，得， 所以. 7. 若不等式 的解集是 ，则 的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据是否等于0分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立列不等式组求解即可. 【解答】当 ，即 时，原不等式为 ，解集为 ，满足条件. 当，即 时，需满足 ， 即 ，解得 ， 综上，   的范围是，即 ． 8. 设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A 二、多选题（共 18 分） 9. 已知关于的不等式的解集为. 则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式 的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 10. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求解判断. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共 15 分） 12. 已知集合 ，，则满足 的集合 的个数为______． 【答案】 【解析】 【详解】先求出 ，再由 判断集合中的元素情况，进而求个数即可． 【解答】， 由 知 必含 ， 而 三个元素各自可以“在 中”或“不在 中”，共 种， 所以满足条件的集合 有 8 个． 13. 已知，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求出目标式的范围. 【详解】依题意，， 由，得，而， 因此，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件求出的最小值小于的最小值即可求出实数的取值范围. 【详解】已知， 条件：使得，则条件等价于 求，是一个开口向上的二次函数， 对称轴介于区间内，故， 求，，对称轴 ：对称轴，在上递增，最小值在：， ：对称轴在内，最小值在：， ：对称轴，在上递减，最小值在：， 求， ： ，得， ：， 即， 恒成立，所以全成立， ：， 对恒成立，得， 综合可得： 故答案为： 四、解答题（共 77 分） 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和两类情况讨论求的取值； （2）由题意可得，求解中方程的根，结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 解方程，得或，故． 因为，所以． 当时，，满足； 当时，方程的解为，则， 若，解得；若，解得． 综上所述，实数的取值集合为． 【小问2详解】 由得，解得或． 因为“，都有“为真命题，则，且． 当，即时，，显然，符合条件； 当时，，由得，解得，此时，符合条件． 综上所述，实数或． 16. 已知，为正实数，且， （1）求的最大值. （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； 【小问2详解】 ， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； 【小问3详解】 设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 17. （1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在实数使得， 因为集合，集合， 所以，解得，显然无解， 所以不存在实数使得 （2）存在，；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）假设存在实数使得，再根据集合关系求解范围即可判定； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）转化为，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 18. 已知，关于的不等式的解集为或. （1）求的值； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为：或；当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：；当时，不等式的解集为：. （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程的根的概念，可求的值. （2）对的值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式，可解关于的不等式. （3）分离参数，转化为恒成立问题，通过求函数的值域得的取值范围. 【小问1详解】 由题意：1，（）是方程的两根. 由；由或（舍去）. 故：，. 【小问2详解】 原不等式可化为：. 若，则，解得：； 若，则，解得：或； 若，则， 当，即时，解得：； 当，即时，解得：； 当，即时，解得：. 综上可知：当时，不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. 【小问3详解】 问题转化为：对恒成立. 所以：. 因为恒成立，所以，. 因为. 设，则，， 且. 因为，当且仅当时取“”. 所以，所以，所以. 所以. 所以的取值范围是：. 【点睛】方法点睛：求参数的的取值范围，可以分离变量，化成，恒成立的问题，再结合基本不等式，求式子，的最大值即可. 19. 设集合，． （1）求集合中元素的最小值和最大值； （2）用表示集合中所有元素的和． （i）求； （ii）设是正整数集的一个子集，且，对于任意正整数，都存在的子集，使，求的最小值． 【答案】（1）最小值，最大值； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）观察集合中元素的结构，可将其视为六位二进制数转化为十进制的结果，当各项系数全为0时取得最小值0，全为1时取得最大值； （2）（i）由第（1）问可知集合实际上包含了从0到63的所有连续整数，直接求和即可； （ii）利用最值原理，集合中所有元素之和必须不小于360，由此构建不等式 ，估算出，再构造特例，利用“每一项不超过前面所有项之和加1即可无缝隙覆盖”的结论，验证其确实能表示1到360，从而证明27可以取到. 【小问1详解】 当时，中元素取得最小值； 当时，元素为，取得最大值． 事实上，中的每个整数都有唯一的六位二进制表示，故． 【小问2详解】 （i）． （ii）设的元素和为，要表示，需； 又中元素互不相同且都不超过，所以， 由得（，）． 下面说明可以取到：取， 由于满足“首项为 ，且每一项都不超过前面所有项之和加”，所以的每个整数都可表示为的某个子集的所有元素之和， 因此对任意，都存在的子集使． 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $