专题02 实数的初步认识16大题型（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02 实数的初步认识 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平方根 考点二 算术平方根 考点三 立方根 考点四 无理数 考点五 实数及分类 考点六 近似数 05 重难题型突破 题型一 平方根、算术平方根的概念理解 题型二 求平方根、立方根 题型三 算术平方根的非负性 题型四 估计算术平方根的取值范围 题型五 与平方根、立方根有关的规律问题 题型六 平方根、立方根的应用 题型七 算术平方根、立方根的综合应用 题型八 无理数的大小估算 题型九 无理数整数部分的有关计算 题型十 实数的概念理解 题型十一 实数的分类 题型十二 实数的性质 题型十三 实数与数轴 题型十四 实数的大小比较 题型十五 程序设计与实数运算 题型十六 近似值 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版八上期中，实数初步认识板块分值约 12～20 分，占试卷 10%～16%。题型分布在选择、填空、简单解答，常和勾股定理结合出题，属于代数基础模块。整体以基础送分题为主，是必须稳稳拿到分数的内容。 2. 题型特点 选择填空重点考查平方根、算术平方根、立方根的辨析，无理数识别、实数分类、实数大小比较；解答以开方计算、简单实数化简为主。题目贴近课本定义，侧重概念辨析，较少复杂运算，常结合数轴数形结合出题。 3. 难度分布 基础题占七成以上，直接根据定义判断、求值；中档题集中在算术平方根的非负性、利用数轴比较大小；难题较少，多为小型填空，易错点集中在混淆平方根与算术平方根、忽略被开方数非负这一隐藏条件。 4. 备考方向 理清平方根、算术平方根、立方根的区别，牢记二次根式被开方数≥0；强化无理数辨别训练，掌握实数比较大小常用方法；整理概念易混错题，重视非负性题型；规范开方计算步骤，避免符号理解错误。 识记 识记平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的概念；牢记实数分类，熟记的区别，记住被开方数的取值要求。能快速区分有理数与无理数，熟记实数与数轴上点一一对应的结论，准确背诵相关定义，不混淆符号含义。 理解 理解算术平方根的双重非负性，明白平方根正负成对出现、立方根符号和被开方数一致；理解引入无理数的意义，理解实数和数轴一一对应的数形关系；能辨析开方运算和乘方互为逆运算，读懂根号表达的含义，分清概念之间的逻辑差别。 应用 能正确求一个数的平方根、算术平方根与立方根，辨别无理数；会借助数轴比较实数大小，利用非负性列式求值；能结合勾股定理在数轴上表示无理数，规范实数简单运算，重点规避平方根漏写正负、混淆算术平方根的常见错误。 考点一 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 考点二 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 考点三 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 考点四 无理数 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 考点五 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 考点六 近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝100000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 题型一 平方根、算术平方根的概念理解 典例1（26-27八年级上·黑龙江大庆·期中）下列关于平方根与算术平方根的说法中，正确的是（        ） A．正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个是算术平方根 B．0没有平方根 C．的平方根是±4 D．负数也有算术平方根 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（     ） A．的值为 B．的平方根是 C．没有平方根 D．的平方根是 2．（26-27八年级上·江苏常州·期中）可以表示（     ） A．0.2的平方根 B．的算术平方根 C．0.2的算术平方根的相反数 D．的平方根 题型二 求平方根、立方根 典例2（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·期中）求下列各式中的值 (1) (2)． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）计算或求值： (1)； (2)． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）求下面各式中的x的值： (1) (2) 题型三 算术平方根的非负性 典例3（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，为实数，且，求的值 迁移应用 1．（25-26七年级下·江西南昌·期中）若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 2．（25-26八年级上·广东江门·期中）现有、、三个有理数，，． (1)求、、的值； (2)若、、分别是三条边的长度，求出此时的周长． 题型四 估计算术平方根的取值范围 典例4（26-27八年级上·全国·周测）如图，将两块边长均为的正方形纸张沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，则大正方形的边长在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 迁移应用 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 2．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 题型五 与平方根、立方根有关的规律问题 典例5（25-26七年级下·湖南常德·期末）已知，，，……，类比这些等式，若，则__________． 迁移应用 1．（26-27八年级上·四川成都·期中）已知，那么的值约为______． 2．（26-27八年级上·江西吉安·期中）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 题型六 平方根、立方根的应用 典例6（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，方格图中每个小正方形的边长均为，将方格图中的涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是______． 迁移应用 1．（26-27八年级上·河南周口·期中）少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华…处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某中学课外活动小组制作了精美的少林寺、龙门石窟、清明上河园等景点卡片，并为每张卡片制作特色封皮，并提供如下信息． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． (1)正方形卡片的边长为 ； (2)通过计算判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 2．（25-26七年级下·广西玉林·期中）跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又∵，∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位319得到数，而，则，可得，由此能确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．按这种方法求立方根，请求出的立方根是_______． 题型七 算术平方根、立方根的综合应用 典例7（26-27八年级上·陕西西安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的立方根． 迁移应用 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 2．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 题型八 无理数的大小估算 典例8（26-27八年级上·江苏无锡·期中）关于“”，下面说法不正确的是（     ） A．它可以表示面积为13的正方形的边长 B．它是一个无理数 C．若，则整数a为3 D．13的平方根是 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏常州·期中）根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 2．（25-26七年级下·山东滨州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： ①，， 又， ， ∴能确定的立方根是个两位数． ②， ∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，即，可得，由此能确定的立方根的十位上的数是， 因此的立方根是．据此，若整数是的立方根，则________． 题型九 无理数整数部分的有关计算 典例9（26-27八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 迁移应用 1．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 2．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 题型十 实数的概念理解 典例10（24-25九年级下·江苏南京·期中）给出下列实数：，，，，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）下列命题中是真命题的是（   ） A．实数包括正实数和负实数 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等 D．若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____． 题型十一 实数的分类 典例11（26-27八年级上·江苏扬州·期中）下列各数①；②；③（相邻两个“1”之间“2”的个数依次加1）；④；⑤；⑥中，无理数共有___________个． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）下列实数：，，，，，，（每两个8之间1的个数逐渐增加1），，其中无理数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）把下列各数进行分类：0，π，，，，，． 负实数：_______________； 正有理数：_______________； 无理数：_______________． 题型十二 实数的性质 典例12（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 迁移应用 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 题型十三 实数与数轴 典例13（26-27八年级上·江苏无锡·期中）面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以A为圆心，长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为____________． 迁移应用 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 题型十四 实数的大小比较 典例14（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知的三边长，，满足，则与的大小关系为________． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏南京·期中）比较大小：______________________（填“”、“”或“”）． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 题型十五 程序设计与实数运算 典例15（25-26七年级下·广东广州·期末）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 题型十六 近似值 典例16（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 迁移应用 1．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值．因为，所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数） 【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上表示实数的点可能是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）已知和5是正数的两个平方根，则的值是（     ） A． B．2 C．25 D． 3．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）在，，，0，，，，中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 5．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）已知 ，，那么_________ 7．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）比较大小：_______2．（填“”，“”或“”） 8．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）若用计算器算得，则不用计算器，利用小数点的移动规律得___________． 9．（26-27八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值为________． 10．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）若整数满足，则的值是_________． 11．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）解下列方程： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 13．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是与，的算术平方根是5． (1)求的值； (2)求的立方根． 14．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 15．（25-26七年级下·天津河西·期中）问题：“一个边长为的正方形，对角线是多长呢？”以下是小明同学的思路： “如图，画一个正方形，连接，相交于点，就得到4个完全一样的等腰直角三角形．若设其中一直角边长为，则正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，于是可以列出方程求解出，也就求出了正方形的对角线长．” (1)当时，请你依照小明的思路求出正方形对角线长； (2)填空：①若一个正方形边长，则其对角线的长度为__________； ②若一个正方形对角线长为，则这个正方形的边长为__________． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）在、、、0.1010010001…（相邻两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（26-27八年级上·江苏南京·期中）以下关于平方根与立方根说法正确的是（     ）． A．一个实数有1个算术平方根，2个平方根 B．任何实数都有1个立方根 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 18．（25-26七年级下·江苏南通·期中）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 19．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 21．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）已知，，．若，求的值为________． 22．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图，、、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 23．（25-26七年级下·山东滨州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： ①，， 又， ， ∴能确定的立方根是个两位数． ②， ∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，即，可得，由此能确定的立方根的十位上的数是， 因此的立方根是．据此，若整数是的立方根，则________． 24．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，所得的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受此启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，请你仿照上面的探究方法判断：__________（填“”或“”或“”）． 25．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 26．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． (1)求、、的值． (2)求的平方根． 27．（25-26七年级下·云南德宏·期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分即，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 28．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 29．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 30．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数的初步认识 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平方根 考点二 算术平方根 考点三 立方根 考点四 无理数 考点五 实数及分类 考点六 近似数 05 重难题型突破 题型一 平方根、算术平方根的概念理解 题型二 求平方根、立方根 题型三 算术平方根的非负性 题型四 估计算术平方根的取值范围 题型五 与平方根、立方根有关的规律问题 题型六 平方根、立方根的应用 题型七 算术平方根、立方根的综合应用 题型八 无理数的大小估算 题型九 无理数整数部分的有关计算 题型十 实数的概念理解 题型十一 实数的分类 题型十二 实数的性质 题型十三 实数与数轴 题型十四 实数的大小比较 题型十五 程序设计与实数运算 题型十六 近似值 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版八上期中，实数初步认识板块分值约 12～20 分，占试卷 10%～16%。题型分布在选择、填空、简单解答，常和勾股定理结合出题，属于代数基础模块。整体以基础送分题为主，是必须稳稳拿到分数的内容。 2. 题型特点 选择填空重点考查平方根、算术平方根、立方根的辨析，无理数识别、实数分类、实数大小比较；解答以开方计算、简单实数化简为主。题目贴近课本定义，侧重概念辨析，较少复杂运算，常结合数轴数形结合出题。 3. 难度分布 基础题占七成以上，直接根据定义判断、求值；中档题集中在算术平方根的非负性、利用数轴比较大小；难题较少，多为小型填空，易错点集中在混淆平方根与算术平方根、忽略被开方数非负这一隐藏条件。 4. 备考方向 理清平方根、算术平方根、立方根的区别，牢记二次根式被开方数≥0；强化无理数辨别训练，掌握实数比较大小常用方法；整理概念易混错题，重视非负性题型；规范开方计算步骤，避免符号理解错误。 识记 识记平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的概念；牢记实数分类，熟记的区别，记住被开方数的取值要求。能快速区分有理数与无理数，熟记实数与数轴上点一一对应的结论，准确背诵相关定义，不混淆符号含义。 理解 理解算术平方根的双重非负性，明白平方根正负成对出现、立方根符号和被开方数一致；理解引入无理数的意义，理解实数和数轴一一对应的数形关系；能辨析开方运算和乘方互为逆运算，读懂根号表达的含义，分清概念之间的逻辑差别。 应用 能正确求一个数的平方根、算术平方根与立方根，辨别无理数；会借助数轴比较实数大小，利用非负性列式求值；能结合勾股定理在数轴上表示无理数，规范实数简单运算，重点规避平方根漏写正负、混淆算术平方根的常见错误。 考点一 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 考点二 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 考点三 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 考点四 无理数 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 考点五 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 考点六 近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝100000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 题型一 平方根、算术平方根的概念理解 典例1（26-27八年级上·黑龙江大庆·期中）下列关于平方根与算术平方根的说法中，正确的是（        ） A．正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个是算术平方根 B．0没有平方根 C．的平方根是±4 D．负数也有算术平方根 【答案】A 【详解】解：A．正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个是算术平方根，故该选项正确，符合题意； B．的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； C．，的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； D．负数没有算术平方根，故该选项不正确，不符合题意． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（     ） A．的值为 B．的平方根是 C．没有平方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：对于选项A：，而不是，故A错误； 对于选项B：的平方根是，故B错误； 对于选项C：的平方根是，故C错误； 对于选项D：，而的平方根是，故D正确． 2．（26-27八年级上·江苏常州·期中）可以表示（     ） A．0.2的平方根 B．的算术平方根 C．0.2的算术平方根的相反数 D．的平方根 【答案】C 【详解】解：0.2的平方根应为，则A不符合题意， 没有算术平方根，则B不符合题意， 0.2的算术平方根的相反数为，则C符合题意， 没有平方根，则D不符合题意， 故选：C． 题型二 求平方根、立方根 典例2（26-27八年级上·海南省直辖县级单位·期中）求下列各式中的值 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）计算或求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求算术平方根，再计算减法即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）求下面各式中的x的值： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先移项，再把的系数化为1，最后利用平方根的定义求出的值． （2）直接利用立方根的定义对等式两边开立方，再移项求出的值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 题型三 算术平方根的非负性 典例3（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，为实数，且，求的值 【答案】 【分析】根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求解、、，再代入求值即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ． 迁移应用 1．（25-26七年级下·江西南昌·期中）若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据非负数的性质即可求解； （）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·广东江门·期中）现有、、三个有理数，，． (1)求、、的值； (2)若、、分别是三条边的长度，求出此时的周长． 【答案】(1)；；或2 (2)7 【分析】本题考查了平方数的非负性，绝对值的性质，三角形三边关系及三角形周长的计算． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据绝对值的性质求出c的值； （2）根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算三角形的周长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴或， 解得：或2． 综上所述，，，或2． （2）解：当时，边长为2、3、6， ，不满足三角形三边关系，无法构成三角形， 当时，边长为2、3、2， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴的周长为． 题型四 估计算术平方根的取值范围 典例4（26-27八年级上·全国·周测）如图，将两块边长均为的正方形纸张沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，则大正方形的边长在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出大正方形的边长为，再通过比较、、的大小，确定在哪两个整数之间． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长为， ， ， 即大正方形的边长在和之间． 迁移应用 1．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 2．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 题型五 与平方根、立方根有关的规律问题 典例5（25-26七年级下·湖南常德·期末）已知，，，……，类比这些等式，若，则__________． 【答案】9999 【分析】对比已知等式中根号内的整数与对应分数的分母数值，归纳通用规律后代入计算即可． 【详解】解：观察给出的三个等式的数值特征 ∵第一个等式中根号内的整数为2，对应分数的分母为，分子为， ∵第二个等式中根号内的整数为3，对应分数的分母为，分子为， 第三个等式中根号内的整数为4，对应分数的分母为，分子为， ∴ 可得规律：， 当题目中根号内的整数为100时，对应， ∴ ． 迁移应用 1．（26-27八年级上·四川成都·期中）已知，那么的值约为______． 【答案】 13.12 【分析】利用被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍的规律，结合已知条件计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 2．（26-27八年级上·江西吉安·期中）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． (1)根据小明的发现，请填空：若，那么_____；若，那么_____； (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案； 根据（2）所求可得的值，求出的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 题型六 平方根、立方根的应用 典例6（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，方格图中每个小正方形的边长均为，将方格图中的涂色部分剪下来，再把剪下的涂色部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长应是______． 【答案】 【分析】求出涂色部分的面积，再根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】解：观察图形可知，涂色部分由下方的一个正方形和上方的一个梯形组成， 下方正方形的边长为，面积为，上方梯形的上底为，下底为，高为，上方梯形的面积为， ∴涂色部分的总面积为， 设拼成的正方形的边长为，则， ， ， 即所拼成的正方形的边长应是． 迁移应用 1．（26-27八年级上·河南周口·期中）少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华…处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某中学课外活动小组制作了精美的少林寺、龙门石窟、清明上河园等景点卡片，并为每张卡片制作特色封皮，并提供如下信息． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． (1)正方形卡片的边长为 ； (2)通过计算判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】(1)12 (2)能 【分析】（1）根据正方形的面积公式，利用算术平方根进行计算求解； （2）假设出长方形的长和宽，根据面积列出方程，利用算术平方根进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴正方形卡片的边长为； （2）解：正方形卡片能直接装进长方形封皮中，理由如下， 假设长方形的长为，则宽为，根据题意得， ， ∴， ∵，， ∴或（舍去） ∴长方形的长为，宽为， ∵， ∴正方形卡片能直接装进长方形封皮中． 2．（25-26七年级下·广西玉林·期中）跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又∵，∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位319得到数，而，则，可得，由此能确定的立方根的十位数是，因此的立方根是．按这种方法求立方根，请求出的立方根是_______． 【答案】 【分析】先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】①∵，， 又∵， ∴，∴能确定的立方根是个两位数． ②的个位数是，又∵，∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，则，可得，由此能确定的立方根的十位数是，因此的立方根是． 题型七 算术平方根、立方根的综合应用 典例7（26-27八年级上·陕西西安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的立方根． 【答案】代数式的立方根为． 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出，再依次计算、、的值，最后求解的立方根． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∵为的算术平方根， ∴， ∵为的立方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴代数式的立方根为． 迁移应用 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 2．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 题型八 无理数的大小估算 典例8（26-27八年级上·江苏无锡·期中）关于“”，下面说法不正确的是（     ） A．它可以表示面积为13的正方形的边长 B．它是一个无理数 C．若，则整数a为3 D．13的平方根是 【答案】D 【详解】解：A选项，设正方形边长为，由面积为13得，（边长为正），说法正确； B选项，是开方开不尽的数，属于无理数，说法正确； C选项，∵，，，∴，∴整数，说法正确； D选项，13的平方根为和，是13的算术平方根，该说法错误． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏常州·期中）根据表格解答下列问题： (1)的平方根是___________； (2)___________，___________； (3)若，写出满足条件的整数的值为___________． 【答案】(1) (2)；137 (3)183和184 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得求解即可； （3）根据，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴整数n值为183和184． 2．（25-26七年级下·山东滨州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： ①，， 又， ， ∴能确定的立方根是个两位数． ②， ∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，即，可得，由此能确定的立方根的十位上的数是， 因此的立方根是．据此，若整数是的立方根，则________． 【答案】 【分析】仿照题干给出的方法，先求出的立方根，再结合立方根的性质即可得． 【详解】解：①，，， ∴， ∴能确定的立方根是两位数； ②∵， ∴能确定的立方根的个位数字是； ③划去后面的三位得到数，而，即， ∴， ∴能确定的立方根的十位数字是； ∴， ∴， ∵整数是的立方根， ∴． 题型九 无理数整数部分的有关计算 典例9（26-27八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根、立方根定义列等式求、，估算的取值范围得整数部分； （2）先表示的小数部分，代入式子计算后求其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵，即， ∴的整数部分． （2）解：∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 迁移应用 1．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 2．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 题型十 实数的概念理解 典例10（24-25九年级下·江苏南京·期中）给出下列实数：，，，，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．本题根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴无理数有：，，共2个． 故选：A． 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南新乡·期中）下列命题中是真命题的是（   ） A．实数包括正实数和负实数 B．数轴上的点与有理数一一对应 C．两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等 D．若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是判断命题的真假、实数的定义、数轴上的点与实数的关系、全等三角形的性质与判定，解题关键是能够根据实数的定义、数轴上的点与实数的关系、全等三角形的性质与判定判断命题真假．根据实数的定义可得A选项错误，根据数轴上的点与实数的关系可得B选项错误，根据全等三角形的判定可得C选项错误，根据全等三角形的性质可得D选项正确． 【详解】A选项，实数包括正实数、零和负实数，故原命题错误，是假命题，不符合题意，A选项错误； B选项，数轴上的点与实数一一对应，实数包括有理数和无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意，B选项错误； C选项，两边及其中一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，C选项错误； D选项，若两个三角形全等，则对应边所对的角是对应角，故原命题正确，是真命题，符合题意，D选项正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____． 【答案】②③ 【分析】根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数，如：π，等，因此①不正确，不符合题意； ②满足﹣＜x＜的x的整数有﹣1，0，1，2共4个，因此②正确，符合题意； ③﹣3是9的一个平方根，而＝9，因此③正确，符合题意； ④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意； ⑤无限循环小数，是有理数，因此⑤不正确，不符合题意； ⑥若a＜0，则＝|a|＝﹣a，因此⑥不正确，不符合题意； 因此正确的结论只有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查无理数、有理数、实数的意义，理解和掌握实数的意义是正确判断的前提． 题型十一 实数的分类 典例11（26-27八年级上·江苏扬州·期中）下列各数①；②；③（相邻两个“1”之间“2”的个数依次加1）；④；⑤；⑥中，无理数共有___________个． 【答案】3 【分析】逐个判断各数，根据无理数是无限不循环小数的定义，统计得到无理数的个数． 【详解】解：①是有限小数，属于有理数； ②，是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数； ③（相邻两个之间的个数依次增加），是无限不循环小数，属于无理数； ④是分数，属于有理数； ⑤，是无限不循环小数，因此属于无理数； ⑥是整数，属于有理数；综上，无理数共有个． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）下列实数：，，，，，，（每两个8之间1的个数逐渐增加1），，其中无理数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】明确无理数的概念，然后根据所给实数的特征逐一判断． 【详解】解：， 其中无理数有，，（每两个8之间1的个数逐渐增加1），共3个． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）把下列各数进行分类：0，π，，，，，． 负实数：_______________； 正有理数：_______________； 无理数：_______________． 【答案】，；，；π， 【分析】本题考查了实数的分类． 根据负实数的定义、正有理数的定义、无理数的定义作答即可 【详解】解： 负实数：，； 正有理数，； 无理数：π，． 故答案为：，；，；π，． 题型十二 实数的性质 典例12（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 迁移应用 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 题型十三 实数与数轴 典例13（26-27八年级上·江苏无锡·期中）面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，以A为圆心，长为半径画弧，交点A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为____________． 【答案】/ 【分析】根据正方形面积公式求出边长，由画弧可知，结合点A的坐标及点E在右侧即可得出点E表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7， ∴， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E ，， 点A表示的数为，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 迁移应用 1．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解：与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题： (1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号） ①数形结合    ②分类讨论    ③转化与化归 (2)类比阅读材料完成下列问题： ①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）； ②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)① (2)①内部正方形的边长为；② 【分析】（1）分析材料即可； （2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可； ②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想， （2）解：①由题意得：， ， ∵是正方形的边长， ∴， ， 答：内部正方形的边长为． ②略 题型十四 实数的大小比较 典例14（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知的三边长，，满足，则与的大小关系为________． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出，，的值，再比较与的大小即可． 【详解】解：∵，且，，， ∴， 解得，， ∴， ∵，且a、b、c都是正数， ∴ ． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏南京·期中）比较大小：______________________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】两组均为无理数比较大小，第一组是两个负无理数，利用负数比较大小的规则判断，第二组是两个正无理数，通过同时乘方转化为整数比较大小． 【详解】解：比较和： ∵，， ∴， ∴； 比较和： 对两数同时取次方：， ∵ ∴． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 【答案】(1)； (2) (3)证明：∵， ∴， ∴． 【详解】（1）解：；； （2）解：当时，， ∴； （3）略 题型十五 程序设计与实数运算 典例15（25-26七年级下·广东广州·期末）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 迁移应用 1．（25-26七年级上·安徽六安·期中）如图是一种程序运算图，若输入的值为32，则输出的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】读懂程序计算过程，把x代入程序中计算，判断结果是否是正数，最后得到结果． 【详解】解：， 的立方根为， ， 的立方根为， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 2．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 题型十六 近似值 典例16（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 迁移应用 1．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值．因为，所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数） 【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】 （1） （2）因为，，且， 所以， 所以①得出近似值的精确度更高． 【分析】对于（1），根据，其中忽略不计，可得答案； 对于（2），先确定，可得答案． 【详解】解：（1）因为， 所以， 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）略 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上表示实数的点可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】估算出实数的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即表示实数的点在2和3之间， ∴数轴上表示实数的点可能是Q． 2．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）已知和5是正数的两个平方根，则的值是（     ） A． B．2 C．25 D． 【答案】A 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵和是正数的两个平方根， ∴， ∴． 3．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）在，，，0，，，，中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：， ，，，均为有理数， ，，，均为无理数， 无理数共4个． 4．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】∵，，且， ∴，， 解得：，， 故． 5．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 6．（26-27七年级上·江苏镇江·期中）已知 ，，那么_________ 【答案】 或 【分析】先根据乘方和绝对值的性质分别求出和的所有可能取值，再分情况计算的值． 【详解】解：， 或 ， ， 或 ， 分四种情况计算： 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 因此的值为或． 7．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）比较大小：_______2．（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴． 8．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）若用计算器算得，则不用计算器，利用小数点的移动规律得___________． 【答案】 【详解】解：因为被开方数3的小数点向右移动两位得到300， 所以其算术平方根的小数点相应向右移动一位，即． 9．（26-27八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值为________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求出的值，再计算得到这个正数 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得，解得， 把代入得其中一个平方根为， ∴这个正数为． 10．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）若整数满足，则的值是_________． 【答案】 3 【分析】估算的取值范围，确定其介于哪两个连续整数之间，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ 整数满足 ， ∴． 11．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解：对于方程 两边同时除以，得 开平方得 或 解得 或 （2） 开立方得 解得 12．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 13．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是与，的算术平方根是5． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程可得的值；根据算术平方根的定义即可得的值； （2）将代入计算的值，再计算立方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得． ∵的算术平方根是5， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴8的立方根为2， ∴的立方根为2． 14．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 15．（25-26七年级下·天津河西·期中）问题：“一个边长为的正方形，对角线是多长呢？”以下是小明同学的思路： “如图，画一个正方形，连接，相交于点，就得到4个完全一样的等腰直角三角形．若设其中一直角边长为，则正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，于是可以列出方程求解出，也就求出了正方形的对角线长．” (1)当时，请你依照小明的思路求出正方形对角线长； (2)填空：①若一个正方形边长，则其对角线的长度为__________； ②若一个正方形对角线长为，则这个正方形的边长为__________． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，列出方程，解方程，即可求解； （2）①设其中一直角边长为，同（1）的方法列出方程，即可求解； ②设正方形的边长为，同（1）的方法列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意 又∵ 解得： ∴正方形的对角线长为 （2）解：∵， 设其中一直角边长为，则 又∵ 解得： ∴正方形的对角线长为 ②解：∵一个正方形对角线长为， ∴， 设正方形的边长为， ∴ 又∵ 解得： 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）在、、、0.1010010001…（相邻两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先化简，再根据无理数定义逐个判断每个数，统计无理数的个数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数， ∴不是无理数． ∵，是整数，属于有理数， ∴不是无理数． ∵是无限不循环小数，属于无理数， ∴是无理数． ∵（相邻两个之间多一个）是无限不循环小数，属于无理数， ∴是无理数． 综上，无理数一共有个． 17．（26-27八年级上·江苏南京·期中）以下关于平方根与立方根说法正确的是（     ）． A．一个实数有1个算术平方根，2个平方根 B．任何实数都有1个立方根 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 【答案】B 【分析】结合立方根、平方根、算术平方根的性质验证各选项． 【详解】解：A、负数没有算术平方根和平方根，的算术平方根与平方根均只有1个，原说法错误； B、任何实数都有且只有1个立方根，原说法正确； C、的算术平方根是，即也有算术平方根，原说法错误； D、正数的平方根有2个，其中负平方根小于其立方根，原说法错误． 18．（25-26七年级下·江苏南通·期中）根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 19．（25-26七年级下·福建龙岩·期末）某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的，它的算术平方根缩小为原来的，利用该性质结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码， ∴数对应的密码为， ∵数对应的密码约为， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·广东广州·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，，则（    ） A．130 B．1300 C．41.1 D．411 【答案】C 【分析】先从表格中总结被开方数与算术平方根的小数点移动规律，再利用规律计算得到结果． 【详解】解：观察表格可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位． ∵，即16.9的小数点向右移动两位得到1690， ∴ ． 21．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）已知，，．若，求的值为________． 【答案】5或 【分析】根据绝对值、乘方的定义得到a、b、c的所有可能取值，结合有理数乘法的符号法则筛选出满足的a、b组合，代入代数式计算即可． 【详解】解： 或 或 ，且 ，即a、b异号 当时，由a、b异号得 此时 当时，由a、b异号得 此时． 22．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）如图，、、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 【答案】 【详解】解：由数轴得， 所以． 23．（25-26七年级下·山东滨州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： ①，， 又， ， ∴能确定的立方根是个两位数． ②， ∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，即，可得，由此能确定的立方根的十位上的数是， 因此的立方根是．据此，若整数是的立方根，则________． 【答案】 【分析】仿照题干给出的方法，先求出的立方根，再结合立方根的性质即可得． 【详解】解：①，，， ∴， ∴能确定的立方根是两位数； ②∵， ∴能确定的立方根的个位数字是； ③划去后面的三位得到数，而，即， ∴， ∴能确定的立方根的十位数字是； ∴， ∴， ∵整数是的立方根， ∴． 24．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图1，把两个面积为1的小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，所得的面积为2的大正方形的边就是原先面积为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长度为．某同学受此启发，把长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，请你仿照上面的探究方法判断：__________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出的整数部分是3，即可解答求解． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， ∴（负值舍去）， ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴， ∴． 25．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 26．（26-27八年级上·江苏镇江·期中）已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． (1)求、、的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质，即可求解； （2）把y的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∵是64的立方根， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴的平方根为． 27．（25-26七年级下·云南德宏·期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分即，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）求得的取值范围可得答案； （2）先求得和的取值范围可得m、n的值，代入所求代数式中求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）解：∵，， ∴，， ∵的小数部分为m，的整数部分为n， ∴，， ∴． 28．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 29．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）求出，分两种情况进行解答即可； （2）求出，由即可得到答案． 【详解】（1）解：由条件可知， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； （2）解：由条件可知，， ，； ， ∴右边， ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 30．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $