专题01 三角形21大题型（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

专题01 三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 考点六 05 重难题型突破 题型一 三角形的相关概念 题型二 三角形的三边关系 题型三 三角形的中线求解 题型四 三角形的高线 题型五 全等三角形的概念 题型六 全等三角形的性质 题型七 全等三角形的判定 题型八 补全全等三角形的证明 题型九 直角三角形全等的判定 题型十 全等三角形的判定与性质 题型十一 倍长中线模型 题型十二 旋转模型 题型十三 一线三等角模型 题型十四 线段垂直平分线 题型十五 角平分线 题型十六 等腰三角形的判定 题型十七 等腰三角形的性质 题型十八 等边三角形的判定与性质 题型十九 含30度角的直角三角形 题型二十 斜边的中线等于斜边的一半 题型二十一 等腰三角形的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版八上期中，这一几何板块分值约 24～34 分，占试卷 20%～28%，是重中之重。选择、填空、解答均有涉及，常互相融合命题，全等证明是解答必考题型，也会和勾股定理综合，属于拉开差距的核心几何内容。 2. 题型特点 选择填空侧重三角形三边关系、内外角计算、垂直平分线与角平分线性质、等腰角度计算；解答以全等证明为主，搭配边角转化。常出现折叠、简单动点，重视逻辑推理，命题贴合课本例题，注重定理的交替使用。 3. 难度分布 基础题占一半以上，直接套用定理计算角度、线段；中档题需要多次边角转化、选择合适全等判定；难题多为解答压轴或填空压轴，需要构造全等、等腰，难点在于辅助线添加，极易忽略等腰三角形分类讨论而漏解。 4. 备考方向 熟记各类定理，区分性质与判定；熟练全等五种判定方法，规范证明格式；总结角平分线、垂直平分线、等腰三角形常见辅助线；强化分类讨论训练，练习从复杂图形中分离基础模型，减少推理跳步、条件乱用的问题。 识记 识记三角形分类、三边关系、内角和与外角性质；熟记全等三角形判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和性质；牢记线段垂直平分线、角平分线的性质与判定；熟记等腰三角形等边对等角、三线合一，分清各定理条件结论，准确复述，不混淆。 理解 理解三角形外角转化、三边取值限制；理解全等是图形完全重合，判定定理的适用前提；理解垂直平分线、角平分线上点的距离含义；理解等腰三角形三线合一的内在逻辑，能结合图形区分性质与判定，理清边角转化的推理链条。 应用 会利用三角形性质导角、求边长；能选择合适判定证明全等，用全等转移边角；会用垂直平分线、角平分线进行等线段转化；能解决等腰三角形分类讨论问题，规范几何证明书写，善于构造全等、等腰模型完成推理计算。 考点一 三角形及其性质 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形 . 2.三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ △ABC ”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 4.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 5.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图， ∠ACD 是△ABC的一个外角. （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角 的和 （2）三角形的一个外角 大于 任意一个与它不相邻的内角 考点二 三角形的高、中线和角平分线 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 文字语言 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 图形语言 作图语言 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 过点A作AD⊥BC于点D． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 1.AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3.AD⊥BC于点D． 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 推理语言 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 用途举例 角度相等． 1.线段相等． 2.面积相等． 1.线段垂直． 2.角度相等． 注意事项 与角的平分线不同． — 1.与边的垂线不同． 2.不一定在三角形内． 重要特征 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 考点三 全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 3.判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等. 2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合. 考点四 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 考点五 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 考点六 全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 考点七 尺规作图 1、作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2、作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3、作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4、过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5、作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 考点八 等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个叫是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 考点九 直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 一半 的三角形可以证的是直角三角形； 题型一 三角形的相关概念 典例1（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 迁移应用 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，边BE所对的角是___，所对的边是__；在中，边AE所对的角是___，所对的边是____；以为内角的三角形有______． 题型二 三角形的三边关系 典例2（26-27八年级上·江苏泰州·期中）下列每组数分别表示三条线段的长度，能构成三角形的是（     ） A．3，4，8 B．4，7，10 C．5，6，11 D．2，3，6 迁移应用 1．（25-26八年级下·重庆·期中）若一个三角形的两条边长度分别为2和5，则它的第三边边长可能为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，为了估计一池塘岸边两点，之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点，测得，，那么点与点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 题型三 三角形的中线求解 典例3（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 迁移应用 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，若，则_____． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（    ） A． B． C． D． 题型四 三角形的高线 典例4（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 迁移应用 1．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，为边上的中线，于点E，于点F， ，则（   ） A． B．3 C．2 D． 题型五 全等三角形的概念 典例5（26-27八年级上·江苏徐州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．面积相等的三角形一定是全等三角形 B．周长相等的三角形一定是全等三角形 C．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 D．以上说法都不对 迁移应用 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六 全等三角形的性质 典例6（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，则的长为______． 迁移应用 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 2．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，点在边上，与交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求与的周长之和． 题型七 全等三角形的判定 典例7（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，点、、、在直线上，点、在直线异侧，已知，，． (1)求证：； (2)求证：． 2．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 题型八 补全全等三角形的证明 典例8（25-26八年级上·北京西城·期末）已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 迁移应用 1．（26-27八年级上·浙江杭州·期中）如图，点为中点，，，则． 解：∵是的中点， ∴①________． 在和中， ∴③________（④________）， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·福建福州·期中）请你根据以下材料解决下列问题： 已知：．求作：，使得． 作法：如下图． （1）作． （2）在射线上截取，在射线上截取． （3）连接线段，则即为所求作的三角形．                   (1)根据作图痕迹补全证明． 由作图可知，在和中， 所以_______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①    ②     ③     ④ 题型九 直角三角形全等的判定 典例9（26-27九年级上·广东阳江·期中）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 迁移应用 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，于点，点为上一点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，则的长为_______． 题型十 全等三角形的判定与性质 典例10（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）按要求完成下列各题： (1)如图，在中，求证： (2)如图，中，，，过作直线平行，连接，且，那么线段和的关系是什么？并说明理由． 迁移应用 1．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，且，． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设与交于点，连接．若，求． 2．（26-27八年级上·河北衡水·期中）如图，点在的边上，且，平分交于， 交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 题型十一 倍长中线模型 典例11（26-27八年级上·广东江门·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 迁移应用 1．（26-27八年级上·福建莆田·期中）按要求解答： (1)【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． (2)【变式与应用】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． (3)【问题拓展】如图2，，，与互补，连接，是的中点，试说明：． 2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做非全等积三角形． (1)如图1，在中，，若P为上一点，当的长为________时，与是非全等积三角形； (2)如图2，D为上一点，与是非全等积三角形，，，且线段为奇数，则的值为________； (3)如图3，与是非全等积三角形，，，求证：． 题型十二 旋转模型 典例12（25-26八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 迁移应用 1．（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．    (1)求证：CH平分，并求的度数； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 题型十三 一线三等角模型 典例13（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 迁移应用 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在和中，，，点，，在一条直线上，，连结交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求的长． 题型十四 线段垂直平分线 典例14（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 迁移应用 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十五 角平分线 典例15（26-27八年级上·广东广州·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．延长至点，求证：平分； 迁移应用 1．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，平分，垂直平分，交于点G，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求，的长． 题型十六 等腰三角形的判定 典例16（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 1．（26-27八年级上·黑龙江大庆·期中）如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, (1)求证： 是等腰三角形． (2)若，，求的长和的度数． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 题型十七 等腰三角形的性质 典例17（2026八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，点是上一点，平分，． 求证： (1)； (2)． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏淮安·期中）如图中，是边上的高线，是边上的中线，点G为中点，． (1)求证：； (2)若的面积为，，则的面积为________． 2．（26-27八年级上·福建南平·期中）在四边形中，，，平分． (1)【问题发现】如图1，若时，与的数量关系为_______________，依据是_______________． (2)【问题解决】如图2，求证：； (3)【问题拓展】如图3，在中，，，平分，利用（2）的结论求证：． 题型十八 等边三角形的判定与性质 典例18（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，．，的延长线与相交于点F．连接、． (1)求证：； (2)若．求的长． 迁移应用 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 2．（26-27八年级上·湖南长沙·期中）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______； 【探究】 (2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 (3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 题型十九 含30度角的直角三角形 典例19（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，中，是边上的高，是边上的中线，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数与的长． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，是的角平分线，，是，的高，连接，交于点O． (1)试说明：垂直平分． (2)，，，，求的长． 2．（26-27八年级上·广西桂林·期中）综合与探究 【提出问题】 如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形，并标注，，然后让同学们提出有效问题并解决． 请你结合同学们提出的问题给予解答． 【初步探究】 (1)甲同学提出：__________°． (2)乙同学提出：的面积为__________． 【深入探究】 (3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形中，取边的中点，过点分别作，，垂足为，．求的值． 【类比探究】 (4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形中，在边上任取一点，过点分别作，，过点作，垂足为，，．求证．请你帮助丁同学写出证明过程． 题型二十 斜边的中线等于斜边的一半 典例20（26-27八年级上·江苏·期中）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 2．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二十一 等腰三角形的存在性问题 典例21（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，，，点从点出发，沿着方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿着的方向以的速度匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒 (1)求的长度 (2)当点在边上运动，且时，求的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 迁移应用 1．（24-25八年级下·吉林白城·期中）某校机器人兴趣小组在如图所示的直角三角形场地上开展训练．已知，米，米．机器人从点C出发，沿着的边按的方向匀速运动到点C停止；机器人运动的速度为2米/秒，运动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）． (1)的长是 米； (2)是否存在这样的时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级上·吉林四平·期中）如图，在中，，，，．点M在的延长线上，，作射线，点 D 从点B 出发，沿射线的方向以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点M出发，沿射线的方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知 D、Q两点同时出发，运动时间为t秒． (1)_______； (2)连接，当时，是等腰三角形，求a 的值； (3)当点D 在线段上运动时，过点D作于点E，当点D在的平分线上时，求的长； (4)连接，是否存在a，使得与全等，若存在，请直接写出a 的值；若不存在，请说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）下面四组小棒（单位：厘米），其中的三根小棒无法围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 2．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，与全等，顶点与与与分别对应．已知，，那么中等于（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是边上的中点，且，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 5．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，D是的中点，E是的中点，若，则___________． 7．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）在中，，，点D为的中点，则_________ 8．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，点的对应点为点，点的对应点为点．若，，则的长为________． 9．（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 10．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 11．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．求证：； 12．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在边上，，． (1)用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； (2)结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 13．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 14．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 15．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，连接， (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若，求的周长． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，，添加下列条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 17．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 18．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 19．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 20．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，与相交于点E，，，，且平分．下列结论：①；②；③，其中结论正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）已知，如图：，点在边上，且，在边上确定一点，若的形状和大小能唯一确定，则的取值范围为________． 22．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________． 23．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，和的外角平分线、交于点P，于点E．若的周长为12，，，则______；______． 24．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点F、G，若，，，则的值为______． 25．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，是边长为6的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为______． 26．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）已知，如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 27．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 28．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，线段、交于点． (1)若，添加一个条件________，可直接由“”判定； (2)在满足的条件下，当点是的中点且时，求证：是等边三角形． 29．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接．设运动时间为（单位：s）． 【初步探究】 (1)如图1，若，求的值． 【拓展延伸】 (2)如图2，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时的值． ②如图3，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出的值． 30．（26-27八年级上·江苏南京·期中）【阅读材料】物理学中的费马原理指出：光从一点传到另一点，总是沿“路程最短”的路线传播（直线传播、镜面反射都是如此）．可见“最短”是自然界普遍遵循的法则，而数学上实现“最短”的核心手段只有一个——把折线拉直（两点之间，线段最短）．我们已经会用“对称”把两条线段的和拉直；现在难度升级：三条线段的和，还能拉直吗？ 【问题情境】某园区要在形如的区域内建一座光信号中继站P，用三条直的光缆分别连接、、三地（的三个内角都小于）．怎样选址，才能使三条光缆的总长最小？ (1)探究一  作图与猜想如图1，尺规作图： ①以为边，在的外部作等边三角形； ②以为边，在的外部作等边三角形； ③连接、，设它们相交于点． 求证：． (2)探究二  证明“最小”填空： 如图2，设是内任意一点．把绕点旋转（旋转后点恰好落在点处），得到等边，点落在点处．易得______，______；所以_____；再说明探究一中作出的点恰好使等号成立，从而求出的最小值． (3)探究三  两两成与临界退化 由探究二，等号成立时、、、四点在同一条直线上，则，点就是使得三条光缆总长最小的中继站点． 如图3，在形如的区域中，若，则将中继站建在点处．此时三条光缆的总长最小，为________（用的边长表示），并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 考点六 05 重难题型突破 题型一 三角形的相关概念 题型二 三角形的三边关系 题型三 三角形的中线求解 题型四 三角形的高线 题型五 全等三角形的概念 题型六 全等三角形的性质 题型七 全等三角形的判定 题型八 补全全等三角形的证明 题型九 直角三角形全等的判定 题型十 全等三角形的判定与性质 题型十一 倍长中线模型 题型十二 旋转模型 题型十三 一线三等角模型 题型十四 线段垂直平分线 题型十五 角平分线 题型十六 等腰三角形的判定 题型十七 等腰三角形的性质 题型十八 等边三角形的判定与性质 题型十九 含30度角的直角三角形 题型二十 斜边的中线等于斜边的一半 题型二十一 等腰三角形的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版八上期中，这一几何板块分值约 24～34 分，占试卷 20%～28%，是重中之重。选择、填空、解答均有涉及，常互相融合命题，全等证明是解答必考题型，也会和勾股定理综合，属于拉开差距的核心几何内容。 2. 题型特点 选择填空侧重三角形三边关系、内外角计算、垂直平分线与角平分线性质、等腰角度计算；解答以全等证明为主，搭配边角转化。常出现折叠、简单动点，重视逻辑推理，命题贴合课本例题，注重定理的交替使用。 3. 难度分布 基础题占一半以上，直接套用定理计算角度、线段；中档题需要多次边角转化、选择合适全等判定；难题多为解答压轴或填空压轴，需要构造全等、等腰，难点在于辅助线添加，极易忽略等腰三角形分类讨论而漏解。 4. 备考方向 熟记各类定理，区分性质与判定；熟练全等五种判定方法，规范证明格式；总结角平分线、垂直平分线、等腰三角形常见辅助线；强化分类讨论训练，练习从复杂图形中分离基础模型，减少推理跳步、条件乱用的问题。 识记 识记三角形分类、三边关系、内角和与外角性质；熟记全等三角形判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和性质；牢记线段垂直平分线、角平分线的性质与判定；熟记等腰三角形等边对等角、三线合一，分清各定理条件结论，准确复述，不混淆。 理解 理解三角形外角转化、三边取值限制；理解全等是图形完全重合，判定定理的适用前提；理解垂直平分线、角平分线上点的距离含义；理解等腰三角形三线合一的内在逻辑，能结合图形区分性质与判定，理清边角转化的推理链条。 应用 会利用三角形性质导角、求边长；能选择合适判定证明全等，用全等转移边角；会用垂直平分线、角平分线进行等线段转化；能解决等腰三角形分类讨论问题，规范几何证明书写，善于构造全等、等腰模型完成推理计算。 考点一 三角形及其性质 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形 . 2.三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ △ABC ”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 4.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 5.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图， ∠ACD 是△ABC的一个外角. （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角 的和 （2）三角形的一个外角 大于 任意一个与它不相邻的内角 考点二 三角形的高、中线和角平分线 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 文字语言 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 图形语言 作图语言 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 过点A作AD⊥BC于点D． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 1.AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3.AD⊥BC于点D． 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 推理语言 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 用途举例 角度相等． 1.线段相等． 2.面积相等． 1.线段垂直． 2.角度相等． 注意事项 与角的平分线不同． — 1.与边的垂线不同． 2.不一定在三角形内． 重要特征 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 考点三 全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 1.全等图形可能不止两个，只要符合全等图形的定义，能够完全重合的都是全等图形； 2.图形是否全等与它们所在的位置无关，只要把它们叠在一起，能够完全重合就是全等图形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 1.全等图形的对应边和对应角都是相等关系； 2.全等图形的周长和面积一定相等，但周长或面积相等的图形不一定是全等图形. 3.判断两个物体是否为全等图形的方法： （1）将这两个图形叠放在一起，看是否能够完全重合； （2）观察这两个图形的大小和形状是否完全相同. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 1.一个图形经过平移、旋转或翻折等变换后，所得到的图形一定与原图形全等. 2.两个全等的图形经过平移、旋转或翻折等变换后一定可以与原图形重合. 考点四 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 考点五 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 全等变换 在不改变图形的形状和大小的前提下，只改变图形的位置叫做全等变换. 常见的全等变换有平移变换、翻折变换、旋转变换，如下图所示： 考点六 全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 1.只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 2.在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 考点七 尺规作图 1、作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2、作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3、作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4、过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5、作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 考点八 等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个叫是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 考点九 直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 一半 的三角形可以证的是直角三角形； 题型一 三角形的相关概念 典例1（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，D，E分别是的边，的中点，则下列说法中不正确的是（    ）．    A．的对边 B．是的中线 C． D．是的中线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：A、在中，的对边是，正确，不符合题意； B、是的中线，正确，不符合题意； C、∵D，E分别是的边，的中点， ∴，正确，不符合题意； D、是的中线，选项错误，符合题意； 故选：D． 迁移应用 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以为边的三角形有，，． 故选：A 2．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，边BE所对的角是___，所对的边是__；在中，边AE所对的角是___，所对的边是____；以为内角的三角形有______． 【答案】 CE AC ，， 【解析】略 题型二 三角形的三边关系 典例2（26-27八年级上·江苏泰州·期中）下列每组数分别表示三条线段的长度，能构成三角形的是（     ） A．3，4，8 B．4，7，10 C．5，6，11 D．2，3，6 【答案】B 【分析】比较每组线段中较短两边之和与最长边的大小，判断能否构成三角形． 【详解】解：，，，均不能构成三角形； ，能构成三角形． 迁移应用 1．（25-26八年级下·重庆·期中）若一个三角形的两条边长度分别为2和5，则它的第三边边长可能为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：设三角形第三边的长度为x， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 且已知两边长度分别为2和5， ∴， 即， 故选项中满足条件的只有B选项． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，为了估计一池塘岸边两点，之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点，测得，，那么点与点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可利用三角形三边关系定理，确定的取值范围，再结合选项选出符合条件的答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴由三角形三边关系可得：， 即． 选项中只有满足． 题型三 三角形的中线求解 典例3（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入 即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ 是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 迁移应用 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，是的中线，若，则_____． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，，则可证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 题型四 三角形的高线 典例4（25-26七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，，，点是线段上的一个动点，则线段的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得当时，线段最短，如图， ， ，，， ， ． 迁移应用 1．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，为边上的中线，于点E，于点F， ，则（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，根据为边上的中线，得出，又因为于点E，于点F，则，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型五 全等三角形的概念 典例5（26-27八年级上·江苏徐州·期中）下列说法中正确的是（    ） A．面积相等的三角形一定是全等三角形 B．周长相等的三角形一定是全等三角形 C．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】依据全等三角形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 面积相等的三角形不一定能完全重合，不一定是全等三角形，本选项说法错误，不符合题意； B. 周长相等的三角形不一定能完全重合，不一定是全等三角形，本选项说法错误，不符合题意； C. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，符合定义，本选项说法正确，符合题意； D. 因C选项正确，故该说法错误，本选项不符合题意． 迁移应用 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．根据全等图形的判定和性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断． 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误； 全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键． 题型六 全等三角形的性质 典例6（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，首先确定的长度，再根据全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 迁移应用 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）略 2．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，点在边上，与交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求与的周长之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，进而根据角的和差关系得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）∵， ∴， ∴与的周长和为：． 题型七 全等三角形的判定 典例7（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)解：为的中点， ． 在与中， ． (2)． 【分析】（1）采用“中线倍长”法：延长中线至使，连接，以证； （2）由全等得，在中用三边关系把转化为的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ． 在中，，，． 由三角形三边关系得， 代入数值得， 即， ． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，点、、、在直线上，点、在直线异侧，已知，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由得，再根据判定定理即可求证； （2）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 2．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明； （2）根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型八 补全全等三角形的证明 典例8（25-26八年级上·北京西城·期末）已知：如图，． 求作：射线，使，且点C在直线的下方． 作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M； ②在的延长线上取一点N，使； ③以点O为圆心，长为半径画弧， 再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C； ④作射线． 所以射线即为所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． ∵，， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ∴．（ ）（填推理的依据） ∴ ． ∴， 即． 【答案】(1) 补全图形如图所示； (2)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；；；； 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据已知作法作图即可； （2）由题意可知，垂直平分，得到，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 迁移应用 1．（26-27八年级上·浙江杭州·期中）如图，点为中点，，，则． 解：∵是的中点， ∴①________． 在和中， ∴③________（④________）， ∴， ∴． 【答案】① ② ③ ④ 【详解】解：∵是的中点， ， 在和中， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·福建福州·期中）请你根据以下材料解决下列问题： 已知：．求作：，使得． 作法：如下图． （1）作． （2）在射线上截取，在射线上截取． （3）连接线段，则即为所求作的三角形．                   (1)根据作图痕迹补全证明． 由作图可知，在和中， 所以_______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①    ②     ③     ④ 【答案】(1)，， (2)③ 【分析】（1）由作图可知，，，根据可证； （2）由证明三角形全等的边和角之间的位置关系可知，证明的依据是． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ； （2）解：证明的边和角之间的位置关系是两边夹一角， 证明的依据是． 题型九 直角三角形全等的判定 典例9（26-27九年级上·广东阳江·期中）如图，在中，是边上的高，且，点E为上的一点，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：是边上的高， ， 即和都是直角三角形， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）用证明和全等即可； （2）由和全等得即可由线段和差求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，，， ，， ． 迁移应用 1．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，于点，点为上一点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，则的长为_______． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ． (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用定理证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件，可直接利用定理证明，通过全等三角形的对应边相等即可得到结论； （2）如图，连接，先通过线段的和差关系求出，然后可通过定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后根据线段和差关系求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：． 如图，连接． ，， ． 在和中， ， ， ． 题型十 全等三角形的判定与性质 典例10（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）按要求完成下列各题： (1)如图，在中，求证： (2)如图，中，，，过作直线平行，连接，且，那么线段和的关系是什么？并说明理由． 【答案】(1) 证明：在和中 ， 即． (2) 结论：，且， 证明：在和中 ， ， ， ， ， ， 在与中 ， 由，得， ， 设交于点， ， ， ， ， ． 【分析】（1）要证线段，观察两条线段分别在和中，已知，，且与是公共角，直接利用证明两个三角形全等，由全等三角形对应边相等得到结论； （2）线段关系包含数量与位置两类，先借助第(1)问的全等结论得到，结合条件，得到；再由平行线得到直角，利用证明直角三角形全等进行角转化，通过角度互余，推导出垂直关系． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定（）与全等三角形的性质、平行线的性质、直角三角形角度互余等知识点，解题关键是第一问直接利用公共角与两组等边用证全等得到线段相等，第二问要延续第一问的全等结论，结合平行线得到直角，再通过等量代换转移角，同时从数量关系和位置关系两个维度完整分析两条线段的关系． 迁移应用 1．（26-27八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，且，． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)设与交于点，连接．若，求． 【答案】(1)证明：， ， 又， ，即， ， ． (2)证明：如图，连接、， 在和中， ， ， ． (3) 【分析】（1）先证明，再由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”可证． （2）连接后，可由“边角边”证明与全等，进而证明． （3）作交的延长线于点，连接，先证明和全等，由此可推断出和全等，进而得到与的关系，最后以为底、为高，即可得到的面积． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图，作交的延长线于点，与交于点，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 2．（26-27八年级上·河北衡水·期中）如图，点在的边上，且，平分交于， 交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； (2)10 【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，由角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，由线段的和差得到，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， 的周长． 题型十一 倍长中线模型 典例11（26-27八年级上·广东江门·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长交于点F，证明，得到，最后利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 又， ， 由已知和作图能得到的理由是； （2）， ， 在中，， ； （3）如下图，延长交于点F， ， ， 是的中线， ， 又， ， ， , ， ． 迁移应用 1．（26-27八年级上·福建莆田·期中）按要求解答： (1)【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． (2)【变式与应用】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． (3)【问题拓展】如图2，，，与互补，连接，是的中点，试说明：． 【答案】(1)B (2) (3) 证明：如图，延长至，使，连接． ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法确定答案； （2）根据三角形的三边关系直接得出答案； （3）通过题目给出的作辅助线的方法作出辅助线，通过证明三角形全等得到线段的等量关系，进而得出证明． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴ （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）略 2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做非全等积三角形． (1)如图1，在中，，若P为上一点，当的长为________时，与是非全等积三角形； (2)如图2，D为上一点，与是非全等积三角形，，，且线段为奇数，则的值为________； (3)如图3，与是非全等积三角形，，，求证：． 【答案】(1)5 (2)5或7 (3)过点B作于G，过点E作交的延长线于点F． ， 和是非全等积三角形， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 【分析】（1）三角形中线把三角形分成两个面积相等的小三角形； （2）倍长中线构造全等三角形，利用三角形三边关系得出结论； （3）过点B作于G，过点E作交的延长线于点F，与是非全等积三角形，得到，同角的补角相等，用证明，两个三角形全等，对应的边相等． 【详解】（1）解：， 此时线段是的中线，将分成面积相等的两个小三角形； （2）过点C作交的延长线与于点E，如下图所示， 与是非全等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ， ， 又， ， ，， ，且，， ， ， ， 线段为奇数， 的值为5或7； （3）略 题型十二 旋转模型 典例12（25-26八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】（1）略 （2）略 迁移应用 1．（25-26八年级上·天津滨海新区·期中）如图，和中，，连接与交于点M，与交于点N． (1)求证：； (2)试猜想与有何特殊关系，并证明； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的有______（请写序号，少选、错选均不得分）． 【答案】(1) 证明：∵，， ， ∴ ∵ ∴ (2)且， 理由如下： ∵， ∴， ， ， ， ， ∴ (3)② 【分析】本题考查了常见的全等三角形模型――“手拉手模型”，熟记模型的构成条件、推理过程及结论是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）由可得，结合可得，即可得； （3）作，由可得，，即可推出，从而结论②正确；假设结论①正确，可得出，，与条件不符． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴平分 假设①正确，即平分， 则有： ∴ 即： ∵平分， ， ， ， ， 故只有当时，①才成立； 故答案为：② 2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．    (1)求证：CH平分，并求的度数； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图①，作，垂足为点，作，垂足为点，   和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，且， ，， ， ， 又，， 点在的平分线上，即平分； ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴； (2) ． 证明：如图，在上截取，连接，   ， ， 又， ， ，且， 又， ，即， 为等边三角形， ， 又， ． 【分析】（1）作、，由，可知，，由全等三角形性质知，据此得出平分，在和中利用三角形内角和可得到，即可求出的度数； （2）在上截取，连接，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出为等边三角形，进而得到，最后根据，得到． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，结合等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是正确解答本题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 题型十三 一线三等角模型 典例13（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：． (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． (2)①证明：如图2， 过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵，， ． ② 【分析】（1）根据， ，得，再根据同角的余角相等，即可证明，再根据已知，结合全等三角形判定定理即可证明． （2）①过作于，根据条件，结合“一线三垂直模型”即可证明，进而可证明，再根据全等三角形性质得，由（1）得，即可得，再根据，，即可证明． ②过作于，根据（1）得，，即可得，，根据（2）①得：，即可得，，进而得，，结合条件即可证明，根据全等三角形的性质得，再根据，等量代换得，进一步代换推理得，代入数据求解即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图2，     由（1）得： ，， ∴，， 由（2）①得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 迁移应用 1．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离村庄到公路的距离，现要在之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等． (1)若，试说明：； (2)若C，D两点间的距离为，求C，E两点间的距离． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ 又∵ ∴ 在在中： ∴ (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据余角的性质证明，然后根据可证； （2）设，则，根据，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则 在中，，即：， 在中，，即  ， 又∵， ∴   解得 即C，E两点间的距离. . 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在和中，，，点，，在一条直线上，，连结交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作交于点，交于点， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 是的中点． (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形，利用勾股定理求线段长度是解题的关键． （1）过点作交于点，交于点，先利用全等三角形判定定理推出，得到，再利用全等三角形判定定理推出，得到，即可得出结论； （2）由和求出的长，进而得到、的长，在中利用勾股定理得出的长，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， 解得：， ， 由（1）中的结论得，，， ，， ， ， ， 在中，， 由（1）中的结论得，是的中点， ， 的长为5． 题型十四 线段垂直平分线 典例14（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的周长． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)8 【分析】（1）作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段的垂直平分线的性质即可得到； （2）由结合，可得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，由（1）知 ∴ ∵， ∴的周长． 迁移应用 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点是垂直平分线上一点，过点作，交的延长线于点，于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ， ， ． (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质得到，结合，利用证得，从而得到； （2）先利用证明，得到，设，则，，，利用建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 在和中， ， ， ． 设，则． 已知，， ， ， 由（1）得， ， 解得． 的长为． 2．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，于，于， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，再证明即可求证； （）证明，得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型十五 角平分线 典例15（26-27八年级上·广东广州·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点．延长至点，求证：平分； 【答案】证明：过点P作于点F，于点N，于点M， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分． 【分析】过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分． 【详解】略 迁移应用 1．（26-27八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的平分线，（即），， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)2 【分析】（1）突破口为角平分线的性质，因为是角平分线且，所以可得，再结合，通过定理证明和全等，即可得． （2）突破口是先证明和全等，因为为公共边，，且两个三角形均为直角三角形，所以用可证全等，得到．先根据的长度计算的长度，结合（1）中的结论，即可求出的长． 【详解】（1）略． （2）解：在和中： ， ∴， ∴． 设， 由（1）的结论， ∴ 即， 解得． 即的长为2． 2．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，平分，垂直平分，交于点G，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如果，，求，的长． 【答案】(1)证明：如图，连接，． 垂直平分， ． 平分，，， ，． 在与中， ， ， ． (2)， 【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质以及角平分线性质得到，，再由证明全等即可； （2）先证明，再由全等三角形的性质结合线段和差求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，． 在与中， ， ， ， ． ， ， 即， ， ． 题型十六 等腰三角形的判定 典例16（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ； 由（1）得，， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）由，则，根据，然后通过等腰三角形的“三线合一”性质即可求解； （2）根据，得，然后由（1）得，，所以，最后通过等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 1．（26-27八年级上·黑龙江大庆·期中）如图 ，平分，P 是上一点， 交 于点 D, (1)求证： 是等腰三角形． (2)若，，求的长和的度数． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2)的长为6，的度数． 【分析】（1）根据条件，结合平行线性质得，再根据角平分线的性质得，进而得，再根据等角对等边即可得． （2）根据 平分，结合条件，即可求出，再根据平行线性质得，进而求出，再根据等腰三角形性质即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴． 2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，由、 且可证； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线得，再利用直角三角形性质证，由垂直平分线判定定理可证． 【详解】（1）解：， ， ，且， 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上， 点在的平分线上， 平分． （2）解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 根据等腰三角形性质，有垂直平分， ， 连接，在中，， （直角三角形斜边中线等于斜边的一 半）， ， 根据垂直平分线性质，点在的垂直平分线上． 题型十七 等腰三角形的性质 典例17（2026八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，点是上一点，平分，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，延长交的延长线于点． 平分， ， ， ， ， ． 又， ． 在和中，， ， ； (2)证明：， ， ． 【分析】（1）延长交的延长线于点，先证明，由三线合一得到，再证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合等量代换证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏淮安·期中）如图中，是边上的高线，是边上的中线，点G为中点，． (1)求证：； (2)若的面积为，，则的面积为________． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵ 是 边上的高线， ∴ ，即 是直角三角形． ∵ 是 边上的中线， ∴ 点 是 的中点，即 是 斜边 上的中线， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． ∵ 点 是 的中点， ∴ ． (2)． 【分析】（1）由 知 是直角三角形，点 是斜边 的中点，由"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得 ，结合 得 ，故 是等腰三角形，再由三线合一得 ； （2）设 、，由 的面积求出 ； 是 的中线，得 ； 是 的中线，得 ；两者相减得 ，再由 是 的中点得 ． 【详解】（1）略． （2）解：∵ ， ∴ 设 ，，则 ． ∵ ， ∴ ． ∵ 是 边上的中线， ∴ ． ∵ 点 是 的中点， ∴ 是 的中线， ∴ ． ∴ ． ∵ 点 是 的中点， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 2．（26-27八年级上·福建南平·期中）在四边形中，，，平分． (1)【问题发现】如图1，若时，与的数量关系为_______________，依据是_______________． (2)【问题解决】如图2，求证：； (3)【问题拓展】如图3，在中，，，平分，利用（2）的结论求证：． 【答案】(1)，角平分线的性质定理 (2)证明：如图，过点作，交延长线于点，作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (3)证明：如图，在上截取，连接， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴由（2）的结论得：， 又∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）先得出，，再根据角平分线的性质定理即可得； （2）过点作，交延长线于点，作于点，先得出，，再证出即可得证； （3）在上截取，连接，得出，由此即可得证． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 又∵平分， ∴，依据是角平分线的性质定理． （2）略． （3）略． 题型十八 等边三角形的判定与性质 典例18（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，．，的延长线与相交于点F．连接、． (1)求证：； (2)若．求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)4 【分析】（1）根据全等三角形的性质，得到，，进而得到为等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结果； （2）由等边三角形的性质得，结合已知，公共边，利用判定，得到，进而推出相关角为，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半的性质求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 迁移应用 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2)4 【分析】（1）先由垂直得到直角，结合已知，求出，再根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形完成证明； （2）利用等边三角形性质得到，在中求出，算出长，进而得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·湖南长沙·期中）综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． (1)如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______； 【探究】 (2)如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 (3)如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】(1)， (2)证明：①与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ； ②在等边三角形中，， ， ， ； (3) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可； （2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可； （3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 在与中， ， ； ； （2）略 （3）解：延长，并在延长线上截取，如图所示： ， 是等边三角形， 与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， 则在等边三角形中，． 题型十九 含30度角的直角三角形 典例19（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，中，是边上的高，是边上的中线，，点是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数与的长． 【答案】(1)证明：是边上的高， ． 是边上的中线， 是的中点． 在中，． ， 是等腰三角形． 点是的中点， （等腰三角形三线合一）． (2)的度数为，的长为 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知可得，根据三线合一，即可得证； （2）根据等边对等角以及三角形外角的性质结合已知可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ． 是的外角， ． ， ，且平分， ． 在中，， 故：的度数为，的长为2． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏南京·期中）如图，是的角平分线，，是，的高，连接，交于点O． (1)试说明：垂直平分． (2)，，，，求的长． 【答案】(1)证明：是的角平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点D在线段的垂直平分线上， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分； (2)的长为10 【分析】（1）首先根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，进而证明结论； （2）设，由（1）知，根据三角形面积公式解得的值，进而可得，然后根据“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，由（1）知， ， ，即， 整理可得，解得， ， 在中，，， ． 答：的长为10． 2．（26-27八年级上·广西桂林·期中）综合与探究 【提出问题】 如图1，数学课上，老师画出一个等腰三角形，并标注，，然后让同学们提出有效问题并解决． 请你结合同学们提出的问题给予解答． 【初步探究】 (1)甲同学提出：__________°． (2)乙同学提出：的面积为__________． 【深入探究】 (3)丙同学提出：如图2，在老师画出的等腰三角形中，取边的中点，过点分别作，，垂足为，．求的值． 【类比探究】 (4)丁同学受丙同学启发，提出：如图3，在老师画出的等腰三角形中，在边上任取一点，过点分别作，，过点作，垂足为，，．求证．请你帮助丁同学写出证明过程． 【答案】(1) (2)25 (3)5 (4)证明：连接， ∵，，， ，，， ，， ， 即：， ． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出结果即可； （2）过点B作，交于点H，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）先证明，根据，得出，即，即可解答； （4）连接，根据三角形的面积公式得出，，，根据，得出，即，即可证明． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：过点B作，交于点H，则， ，， ， ； （3）解：连接， ，点D为边的中点， 平分， ，， ． ∵， ，， ∴ 由（2）知， ， ； （4）略 题型二十 斜边的中线等于斜边的一半 典例20（26-27八年级上·江苏·期中）如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴是等边三角形． (2)3 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得出，由三角形内角和定理得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可证明是等边三角形； （2）由，得，由，得则，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵是等边三角形，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，是上的高线． ∴， ∴， ∴． 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) 证明：连接、，如下图所示： ∵，点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∵点为中点， ∴． (2)的面积为 【分析】本题主要考查直角三角形、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，由直角三角形的性质可求得，则由等腰三角形的性质可证明； （2）由条件可求得、，在中可求得，则可求得的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 2．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接、，如图所示： ，，E、F分别是和的中点， 在中，在中， ， 是的中点， ； (2)6 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质可以证明结论成立； （2）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和等边三角形的判定与性质得到，，是等边三角形，可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：，，E、F分别是和的中点， 在中， ， ， 是等边三角形， 题型二十一 等腰三角形的存在性问题 典例21（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，，，点从点出发，沿着方向以的速度匀速运动，点从点出发，沿着的方向以的速度匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒 (1)求的长度 (2)当点在边上运动，且时，求的值； (3)当点在边上运动时，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、一元一次方程的应用、含角的直角三角形的性质等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）证明是等边三角形，即可得到； （2）证明是等边三角形，利用列方程，解方程即可； （3）分和两种情况，利用含角的直角三角形的性质列方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ （2）解：由题意可得，则，    如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 解得； （3）解：存在， 由题意可得，，，， 如图，当时，， ∴，即， 解得， 如图，当时，， ∴，即， 解得，     ∵ ∴符合题意， 综上可知，或 迁移应用 1．（24-25八年级下·吉林白城·期中）某校机器人兴趣小组在如图所示的直角三角形场地上开展训练．已知，米，米．机器人从点C出发，沿着的边按的方向匀速运动到点C停止；机器人运动的速度为2米/秒，运动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）． (1)的长是 米； (2)是否存在这样的时刻，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)存在，t的值为7秒或秒或11秒 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，等腰三角形的性质， （1）使用勾股定理即可求解的长； （2）根据点P的位置，确定等腰三角形，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，米，米． ∴在中，米， 故答案为：10； （2）解：存在， ①点P在上，时，如图， ∴米， ∴米， 秒； ②点P在上，时， 过点C作交于点M，如图， ∵， 即，解得米， 在中，米， 米， ∴路程为米， 秒； ③点P在上，时，如图， ∴米， ∴路程为米， ∴，即秒； 综上所述，t的值为7秒或秒或11秒时，是以为腰的等腰三角形． 2．（25-26八年级上·吉林四平·期中）如图，在中，，，，．点M在的延长线上，，作射线，点 D 从点B 出发，沿射线的方向以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点M出发，沿射线的方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知 D、Q两点同时出发，运动时间为t秒． (1)_______； (2)连接，当时，是等腰三角形，求a 的值； (3)当点D 在线段上运动时，过点D作于点E，当点D在的平分线上时，求的长； (4)连接，是否存在a，使得与全等，若存在，请直接写出a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)2 (3)2 (4)或1或6或 【分析】本考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的差可得结论； （2）根据等腰三角形的概念列式计算即可； （3）由角平分线性质定理得，由三角形面积得 ，得出，由勾股定理得出； （4）分和两种情况，根据全等三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：4； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴，即， 解得，； （3）解：如图， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，且，，． ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中，； （4）解：①， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴或； ②， ∴，， ∴或16， ∴或， ∴或， 综上所述：当与全等时，或1或6或． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）下面四组小棒（单位：厘米），其中的三根小棒无法围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形，故符合题意； B、，满足两边之和大于第三边，能围成三角形，故不符合题意； C、，满足两边之和大于第三边，能围成三角形，故不符合题意； D、，满足两边之和大于第三边，能围成三角形，故不符合题意． 2．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据刻度尺读出斜边的长度，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质求出的长． 【详解】解：由图可知，点A对应的刻度为，点B对应的刻度为， ∴线段的长度为：（）． ∵，为边的中点， ∴是斜边上的中线． 根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），可得：， ∴（）． 3．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，与全等，顶点与与与分别对应．已知，，那么中等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是边上的中点，且，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】D 【分析】利用三角形中线平分面积的性质，先求出的面积，再求出的面积． 【详解】解：是的中点， ，， ， 是的中点， ． 5．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，再根据，证得是等边三角形，通过边角关系进行计算求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，D是的中点，E是的中点，若，则___________． 【答案】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】解：∵在中，D是的中点，， ∴， ∵E是的中点， ∴． 7．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）在中，，，点D为的中点，则_________ 【答案】 【分析】已知直角三角形斜边的长度，为斜边中点，可利用直角三角形斜边中线的性质直接计算的长度． 【详解】解：∵在中，，点为的中点， ∴， 将代入得：． 8．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，点的对应点为点，点的对应点为点．若，，则的长为________． 【答案】4 【分析】先得出，则，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 又∵，，， ∴， 解得． 9．（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 【答案】8 【分析】证明，得到，，然后利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 10．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 11．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．求证：； 【答案】证明：， ， 在和中，， ， ． 【详解】略 12．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在边上，，． (1)用尺规完成基本作图：在射线上作线段，使得，连接； (2)结合（1）所作的图形，求证．请完成下面的证明： 证明：， （_____①_____）． 在和中， ， ． _____③_____． ． 【答案】(1) (2)两直线平行，同位角相等；； 【分析】（1）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接即可； （2）利用两直线平行同位角相等，全等三角形的判定和性质以及同位角相等两直线平行推导即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可； （3）根据平移的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：画出如图所示： （2）解：画出的高如图所示； （3）解：由平移的性质可得：和的关系平行且相等． 14．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 15．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，连接， (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若，求的周长． 【答案】(1)证明：△是等边三角形， ， ∵是中线， ， ， ， 又， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． （2）由的长可求出，进而可求出的长，则的周长即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ∵是中线， ∴， ， 的周长． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，，添加下列条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴添加，利用能证明，选项A不符合题意； 添加，利用能证明，选项B不符合题意； 添加，利用能证明，选项C不符合题意； 添加，利用不能证明，选项D符合题意． 17．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】B 【分析】过作于，由作图可得，平分，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：过作于， 由作图可得，平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质得：，，结合两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵中，，，，点M、N分别是、的中点， ， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 19．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，过点作垂足在的延长线上，根据等腰三角形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可知，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为． 20．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在四边形中，与相交于点E，，，，且平分．下列结论：①；②；③，其中结论正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】过点作于点，证明，从而说明②正确；延长交的延长线于点，说明为等腰三角形，根据三线合一说明点是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半说明，故③正确；根据角度关系计算即可说明①正确． 【详解】解：过点作于点， 平分，，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； 延长交的延长线于点， ， ， 平分， ， 在中，， 在中，， ， ， 垂直平分， 是中点， ， ， ， 即，故③正确； ，， ， ， ， ， ，故①正确． 21．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）已知，如图：，点在边上，且，在边上确定一点，若的形状和大小能唯一确定，则的取值范围为________． 【答案】或 【分析】过作于，可求出，当时，利用直角三角形的判定方法，是唯一确定的；当时，以B点为圆心，4为半径画弧交只有一个交点，此时唯一确定． 【详解】解：过作于，就是点到直线的垂线段，是最短距离． 在中，，， ∴． 当时，，是直角三角形，唯一确定； 当时，以为圆心，为半径画弧，与射线会交于2个点，存在两个不同三角形，不唯一； 当时，以为圆心，为半径画弧，与射线只有1个交点，三角形唯一； 当时没有交点，不存在三角形． 所以，当或时的形状和大小能唯一确定． 22．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接交于点，若，，则的周长为________． 【答案】25 【分析】根据圆的半径相等可得，根据题目描述识别出是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，从而将的周长转化为进行求解． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点， ∴． ∵分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接， ∴是线段的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长． 23．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，和的外角平分线、交于点P，于点E．若的周长为12，，，则______；______． 【答案】 【分析】过点P分别作，连接，由角平分线的性质定理可得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：过点P分别作，连接，如图所示： ∵和的外角平分线、交于点P，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴ ． 24．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点F、G，若，，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，可得． 【详解】解：， ， 是和的平分线， ， ， ． 25．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，是边长为6的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为______． 【答案】3 【分析】作交延长线于G，证得，再证得，利用求解． 【详解】解：过点E作交的延长线于点G，如图： 是边长为6的等边三角形， ，， ， ． ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 26．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）已知，如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：是边上的高线， ， ∵是边上的中线， ， ， ， ， ∵， ； (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等边对等角得出，再结合三角形的外角性质得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，则，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵，， 即， ∴， ∵是边上的高线，是边上的中线， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 27．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)③ (2)证明：在与中， ， ． 【详解】（1）解：选择③，即． （2）略 28．（26-27八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，线段、交于点． (1)若，添加一个条件________，可直接由“”判定； (2)在满足的条件下，当点是的中点且时，求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：作交于点F， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）添加条件，可直接由“”证明全等； （2）作交于点F，证明，进而证明是等边三角形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件，可直接由“”判定，理由如下： 在和中， ， ； （2）略 29．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）综合与探究 【问题情境】 如图1，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接．设运动时间为（单位：s）． 【初步探究】 (1)如图1，若，求的值． 【拓展延伸】 (2)如图2，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时的值． ②如图3，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，或，；② 【分析】根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②连接，过点作于，过点作于，根据可以求出的长度，即点的运动路程，根据三角形的面积公式，可得：，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）①解：情况一：若， ，， ， ， ， ， ； 情况二：若， ，， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ． 30．（26-27八年级上·江苏南京·期中）【阅读材料】物理学中的费马原理指出：光从一点传到另一点，总是沿“路程最短”的路线传播（直线传播、镜面反射都是如此）．可见“最短”是自然界普遍遵循的法则，而数学上实现“最短”的核心手段只有一个——把折线拉直（两点之间，线段最短）．我们已经会用“对称”把两条线段的和拉直；现在难度升级：三条线段的和，还能拉直吗？ 【问题情境】某园区要在形如的区域内建一座光信号中继站P，用三条直的光缆分别连接、、三地（的三个内角都小于）．怎样选址，才能使三条光缆的总长最小？ (1)探究一  作图与猜想如图1，尺规作图： ①以为边，在的外部作等边三角形； ②以为边，在的外部作等边三角形； ③连接、，设它们相交于点． 求证：． (2)探究二  证明“最小”填空： 如图2，设是内任意一点．把绕点旋转（旋转后点恰好落在点处），得到等边，点落在点处．易得______，______；所以_____；再说明探究一中作出的点恰好使等号成立，从而求出的最小值． (3)探究三  两两成与临界退化 由探究二，等号成立时、、、四点在同一条直线上，则，点就是使得三条光缆总长最小的中继站点． 如图3，在形如的区域中，若，则将中继站建在点处．此时三条光缆的总长最小，为________（用的边长表示），并说明理由． 【答案】(1)证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． (2)，， (3) ，理由：如图，在的外部作等边三角形；在的外部作等边三角形；连接、，设它们相交于点． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴、、三点共线，且点在线段上， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴、、三点共线，即探究一中的交点与点重合． 由（2）知，当、、、四点共线时，取得最小值， ∴把中继站建在点处时，三条光缆的总长最小，最小值为． 【分析】（1）要证，只需证明这两条线段所在的两个三角形全等——由等边三角形的性质可得两组边相等和一组夹角相等，用“边角边”即可证得； （2）把绕点旋转，利用旋转中对应线段相等，把、分别转化为、，再用“两点之间线段最短”得出； （3）当时，等号成立的位置退化到顶点，先由与互补得、、三点共线，再说明把中继站建在点处时总长最小． 【详解】（1）略 （2）解：∵绕点旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵两点之间线段最短，， ∴． 等号成立当且仅当、、、四点在同一条直线上． 下面说明探究一中的点恰好使等号成立： ∵，且、、， ∴把绕点旋转后可与重合，即点落在点处、点落在点处， ∴直线旋转后成为直线． ∵是直线与直线的交点， ∴旋转后的对应点在直线上；又也在直线上， ∴、、、四点在同一条直线上，即等号成立． ∴． ∴当取探究一中作出的点时，取得最小值，最小值为（由（1）知）． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $