专题03 勾股定理18大题型（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03 勾股定理 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 勾股定理 考点二 勾股定理的证明 考点三 勾股定理的逆定理 考点四 勾股数 考点五 勾股定理的应用 考点六 利用勾股定理解决路线问题和航海问题 05 重难题型突破 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股数问题 题型四 用勾股定理构造图形解决问题 题型五 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型六 用勾股定理解三角形 题型七 判断三角形能否构成直角三角形 题型八 利用勾股定理的逆定理求解 题型九 勾股定理与网格问题 题型十 勾股定理与折叠问题 题型十一 求旗杆高度 题型十二 求梯子滑落高度 题型十三 求大树折断钱的高度 题型十四 解决航海问题 题型十五 判断汽车是否超速 题型十六 判断是否受台风影响 题型十七 选址问题 题型十八 求最短路径 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版八上期中，勾股定理分值一般 16～24 分，占试卷 14%～20%。题型覆盖选择、填空、解答，常和实数、折叠、几何图形综合，也是后续几何计算的工具。该板块是几何计算核心，属于期中重点拿分模块。 2. 题型特点 选择填空多考查勾股数、已知两边求第三边、逆定理判定直角三角形；解答有基础边长计算、折叠问题、最短路径。命题贴近课本，常结合网格图形，侧重模型识别，注重定理与逆定理的区分使用。 3. 难度分布 基础题占六成，直接套用勾股定理计算；中档题以折叠、网格、简单最短路径为主，需要构造直角三角形；难题多为填空压轴，结合动点、分类讨论，易错点是没有分清斜边、忽略多种情况。 4. 备考方向 牢记勾股定理及其逆定理，熟记常见勾股数；专项练习折叠、将军饮马等经典模型，养成画图构造直角三角形的习惯；重视分类讨论题型，分清直角边与斜边，规范书写格式，避免漏解。 识记 识记勾股定理与逆定理内容，分清二者条件与结论；熟记常用勾股数，知道直角三角形三边关系。能准确说出定理适用前提，区分斜边与直角边，记住勾股定理用于求边长，逆定理用来判定直角三角形，不混淆两个定理的表述。 理解 理解勾股定理是直角三角形三边的数量关系，明白逆定理通过边长关系判断直角；理解网格、折叠图形中直角的由来，体会数形结合思想。清楚已知两边求第三边时，斜边不确定会产生多解，能看懂定理推导图形，理解面积法证明思路。 应用 能在直角三角形中利用勾股定理求线段长，会用逆定理判断三角形是否为直角三角形；熟练解决折叠、最短路径、网格计算问题；遇到无直角的图形会作垂线构造直角三角形，注意分类讨论斜边情况，规范步骤，避开漏解错误。 考点一 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 考点二 勾股定理的证明 知识点二、勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 考点三 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 考点四 勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 考点五 勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 考点六 利用勾股定理解决路线问题和航海问题 利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 题型一 勾股定理的证明方法 典例1（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将的绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长相交于点，则有，且四边形是一个正方形． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵将的绕其锐角顶点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即； (2) 【分析】（）由旋转的性质得，，，即得，又由，进而得到，化简即可求证； （）利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的几何背景，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵，即，， ∴，， ∵， ∴． 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，，且、、三点共线，连接． (1)请你用该图证明勾股定理． (2)若的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， ， ， ， ∵ ∴ 化简整理得：． (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，正确表示出梯形的面积的两种计算方法是解题的关键． （1）根据，推出，再根据梯形的面积两种计算方法得出等式得出结论； （2）根据的面积为，的面积为，推出，代入即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵的面积为，的面积为13， ， ， 由（1）知， ， 由图可知， ． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 【答案】(1) (2)①28  ②14 【分析】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）证明，利用两种方法求出梯形的面积，可得结论； （2）①利用（1）中结论求出b可得结论； ②想办法求出可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的面积， ∴； （2）解：①当，时，， 长方形的面积是； 故答案为：28； ②当，时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴面积． 题型二 以弦图为背景的计算题 典例2（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（     ） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a，根据题意，得，，小正方形的边长为，计算的值即可． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，较短的直角边长为b，较长的直角边长为a， 根据题意，得，，，小正方形的边长为， ∴， 解得或负值舍去； 故，即小正方形的面积是4． 迁移应用 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1) 解：根据题意得， ， 则； (2)120 (3)9 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断②；根据大正方形的面积直角三角形面积小正方形的面积可判断③；根据①③结合完全平方公式特点即可判断④． 【详解】解：①，表示直角三角形的两直角边（），大正方形的面积为64， 由勾股定理可知， 故①正确； ②小正方形的面积为9， 小正方形的边长为3， ， 故②正确； ③大正方形的面积直角三角形面积小正方形的面积， ， 故③正确； ④，， 即， ， 有， 或（不合题意，舍去）， 故④错误． 综上所述，其中正确的是①②③， 故选：B． 题型三 勾股数问题 典例3（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】(1) 证明：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)24 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）略 2．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 (2)如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； (3)已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 【答案】(1) (2)证明：，，（为大于1的整数）， ，，都是正整数， ，， ， 故、、为勾股数． (3)解：以，，为三边长的三角形是直角三角形．理由如下： ，，（为大于1的整数）， 当时， ， 解得 ，， ，， ， 所对的角为， 故该三角形是直角三角形． 【分析】（1）根据特例发现，股中括号里的第一项恰好是勾的平方，弦中括号里的第一项恰好是勾的平方，其余特点，保持不变，解答即可； （2）根据勾股数的定义，解答即可； （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． （3）解：略． 题型四 用勾股定理构造图形解决问题 典例4（24-25八年级下·福建莆田·期末）在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，证明过程如下： 过点作的延长线于点，如图所示： 不妨设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ； (2)存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，利用分类讨论的方法解不等式，灵活作高是解题的关键． （1）过点作的延长线于点，在中，，，，在中，，，那么有，化简可得，从而推出与的大小关系； （2）假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和，根据三角形三边关系有，再结合（1）的结论，可得到的范围，从而解得答案． 【详解】（1）略 （2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下: 假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和， 那么有， ， 由（1）的结论可知，， ， ， 或， ， 或， 又， ， 当时，，， 综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 迁移应用 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 2．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②； (2)1． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）①由题意可知，，根据计算即可； ②由题意得到，，可知，求出，再根据求出，即可求出直角三角形的周长； （2）先证明、是直角三角形，再根据题干所给公式计算即可． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12， ∴，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵ ∴， 解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴． 题型五 以直角三角形三边为边长的图形面积 典例5（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，面积分别记为，若，则_____． 【答案】3 【分析】先根据勾股定理得出的三边关系，再根据正方形的性质即可得出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 迁移应用 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出，即可求解． 【详解】解：设，，， ∴依题意得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当_______时，． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得、，如果是等腰直角三角形，则有，根据等腰直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可求． 【详解】解：如下图所示， 若，则有， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， 同理可得：， ， 是等腰直角三角形， ，， ． 故答案为： ． 题型六 用勾股定理解三角形 典例6（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，边的中点为，边上的点满足．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及直角三角形所对的直角边是斜边的一半得到，根据勾股定理求出，即可求出，过点作，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 边的中点为， ． 过点作， ， 是等腰三角形， 是的中点， ， ． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，若，，则的面积为 _______ ． 【答案】 【分析】过D作于H，由角平分线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形面积关系列出方程求出，再由面积公式求出的面积． 【详解】解：过D作于H， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即代入得， 解得， ∴． 2．（25-26九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，两锐角的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：过点D作， ∵两锐角的平分线相交于点D，于点E，于点F． ∴, ∴； (2) 【分析】（1）过点D作，根据角平分线的性质即可得到结论； （2）先用勾股定理求出．再利用等面积法列出方程求解即可 【详解】（1）略 （2）解：连接， 中，， ∴， 设， ∴ 解得： ∴ 题型七 判断三角形能否构成直角三角形 典例7（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为：． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴中边上的高的长度为． 迁移应用 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）由下列各组线段a，b，c组成的三角形，不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：A选项中，最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合题意； B选项中，最长边为，，，，能构成直角三角形，不符合题意； C选项中，最长边为，，，，能构成直角三角形，不符合题意； D选项中，最长边为，，，，能构成直角三角形，不符合题意． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上的高，，，． (1)求证：； (2)若的平分线与交于点，则的长度是___________． 【答案】(1) 证明：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，． (2) 【分析】（1）由勾股定理求出，，得，，； （2）过点E作于点F，根据角平分线性质得，证明，得，得，设，则，由勾股定理得，解得． 【详解】（1）略 （2）解：过点E作于点F， 则， ∵， ∴， ∵的平分线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 题型八 利用勾股定理的逆定理求解 典例8（25-26八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，，． 由勾股定理，得， ，， ， 为直角三角形， (2)36 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而可证明，据此可证明结论； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 迁移应用 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明得到，则可证明； （2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为______． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积+直角的面积． 【详解】解：连接．如图所示： ， ， 在中，， ，即， ∴是直角三角形，． ， 即绿地的面积为234． 故答案为：234． 题型九 勾股定理与网格问题 典例9（26-27八年级上·江苏盐城·期中）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图1中，以线段为一边画一个正方形，所画正方形的面积为_______； (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察网格，求出正方形面积，从点、点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）将无理数边长拆分为网格直角三角形斜边，是直角边、的斜边，是直角边、的斜边，为整数格线段，取公共顶点拼接三边得到目标三角形． 【详解】（1）解：观察网格，点、横向差格，纵向差格，由勾股定理，正方形面积，因此正方形面积为． 从点向下平移格、向右平移格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）解：，，另为横格线段， 在网格中取格点，距离为； 另取一点使其满足上述三边关系， 即得到三边长为，，的三角形． 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． (1)请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）因为在方格纸中且给出小正方形边长可放在直角三角形中用勾股定理求出线段长度， （2）先求出三条边的长度，进而利用用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，若是则可得出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2） ，， ， 为直角三角形， ． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． (1)在图①中，的长为___________， (2)在图①中确定一点，连接、，使与全等（画出一点即可）； (3)在图②中的边上确定一点，使点到边、的距离相等． 【答案】(1) (2) 如图所示，则，，与全等； 答案不唯一； (3) 如图所示，点P即为所求作； 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定， 对于（1），根据勾股定理解答； 对于（2），由（1）使，可得，同理可得其它两组； 对于（3），在上取点D，使，连接，取的中点E，作射线，交于点P，可知平分，则点P到的距离相等. 【详解】（1）解：根据勾股定理，得. 故答案为：； （2）略 （3）略 题型十 勾股定理与折叠问题 典例10（24-25八年级上·江苏盐城·期末）折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)． (1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹) (2)若，求折痕的长． 【答案】(1) 如图：即为所求． (2) 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可知，用直尺和圆规作出的平分线即可； （2）根据勾股定理求出，由折叠的性质可得、．设，则，再运用勾股定理列方程求得，即．最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：在中，， ∴， ∵是由沿翻折得到的， ∴， ∴． 设，则 在中，， ∴，即，解得：，即． 在中，． 迁移应用 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠问题，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，，再根据折叠得出，然后设，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 是直角三角形，， 是翻折而成， ， 设， ， 在中，，即， 解得． 故的长为3． 2．（江苏省徐州市中考数学押题预测卷-2024年中考数学【热点�重点�难点】专练（江苏专用））如图，在中，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为 ___________． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，过F作于点G．先求出，．则，所以，设，则，，在中，，利用勾股定理解列出，解得，即求出． 【详解】解：过F作于点G． ∵， ∴，． ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 题型十一 求旗杆高度 典例11（25-26八年级上·广东深圳·期中）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 【答案】居民楼的高度为米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将实际问题转化为直角三角形的几何模型，利用勾股定理列方程计算是解题关键． 过点作，则，，设居民楼的实际高度为米，然后对、进行表示，再利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作．可知，． 设居民楼的实际高度为米，根据题意， 绳子的长度为米，米，米， 在中，根据勾股定理： ， 代入已知条件： ， 展开化简： ， ， ， 可得． 答：居民楼的高度为米． 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为15米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 作，，可证，可得，，则米，且可求米，米，即可求的长． 【详解】解：如图，作，，则四边形是矩形，米，， ， 在和中， ， ， ，， 即米， 根据题意，米，米， （米，则米， 米， 则米， 米，米， 米， 答：旗杆的高度为15米． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设学校旗杆的高度为，则图②中，，，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图中，，，， 在中，由勾股定理得： ∴． 解得：， 答：学校旗杆的高度为． 题型十二 求梯子滑落高度 典例12（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 迁移应用 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)21米 (2)6米 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)24米 (2)能 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． （1）先说明，再根据勾股定理求出的长即可； （2）设米，运用勾股定理求得的长，然后与云梯长度的比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． 答：的长为24米． （2）解：设米，则． ∵， ∴能达到． 题型十三 求大树折断钱的高度 典例13（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 迁移应用 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1) (2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 设长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴； 答：旗杆距地面处折断． （2）解：如图， 由题意可得， ∴． 在中，， ∵， ∴， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】(1)米 (2)小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 题型十四 解决航海问题 典例14（26-27八年级上·福建三明·期中）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】（1）将现实生活问题转化为数学问题，利用勾股定理求出线段的长即可； （2）过点作交于点，利用等面积法求出即可； 【详解】（1）解：依题意海里，海里，， ∴（海里）； （2）解：过点作交于点， ∵， ∴（海里）， 即救援快艇行驶的最短距离为海里． 迁移应用 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 2．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上． (1)若过点作于点，则___________； (2)求的距离； (3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【答案】(1) (2)80海里 (3)海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 【分析】（1）设，则，，据此求解即可； （2）设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，再用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出； （3）比较与半径的大小，得到答案． 【详解】（1）解：如图，在中，， 设，则，， ∴； （2）解：在中，， 设海里，则海里，海里， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∵海里， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为80海里； （3）解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：∵， ∵， ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 题型十五 判断汽车是否超速 典例15（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】 解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得， 米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】略 迁移应用 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2) 解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）略 题型十六 判断是否受台风影响 典例16（26-27八年级上·河南郑州·期中）如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． (1)村庄会受水雾影响吗？为什么？ (2)若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 【答案】(1)会受影响，理由如下： 过点作于点， 根据题意可知，，， ，， ， ， ， ， ， 村庄会受水雾影响． (2)分钟． 【分析】（1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形面积的两种求法求出，作比较即可解答； （2）设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响，先利用勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一求出，即可求出受影响的时间． 【详解】（1）略； （2）解：设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响， 则， 在中，由勾股定理可得， ， ， （分钟） 答：洒水车水雾影响该村庄持续的时间有分钟． 迁移应用 1．（26-27八年级上·福建漳州·期中）如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 【答案】(1)货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵， ∴货车开过学校受噪音影响； (2)学校受噪音影响时间是6秒 【分析】（1）根据垂线段最短即可求解； （2）设，则路段是学校受噪音影响的路段，对运用勾股定理求解，即可求解，即可求解受影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设，则路段是学校受噪音影响的路段， ∵， ∴， 又，， ∴， 同理由勾股定理可得，， ∴， ∴影响时间（秒）． 答：学校受噪音影响时间是6秒． 2．（26-27八年级上·宁夏银川·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风的影响，理由如下： 如图，作于点， ， ； ，， ， 由等面积可知，， ， 观测点会受到台风的影响； (2)观测点受台风影响的时间为 【分析】（1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点为圆心以为半径画弧交于点，，，可知台风在段移动时受到影响，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，以点为圆心以为半径画弧交于点，， 则， 台风在段上移动时受到影响， ， ， ， ， 观测点受台风影响的时间有． 题型十七 选址问题 典例17（25-26八年级下·北京·期中）如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 【答案】 6.875 【分析】（1）设，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和，根据建立方程求解即可； （2）利用割补法，用梯形的面积减去和的面积表示出的面积，根据面积范围列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设，则 ， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ，两村到加油站的距离相等 解得 ； （2）由题意得， ， 的面积不小于也不超过 解得 的取值范围是． 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 【答案】E站应建在距A点处 【分析】本题考查了勾股定理的应用； 设，则，然后根据，利用勾股定理构建方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴， ∴，， 由题意得：， ∴，即， 解得：， 答：E站应建在距A点处． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 【答案】千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，根据勾股定理得到，求解即可． 【详解】设，则， ，，， ， ， 解得， 中转站P应修建在离点M千米处． 题型十八 求最短路径 典例18（26-27八年级上·全国·周测）如图是由8个棱长为的小正方体所搭建的几何体．若一只蚂蚁从顶点出发沿几何体的表面爬到点，则最短的距离为________． 【答案】5 【详解】解：因为题图是由8个棱长为的小正方体所搭建的几何体，所以这个几何体的长是，宽是，高是， ①展开前面和右面，则； ②展开上面和右面，则； ③展开前面和下面，则． 因为， 所以最短的距离的平方为25． 因为， 所以最短的距离为． 迁移应用 1．（26-27八年级上·四川达州·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜜蜂点的最短距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱的侧面展开图，结合两点之间线段最短（将军饮马问题）、勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示，点在圆柱侧面展开图所成矩形两边对边中点的连线上，过点作关于矩形上面一条边的对称点，连结，则的长就是蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离． 过点作于点， 由题意得：， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为． 2．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 【答案】C 【分析】如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数； B、，不是勾股数； C、，且均为正整数，是勾股数； D、，不是勾股数． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，要从电线杆离地面的点处向地面拉一条的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部点的距离约为（   ）（结果精确到．） A． B．4m C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可得到结果． 【详解】解：地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离约为， 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理，该定理是直角三角形的重要性质．若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．14 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么，即． 根据勾股定理直接计算斜边长即可． 【详解】解：∵两直角边长分别为6和8， ∴斜边长． 故选：A． 4．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在中，，则斜边上的高的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键． 先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ∴， 即． 故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 6．（2026八年级上·江苏南京·专题练习）如图，以直角三角形的一条直角边向外作正方形A，若A的面积是225，斜边长度是17，则它另一条直角边的长度是 ______ ． 【答案】8 【详解】解：如图， ∵正方形A的面积是225， ∴， ∵是直角三角形，，， ∴ 8， 即另一条直角边的长度是8． 7．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 8．（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 【答案】 【分析】在网格中以为斜边构建直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以为斜边构建直角三角形， 平移距离． 9．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 10．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为________ ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质找到等角或等边，在三角形中利用勾股定理求解． 【详解】解：由及旋转性质可知， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴为的中垂线， ∴， ∴为等边三角形， ∵在中由勾股定理得，即， ∴， ∵， ∵， 又D为中点， ∴， ∴在中由勾股定理得，即． 故的长为． 11．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：设，则， 中，， ， 解得：， 则． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 【答案】(1) 证明：米，米，米， 则 ， ； (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）得， ， （米）， （米）． 13．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； (2) 解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（2026八年级上·江苏南京·专题练习）已知水厂A和工厂B、C恰好构成一个等边三角形，现要在A、B、C间铺设水管，由水厂A向工厂B、C供水，下列四种设计方案（实线为水管）中铺设路径最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算四个选项的铺设路径的长度，再比较即可． 【详解】解：C、如图，设等边三角形的边长为a， ∵，为等边三角形， ∴，，， A、铺设路线的长为． ∵， ∴C中铺设路线长度比A中铺设路线长度短； B、如图所示， ∵，与不重合， ∴， ∴铺设路线的长度大于； D、如图，把绕顺时针旋转得，连接，记的交点为， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， 同理：为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四点共线， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 结合C选项可得：， ∴． ∵， ∴D选项铺设路线的长度最短． 17．（26-27八年级上·贵州毕节·期中）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大正方形的面积4个全等直角三角形的总面积小正方形面积，列式解答即可； 【详解】解：图中大正方形的边长为直角三角形两条直角边的和，因此大正方形的面积可表示为， 以斜边为边的小正方形面积是， 4个全等直角三角形的总面积为， ∴， 展开化简后可得， 其余选项：A是错误的边长关系； B是勾股定理的最终结论，不是该图的验证过程等式； C是另一种勾股定理验证图的面积等式，和本题图形不符； D符合题意． 18．（26-27八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 19．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解． 【详解】解：连接、，如下图： ∵是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ∴． 20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将长方体表面展开，分前面与右面展开、前面与顶面展开两种情况，利用勾股定理计算的长，比较大小即可． 【详解】解：如图1，将前面和顶面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，， ； 如图2，将前面和右面展开在同一平面内， ，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒， ，，， ． ， 最短距离为． 21．（26-27八年级上·江苏南京·期中）在锐角中，已知，，则第三条边c的变化范围是_______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的性质，任意一边的平方小于另外两边的平方和，分为最大边、为最大边两种情况讨论，结合三角形三边关系求解的范围； 【详解】解：首先根据三角形三边关系，得， 代入，，得， ∵是锐角三角形， ∴所有内角都是锐角，只需保证最大内角为锐角即可， 分两种情况讨论： ① 当时，是最大边，对应最大内角， ∵是锐角， ∴， 代入得，即， ∵， ∴， 结合，得； ②当时，是最大边，对应最大内角， ∵是锐角， ∴， 代入得，即， ∵，∴， 结合，得； 综上得． 22．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为_______________． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，即由此求出，结合图形即可解答 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴，解得：， 由图形可得：图中阴影部分与正方形等底等高， ∴阴影部分的面积为． 23．（2026八年级上·江苏南京·专题练习）如图，在四边形中，，，E是中点，连接，作于点F，若，，则 ____ ． 【答案】 【分析】连接，过点E作于点K，的延长线交的延长线于点T，证明四边形为长方形，，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：连接，过点E作于点K，的延长线交的延长线于点T，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为长方形， ∴，，， ∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵于点F， ∴由三角形面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 24．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 25．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点是边上的动点，当最小时的长度为_________． 【答案】4 【分析】作关于直线的对称角，过点作，交于，此时，最小，最小值为，，根据条件求出，即可得时，最小，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的值即可． 【详解】解：如图， 作关于直线的对称角，则， 过点作，交于，此时，最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴时，最小， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴当最小时的长度为4． 26．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形边长为1个单位长度，利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中边上找一点P，使点P到点B和点C的距离相等； (2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）取格点、，连接交于点，点即为所求； （2）根据网格特点并结合勾股定理作出三角形即可． 【详解】（1）解：取格点、，连接交于点，点即为所求， 图略， 由网格特点可得，， ∴， ∴， 又点为的中点， ∴垂直平分， ∵点在上， ∴点P到点B和点C的距离相等； （2）解：图略， 由网格特点和勾股定理可得，， 故即为所求． 27．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由长方形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而可得，即可得出，从而得证； （2）由长方形的性质可得，，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形为长方形， ∴，， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴． 28．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 数学爱好者利用长方体火柴盒在桌面上推倒的过程，发现了另一种证明勾股定理的方法． 如图②，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，．请利用直角梯形的面积完成勾股定理的证明． 【答案】证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据题意可得，再根据列式证明即可． 【详解】略 29．（26-27八年级上·江苏淮安·期中）定义：如图1，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点P为关于点C的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则点P是不是关于点A的勾股点________（填“是”或“不是”）； (2)如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点D是外一点，且点C是关于点A的勾股点，，则的长为________； (3)如图4，是等边三角形，点P为内一点（不与点A、B、C重合），若，证明：点P是关于点A的勾股点． 【答案】(1)是． (2)． (3)证明：以 为边作等边三角形 ，使射线 在 的内部，连接 ． ∵ 是等边三角形， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．① ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 与 中， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点 是 关于点 的勾股点． 【分析】（1）由方格纸用勾股定理分别算出 、、，按定义检验 与 是否相等； （2）由定义得 ，由 得 ，结合 求出 ，再由等腰三角形三线合一得 ，在 中用勾股定理求 ； （3）以 为边构造等边三角形 ，把 的角拆出 ，使 、 成为同一个直角三角形的两条直角边，再用“SAS”证 ，把 转化为该直角三角形的斜边 ，从而 ． 【详解】（1）解：由方格纸可知， 是直角边分别为 、 的直角三角形的斜边，、 都是直角边分别为 、 的直角三角形的斜边． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 点 是 关于点 的勾股点， 故填：是． （2）解：∵ 点 是 关于点 的勾股点， ∴ ． ∵ ， 是 边上的中线， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 中，， ∴ 的长为 ． （3）略． 【点睛】本题考查新定义的理解、勾股定理、等腰三角形三线合一、等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质；解题关键是紧扣定义“到某顶点的距离的平方等于到另两个顶点的距离的平方和”进行转化；第三问通过构造等边三角形把 的角拆出 ，使 、 成为同一个直角三角形的两条直角边，再用“SAS”全等把 转化为该直角三角形的斜边，勾股定理得以直接应用． 30．（26-27八年级上·江苏常州·期中）已知：在中，，． 【初步发现】 (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段之间满足的数量关系是 ． 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线上．连接，在的左侧作， �� �� = �� �� ．当，时，求的面积． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立；理由如下： 如图2，连接， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）分当点D在线段上和当点D在线段的延长线上时两种情况，结合（1）（2）及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：连接， 分两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图3， 由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图4， 由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 勾股定理 考点二 勾股定理的证明 考点三 勾股定理的逆定理 考点四 勾股数 考点五 勾股定理的应用 考点六 利用勾股定理解决路线问题和航海问题 05 重难题型突破 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股数问题 题型四 用勾股定理构造图形解决问题 题型五 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型六 用勾股定理解三角形 题型七 判断三角形能否构成直角三角形 题型八 利用勾股定理的逆定理求解 题型九 勾股定理与网格问题 题型十 勾股定理与折叠问题 题型十一 求旗杆高度 题型十二 求梯子滑落高度 题型十三 求大树折断钱的高度 题型十四 解决航海问题 题型十五 判断汽车是否超速 题型十六 判断是否受台风影响 题型十七 选址问题 题型十八 求最短路径 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版八上期中，勾股定理分值一般 16～24 分，占试卷 14%～20%。题型覆盖选择、填空、解答，常和实数、折叠、几何图形综合，也是后续几何计算的工具。该板块是几何计算核心，属于期中重点拿分模块。 2. 题型特点 选择填空多考查勾股数、已知两边求第三边、逆定理判定直角三角形；解答有基础边长计算、折叠问题、最短路径。命题贴近课本，常结合网格图形，侧重模型识别，注重定理与逆定理的区分使用。 3. 难度分布 基础题占六成，直接套用勾股定理计算；中档题以折叠、网格、简单最短路径为主，需要构造直角三角形；难题多为填空压轴，结合动点、分类讨论，易错点是没有分清斜边、忽略多种情况。 4. 备考方向 牢记勾股定理及其逆定理，熟记常见勾股数；专项练习折叠、将军饮马等经典模型，养成画图构造直角三角形的习惯；重视分类讨论题型，分清直角边与斜边，规范书写格式，避免漏解。 识记 识记勾股定理与逆定理内容，分清二者条件与结论；熟记常用勾股数，知道直角三角形三边关系。能准确说出定理适用前提，区分斜边与直角边，记住勾股定理用于求边长，逆定理用来判定直角三角形，不混淆两个定理的表述。 理解 理解勾股定理是直角三角形三边的数量关系，明白逆定理通过边长关系判断直角；理解网格、折叠图形中直角的由来，体会数形结合思想。清楚已知两边求第三边时，斜边不确定会产生多解，能看懂定理推导图形，理解面积法证明思路。 应用 能在直角三角形中利用勾股定理求线段长，会用逆定理判断三角形是否为直角三角形；熟练解决折叠、最短路径、网格计算问题；遇到无直角的图形会作垂线构造直角三角形，注意分类讨论斜边情况，规范步骤，避开漏解错误。 考点一 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 考点二 勾股定理的证明 知识点二、勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 考点三 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 考点四 勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 考点五 勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 考点六 利用勾股定理解决路线问题和航海问题 利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 题型一 勾股定理的证明方法 典例1（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将的绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长相交于点，则有，且四边形是一个正方形． (1)求证：； (2)若，求的长． 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知，，且、、三点共线，连接． (1)请你用该图证明勾股定理． (2)若的面积为，的面积为，求的值． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 题型二 以弦图为背景的计算题 典例2（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形较长的直角边长是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是（     ） A．4 B．6 C．9 D．16 迁移应用 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型三 勾股数问题 典例3（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 2．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股__________，弦__________ 【问题解决】 (2)如果，，（为大于1的整数），则、、为勾股数．请你证明其正确性； (3)已知在（2）的条件下，，请判断以，，为三边长的三角形的形状． 题型四 用勾股定理构造图形解决问题 典例4（24-25八年级下·福建莆田·期末）在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 迁移应用 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 2．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】 (1)在一直角三角形中： ①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 题型五 以直角三角形三边为边长的图形面积 典例5（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以为边向外作正方形，面积分别记为，若，则_____． 迁移应用 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当_______时，． 题型六 用勾股定理解三角形 典例6（26-27八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，，边的中点为，边上的点满足．若，则的长为________． 迁移应用 1．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，若，，则的面积为 _______ ． 2．（25-26九年级下·江苏南通·期中）如图，在中，两锐角的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型七 判断三角形能否构成直角三角形 典例7（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 迁移应用 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）由下列各组线段a，b，c组成的三角形，不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上的高，，，． (1)求证：； (2)若的平分线与交于点，则的长度是___________． 题型八 利用勾股定理的逆定理求解 典例8（25-26八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 迁移应用 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为______． 题型九 勾股定理与网格问题 典例9（26-27八年级上·江苏盐城·期中）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图1中，以线段为一边画一个正方形，所画正方形的面积为_______； (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形． 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． (1)请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______； (2)连接，求的度数． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． (1)在图①中，的长为___________， (2)在图①中确定一点，连接、，使与全等（画出一点即可）； (3)在图②中的边上确定一点，使点到边、的距离相等． 题型十 勾股定理与折叠问题 典例10（24-25八年级上·江苏盐城·期末）折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)． (1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹) (2)若，求折痕的长． 迁移应用 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，三角形纸片的三边长分别为，，，现将边沿折叠，使它落在边上，点与点重合，求的长． 2．（江苏省徐州市中考数学押题预测卷-2024年中考数学【热点�重点�难点】专练（江苏专用））如图，在中，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为 ___________． 题型十一 求旗杆高度 典例11（25-26八年级上·广东深圳·期中）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，楼顶处刚好有一根绳子（）垂直落到地面，绳子（）比楼高（）多米．小明想了解楼的高度，于是他把绳子拉开米时（即米），绳子（）刚好举过头顶，小明的身高是米（即米），小明能够求出这栋居民楼的高度，请帮小明写出完整的过程． 迁移应用 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台顶端，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台顶端.求旗杆的高度． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 题型十二 求梯子滑落高度 典例12（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到处时，它的底端从B处滑动到处，云梯的底端在水平方向滑动了多少米？ 迁移应用 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 题型十三 求大树折断钱的高度 典例13（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 迁移应用 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？ 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 题型十四 解决航海问题 典例14（26-27八年级上·福建三明·期中）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 迁移应用 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 2．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上． (1)若过点作于点，则___________； (2)求的距离； (3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 题型十五 判断汽车是否超速 典例15（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 迁移应用 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 题型十六 判断是否受台风影响 典例16（26-27八年级上·河南郑州·期中）如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． (1)村庄会受水雾影响吗？为什么？ (2)若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 迁移应用 1．（26-27八年级上·福建漳州·期中）如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 2．（26-27八年级上·宁夏银川·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 题型十七 选址问题 典例17（25-26八年级下·北京·期中）如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 迁移应用 1．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两个城镇A，B，现在计划在火车轨道上修建一个货运中转站，使得中转站P到城镇A，B的距离相等．为此某中学“综合与实践”小组开展了“确定货运中转站位置”的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，部分测量结果如表： 课题 确定货运中转站位置 测量工具 皮尺 测量示意图    说明：， 测量数据 ，， 通过测量数据，请你确定货运中转站应修建在距离点M多少千米处？ 题型十八 求最短路径 典例18（26-27八年级上·全国·周测）如图是由8个棱长为的小正方体所搭建的几何体．若一只蚂蚁从顶点出发沿几何体的表面爬到点，则最短的距离为________． 迁移应用 1．（26-27八年级上·四川达州·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜜蜂点的最短距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，要从电线杆离地面的点处向地面拉一条的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部点的距离约为（   ）（结果精确到．） A． B．4m C． D． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理，该定理是直角三角形的重要性质．若一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．14 C．2 D． 4．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在中，，则斜边上的高的长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 6．（2026八年级上·江苏南京·专题练习）如图，以直角三角形的一条直角边向外作正方形A，若A的面积是225，斜边长度是17，则它另一条直角边的长度是 ______ ． 7．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 8．（2026·陕西商洛·三模）如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，经过一次平移后得到，点B的对应点的位置如图所示，则平移距离为________． 9．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 10．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为________ ． 11．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．求的长． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 13．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 14．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（2026八年级上·江苏南京·专题练习）已知水厂A和工厂B、C恰好构成一个等边三角形，现要在A、B、C间铺设水管，由水厂A向工厂B、C供水，下列四种设计方案（实线为水管）中铺设路径最短的是（     ） A． B． C． D． 17．（26-27八年级上·贵州毕节·期中）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（     ） A． B． C． D． 18．（26-27八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 19．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．3 20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，在线段的三等分点（靠近点）处有一只蚂蚁，中点处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（     ） A． B． C． D． 21．（26-27八年级上·江苏南京·期中）在锐角中，已知，，则第三条边c的变化范围是_______． 22．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为_______________． 23．（2026八年级上·江苏南京·专题练习）如图，在四边形中，，，E是中点，连接，作于点F，若，，则 ____ ． 24．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 25．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点是边上的动点，当最小时的长度为_________． 26．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形边长为1个单位长度，利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中边上找一点P，使点P到点B和点C的距离相等； (2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，． 27．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 28．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 数学爱好者利用长方体火柴盒在桌面上推倒的过程，发现了另一种证明勾股定理的方法． 如图②，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，．请利用直角梯形的面积完成勾股定理的证明． 29．（26-27八年级上·江苏淮安·期中）定义：如图1，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点P为关于点C的勾股点． (1)如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则点P是不是关于点A的勾股点________（填“是”或“不是”）； (2)如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点D是外一点，且点C是关于点A的勾股点，，则的长为________； (3)如图4，是等边三角形，点P为内一点（不与点A、B、C重合），若，证明：点P是关于点A的勾股点． 30．（26-27八年级上·江苏常州·期中）已知：在中，，． 【初步发现】 (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段之间满足的数量关系是 ． 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线上．连接，在的左侧作， �� �� = �� �� ．当，时，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $