专题06勾股定理的探究、逆定理期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题06勾股定理的探究、逆定理期中复习讲义 ✵复习目标 1.经历勾股定理的面积探究过程，理解定理内涵，熟记勾股定理，能在直角三角形中进行边长、周长与面积计算。 2.掌握勾股定理的逆定理，会利用三边数量关系判定直角三角形，清晰区分勾股定理与其逆定理。 3.理解勾股数定义，熟记常用基础勾股数，能运用定理解决基础几何与简单实际问题。 4.规范几何推理书写，掌握分类讨论方法，识别常见解题误区，体会数形结合与方程思想。 ✵高频题型梳理 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 题型3.勾股定理与无理数 题型4.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型5.利用勾股定理证明线段平方关系 题型6.以弦图为背景的计算题 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 题型8.勾股树（数）问题 题型9.判断三边能否构成直角三角形 题型10.在网格中判断直角三角形 题型11.利用勾股定理的逆定理求解 题型12.勾股定理逆定理的拓展问题 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边。 公式表达：若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则=。 适用条件：仅限直角三角形使用，锐角三角形、钝角三角形均不满足此边长平方关系。 核心用途：已知直角三角形任意两边长，可求解第三边长。 完整变形公式：a2=c2-b2，b2=c2-a2； 开方求值：c=，a=，b=。 2.勾股定理的验证 赵爽弦图：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 知识点二、勾股定理逆定理 1.定理内容：若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即=，则该三角形为直角三角形，最长边c所对的内角为直角。 适用条件：适用于任意已知三边长的三角形，是判定直角三角形的代数方法。 核心用途：根据三角形三边长，判断该三角形是否为直角三角形，是几何判定直角的重要方法。 知识点三、勾股定理与逆定理对比 对比项目 勾股定理 勾股定理的逆定理 前提条件 △ABC 是直角三角形，∠C=90° △ABC 三边长a、b、c满足a2+b2=c2 得到结论 两直角边平方和等于斜边平方a2+b2=c2 △ABC 为直角三角形，最长边c所对的角是直角 推理方向 由形推数 由数判形 主要用途 已知直角，计算边长、周长、面积 已知三边，判定直角三角形，几何证明 知识点四、常见勾股数 1.能够构成直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数。 2.勾股数具有倍数性质：一组勾股数的正整数倍，仍然是勾股数。 常用基础勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)。 最简勾股数：三个数的最大公因数为1的一组勾股数，如(3,4,5)、(5,12,13)，最简勾股数同时乘以同一个正整数，得到的新数组仍是勾股数。 ✵易错提醒 1.已知三角形两边长，未说明斜边时，求第三边要分类讨论，避免漏解。 2.勾股定理为性质定理（已知直角，求边长）；逆定理为判定定理（已知三边，证直角），不可混淆使用。 3.勾股数必须是一组正整数，分数、小数即使满足关系式，也不是勾股数。 4.a2+b2=c2仅适用于直角三角形，无直角条件不能直接套用公式。 5.使用逆定理判定直角三角形，必须先找出最长边，将最长边作为c验证。 ✵典例精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．直角中，，为直角边，为斜边，，，则此三角形的周长为（     ） A．30 B．36 C．48 D．50 【答案】B 【详解】解：∵在中，，为直角边，为斜边，，， ∴设，（）， ∴， 即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴三角形周长为． 2．在中，，，则___________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 3．实验探究：物理课上，胡老师带着科技小组进行物理实验 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体静止在轨道上，绳子与地面垂直，其中，． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： (1)求绳子的总长度； (2)图2若物体升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】1）利用勾股定理求出的长，再根据绳子的总长度等于的长即可； （2）设物体升高至点的位置，此时点向左滑动到点的位置，先求出的长度，再求出的长度，进而求出的长度即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 答：绳子的总长度为． （2）解：如图，设物体升高至点的位置，此时点向左滑动到点的位置， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（     ） A．9 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】连接，利用勾股定理建立之间的等量关系，求解即可. 【详解】解：连接，由题意得，，，， ， 在中，，在中，， ，即， ，， ， . 2．如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形，若，则正方形和正方形的面积之和为________． 【答案】256 【分析】由勾股定理可得，再结合正方形的面积为，正方形的面积为即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积之和为． 3．如图，的顶点都在格点上． (1)图1中，D是边上一点，平移，使点B与点D重合，画出平移后的三角形： (2)图2中，画一个，使得． 【答案】(1)，即为所作 (2)，即为所作 【分析】（1）点B与点D重合，相当于将原三角形向右平移两个单位，据此作图即可； （2）结合网格图，根据“”作图即可． 【详解】（1）作图见答案 （2）作图见答案 验证：根据网格图可知：，，，根据“”可知． 题型3.勾股定理与无理数 1．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 【详解】解：点所对应的实数是2， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 2．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 【答案】/ 【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∴， 则点M表示的数为． 3．有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了，，，．按照他的做法，你认为能够“画出”哪些数？在这些数中，哪些数是有理数，哪些数是无理数？你有什么发现？ 【答案】由题意可得，能够“画出”，，，，，，，，…， 其中，， ，，，，…是无理数，，…是有理数， 发现：运用如图所示的方法能够“画出”正整数的算术平方根 【分析】根据实数与数轴的关系，有理数和无理数的定义解答即可． 【详解】解：由题意可得，能够“画出”，，，，，，，，…， 其中，， ，，，，…是无理数，，…是有理数， 发现：运用如图所示的方法能够“画出”正整数的算术平方根． 题型4.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 2．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 3．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①24；②24 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可知，，进而得到，可知点D在的垂直平分线上； （2）①根据垂直平分线的性质可知，，则，； ②根据等边对等角得到，，进而根据角的和差得到，即是直角三角形且为斜边，根据勾股定理可知，结合①可知，根据完全平方公式得到，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：①∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为24； ②由①知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形且为斜边， ∵， ∴， 由①知，的周长为24， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 题型5.利用勾股定理证明线段平方关系 1．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴． ∵，， ∴． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 3．已知是钝角三角形，，，，交于点，动点在射线上，连接，以为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，，，连接． (1)如图1，点在线段上时， ①若，，则线段的长为_________；的度数为_________；线段的长为_________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)如图3，动点在上运动，，连接，若，，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；；；② (2)解：（1）中②的结论仍然成立． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，由勾股定理得，由可得结论；证明得，由可得结论；如图，过点作于点，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质得，，再结合可得结论； ②根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，如图，过点作于点，得，根据等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线的性质得，继而得到，即可得出结论； （2）（1）中②的结论仍然成立．根据直角三角形两锐角互余及等角对等边推出，证明得，，继而得到，进一步得出，再根据勾股定理得，从而得出结论； （3）如图，以为顶点为一边在的下方作，在的下方截取，过作交直线于点，连接、，证明得，推出，当、、共线时，最小，最小值为线段的长，结合三角形内角和定理及等角对等边推出，设，根据勾股定理得出，再由可得答案． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴是中边上的中线， ∴，， ∴， ∴； ②解：． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵，， ∴是中边上的中线， ∴， ∴， ∴， 即； （2）略． （3）解：如图，以为顶点为一边在的下方作，在的下方截取，过作交直线于点，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当、、共线时，最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 题型6.以弦图为背景的计算题 1．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理进行求解． 【详解】解：由题意可知：， 由勾股定理得：， ． 2．我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为__________． 【答案】 30 【分析】设正方形左侧直角三角形的水平直角边长为x，根据题意和图形特征，表示出大直角三角形的三边长，利用勾股定理建立方程求出x，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：设正方形左侧部分的水平直角边长为x， 由题意及图形可知，大直角三角形的竖直直角边长为，水平直角边长为，斜边长为， ，， ∴竖直直角边长为，水平直角边长为，斜边长为， 根据勾股定理，得， 解得， ∴水平直角边长， ∴勾股形的面积． 3．数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)；； (2)证明：由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (3) 【分析】（1）依据题意得，，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设 ，故，又在中,由列式计算得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺，表示出门宽、门高后，由勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺， 将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺， 门宽尺；竖着放，门高尺， 则由勾股定理可得． 2．一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”） 【答案】不能 【分析】连接门框的对角线，利用勾股定理求出的长度为，再通过无理数的估算，比较与的大小，进而判断木板能否通过门框． 【详解】解：连接， 在中，，，， 根据勾股定理：， ， ，，且， ， 长宽的薄木板不能穿过此门． 3．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． 求代数式的最小值． 解题思路：如图，C为线段上一动点，分别过B，D作，连接，．已知．设，则则问题转化成求的最小值． (1)上述的最小值为__________； (2)用几何构图法求代数式的最小值； (3)用几何构图法求方程的解． 【答案】(1)5 (2)的最小值为13 (3)方程的解是 【详解】（1）解：如图，过点A作交的延长线于点F，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的最小值为5， ， 的最小值为5， 故答案为：5； （2）如图，取线段，分别过B、D作，且，连接， 设,则，， ， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小，线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于点F，则四边形是矩形， ， ， ， ， 即的最小值为13； （3）如图构造，于点D，，如图所示： 设，则， ， ， ， 解得， 另外，也满足方程． 方程的解是． 题型8.勾股树（数）问题 1．下列各组数中是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除不是正整数的选项，再验证剩余选项中较小两数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：、不是正整数，不是勾股数; 、，不是勾股数； 、，是勾股数； 、，不是勾股数． 2．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积是2，4，1，2，则最大正方形的边长是__________． 【答案】3 【分析】先求出，的值，再在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， 则在中，， 即最大正方形的边长是3． 3．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，它的三边上各有一个正方形．执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形．图②是1次操作后得到的图形． (1)试画出2次操作后得到的图形． (2)已知最初的直角三角形斜边长c为，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和． (3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？请借助数学软件进行探索． (4)重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状？ 【答案】(1) (2) (3)如果一直画下去，它会呈现出具有自相似性的分形结构，整体形态非常像一棵繁茂的大树（或西兰花）． (4)如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时得到的“毕达哥拉斯树”会是一个左右完全对称、树冠均匀展开的漂亮大树形状． 【分析】（1）理解操作规则，2次操作后，需要在图②中新生成的4个小正方形上，重复之前的操作，即每个小正方形上再生成两个更小的正方形． （2）利用勾股定理（）推导出每次操作新增的正方形面积之和等于上一级正方形的面积之和，从而求出总面积． （3）观察图形的生长趋势，结合“毕达哥拉斯树”的特征进行描述． （4）当初始三角形为等腰直角三角形时，利用对称性判断最终图形的形状． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理可知，直角三角形两直角边向外所作正方形的面积之和等于斜边向外所作正方形的面积． 初始图形中所有正方形面积之和为：， 第1次操作新增正方形面积之和为：， 第2次操作新增正方形面积之和为：， 故2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和为： 当时，（）． （3）一直画下去，图形会不断向上分叉，分支越来越细、越来越密，整体呈一棵“树”的形状，它具有自相似性，任意取出它的一部分并放大，会发现这部分与原来的整体形状相同，这正是分形图形的特征． 借助数学软件（如几何画板、分形绘图软件）可以动态地一步步生成图形，直观观察它的生长与自相似规律． （4）若最初的直角三角形是等腰直角三角形，则两直角边相等，即，于是图形关于过斜边中点的垂线左右对称． 重复操作时，左右两个分支按完全相同的规则生长且互为镜像，因此整棵树始终保持左右对称，最终形成一棵左右对称的树状图形（形似对称的树或羽毛）． 题型9.判断三边能否构成直角三角形 1．下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】如果一个三角形中，两小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项，∵， ∴不能构成直角三角形； B选项，∵， ∴能构成直角三角形； C选项，∵， ∴此时不能构成三角形，故不能构成直角三角形； D选项，， ∴不能构成直角三角形． 2．如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，由旋转的性质可知点的对应点与点关于点对称，即为的中点，即得，可知当 时最短，即最小，再利用等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：， ，， ， 是直角三角形，且， 设旋转后点落在上的点为，如图， 由旋转的性质可知，与关于点中心对称， ∴点与点关于点对称， 为线段的中点， ， 要使最小，则需最小， ∵点在边上 ， ∴当 时，的值最小，此时， 即， 解得 ， 的最小值为． 3．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）连接，根据旋转的性质推出为等边三角形，即可得出结果； （2）先证明，再证明为直角三角形，过点作，勾股定理求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】（1）解：连接， ∵旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，即点与的距离为4； （2）解：∵等边， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴的面积为， 过点作，则， ∴， ∴的面积为， ∵四边形的面积为的面积与的面积之和， ∴四边形的面积为. 题型10.在网格中判断直角三角形 1．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 2．如图，在正方形网格中，的每一个顶点都在格点上，，点是边上的动点（点不与点，重合），将线段沿直线翻折后得到对应线段，将线段沿直线翻折后得到对应线段，连接，则四边形的面积的最小值是____． 【答案】 【分析】此题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．先利用勾股定理的逆定理判断出，进而判断出最小时，四边形的面积最小． 【详解】解：如图，延长使， 点A，C是格点， 点E必是格点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由折叠知，，， ， ， 由折叠知，， 是等腰直角三角形， 由折叠知，， ， ， ， ， 要四边形的面积最小，则的面积最小， 即：最小，此时，，此时， ， 即：四边形的面积最小为， 故答案为：5.5． 3．如图，在的方格纸中，已知线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个以为其中一边中线的锐角三角形． (2)在图2中画一个以为其中一角平分线的直角三角形． 【答案】(1)详见解析（答案不唯一） (2)详见解析（答案不唯一） 【分析】（1）要让作为某边的中线，即连接三角形一顶点与对边中点； （2）要让作为某角的平分线，即将三角形的一个内角分成两个相等的角，且三角形有一个角为直角，需利用方格纸的格点位置关系（如水平、垂直距离，勾股定理判断角度等）来确定顶点位置． 【详解】（1）解：在点P左右两侧各找两个距离点P相等距离的在格点位置上的点，再分别连接点Q到两个格点，即为所求， 或 （答案不唯一） （2）解：以点Q所在的位置为直角顶点，左右两侧各构造两个相同的直角边分别为3和1的直角三角形，连接其对应顶点， （答案不唯一） 题型11.利用勾股定理的逆定理求解 1．在中，若，，，则下面说法正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定是否是直角三角形 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，解答即可． 【详解】解：∵　，，， ∴　，，； ∵　， ∴　， ∴　是直角三角形，且是直角． 2．在中，若，，，则∠________． 【答案】B 【分析】根据勾股定理逆定理解答即可； 【详解】解：∵，，，， 即， ∵是最长边，它的对角是， ∴． 3．已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】根据勾股定理可以求出，根据勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形，， 四边形的面积为． 题型12.勾股定理逆定理的拓展问题 1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 2．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 3．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2) 证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ （2）略 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，为等腰，那么的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，作于点，利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，根据长方形性质得，最后计算面积． 【详解】解：过点作于点，作于点， ， ， ， ， 解得， 在中，， ， 四边形是长方形， ， 为等腰直角三角形， ， ． 2．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由非负性求出三角形三边长，再用勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，， ∵， ∴这个三角形是直角三角形． 3．如图，一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（   ） A．15 B．24 C．30 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，得为直角三角形，故可求出面积． 【详解】解：∵，， ∴， 即是直角三角形， ∴， 故选：B． 4．如图，已知点B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得到的长，再根据数轴上两点间的距离公式求解． 【详解】解：由图可知，直角三角形的水平直角边长为，垂直直角边长为， 根据勾股定理，得． 圆弧是以点为圆心，为半径画的， ． 点表示的数为，且点在点的左侧， 点表示的数为． 二、填空题 5．如图，已知，直角中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边AB之长为______________． 【答案】8 【分析】设BC=x，AC=y，根据勾股定理列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长． 【详解】设BC=x，AC=y， ∵直角三角形两个锐角顶点所引的中线 ∴ 在Rt△ADC和Rt△BCE中，由勾股定理得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：8 【点睛】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可． 6．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高， 过点C作于点E，则人离墙的距离为， 由题意可知，， 当人离传感器A的距离时，灯发光． 此时，在中，根据勾股定理可得， ， ∴， ∴， 即人走到离墙远时，灯刚好发光． 故答案为：． 7．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的中线，先由勾股定理逆定理得出该三角形为直角三角形，得出最短边为，从而可得最短边的一半为，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， ∵， ∴， ∴最短边为， ∴最短边的一半为， 故由勾股定理可得：其最短边上中线的长为， 故答案为：． 三、解答题 8．综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)证明：∵直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∵大正方形的面积也可以表示为： ∴， ∴， ∴． (2) (3)20 【分析】（1）用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明． （2）设，则，利用勾股定理以及即可得出，解方程即可求出． （3）变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小，根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， 即． （3）解：原式可变形成， 变形后的式子可表示在长为16的线段上找一点，使其到两端点垂线（长度分别为3和9）顶点的距离之和最小， 根据几何模型，最小值为以16和为直角边的直角三角形的斜边长， 即最小值为：． 9．如图，在四边形中，（，，均为锐角），，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，再利用割补法求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 10．我们从生活实际发现，当一个直角三角形两长确定时，斜边长也就确定了，古代数学就已经发现，在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则，这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．    (1)如图，4个完全一样的直角三角形（其两直角边长为，斜边长为）与1个小正方形，不重叠无峰隙拼接成的正方形，请用这个图验证“勾股定理”． (2)若直角三角形中两直角边的和，斜边长为3，求直角三角形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积，即可得到答案； （2）根据（1）的结论以及完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：依图示可得 ∴ （2）解：， ， 得 【点睛】本题主要了完全平方公式，利用大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06勾股定理的探究、逆定理期中复习讲义 ✵复习目标 1.经历勾股定理的面积探究过程，理解定理内涵，熟记勾股定理，能在直角三角形中进行边长、周长与面积计算。 2.掌握勾股定理的逆定理，会利用三边数量关系判定直角三角形，清晰区分勾股定理与其逆定理。 3.理解勾股数定义，熟记常用基础勾股数，能运用定理解决基础几何与简单实际问题。 4.规范几何推理书写，掌握分类讨论方法，识别常见解题误区，体会数形结合与方程思想。 ✵高频题型梳理 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 题型3.勾股定理与无理数 题型4.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型5.利用勾股定理证明线段平方关系 题型6.以弦图为背景的计算题 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 题型8.勾股树（数）问题 题型9.判断三边能否构成直角三角形 题型10.在网格中判断直角三角形 题型11.利用勾股定理的逆定理求解 题型12.勾股定理逆定理的拓展问题 题型13.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边。 公式表达：若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则=。 适用条件：仅限直角三角形使用，锐角三角形、钝角三角形均不满足此边长平方关系。 核心用途：已知直角三角形任意两边长，可求解第三边长。 完整变形公式：a2=c2-b2，b2=c2-a2； 开方求值：c=，a=，b=。 2.勾股定理的验证 赵爽弦图：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 知识点二、勾股定理逆定理 1.定理内容：若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即=，则该三角形为直角三角形，最长边c所对的内角为直角。 适用条件：适用于任意已知三边长的三角形，是判定直角三角形的代数方法。 核心用途：根据三角形三边长，判断该三角形是否为直角三角形，是几何判定直角的重要方法。 知识点三、勾股定理与逆定理对比 对比项目 勾股定理 勾股定理的逆定理 前提条件 △ABC 是直角三角形，∠C=90° △ABC 三边长a、b、c满足a2+b2=c2 得到结论 两直角边平方和等于斜边平方a2+b2=c2 △ABC 为直角三角形，最长边c所对的角是直角 推理方向 由形推数 由数判形 主要用途 已知直角，计算边长、周长、面积 已知三边，判定直角三角形，几何证明 知识点四、常见勾股数 1.能够构成直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数。 2.勾股数具有倍数性质：一组勾股数的正整数倍，仍然是勾股数。 常用基础勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)。 最简勾股数：三个数的最大公因数为1的一组勾股数，如(3,4,5)、(5,12,13)，最简勾股数同时乘以同一个正整数，得到的新数组仍是勾股数。 ✵易错提醒 1.已知三角形两边长，未说明斜边时，求第三边要分类讨论，避免漏解。 2.勾股定理为性质定理（已知直角，求边长）；逆定理为判定定理（已知三边，证直角），不可混淆使用。 3.勾股数必须是一组正整数，分数、小数即使满足关系式，也不是勾股数。 4.a2+b2=c2仅适用于直角三角形，无直角条件不能直接套用公式。 5.使用逆定理判定直角三角形，必须先找出最长边，将最长边作为c验证。 ✵典例精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．直角中，，为直角边，为斜边，，，则此三角形的周长为（     ） A．30 B．36 C．48 D．50 2．在中，，，则___________． 3．实验探究：物理课上，胡老师带着科技小组进行物理实验 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（A、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体静止在轨道上，绳子与地面垂直，其中，． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： (1)求绳子的总长度； (2)图2若物体升高，求滑块B向左滑动的距离． 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（     ） A．9 B．11 C．12 D．15 2．如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形，若，则正方形和正方形的面积之和为________． 3．如图，的顶点都在格点上． (1)图1中，D是边上一点，平移，使点B与点D重合，画出平移后的三角形： (2)图2中，画一个，使得． 题型3.勾股定理与无理数 1．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 3．有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了，，，．按照他的做法，你认为能够“画出”哪些数？在这些数中，哪些数是有理数，哪些数是无理数？你有什么发现？ 题型4.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 2．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 3．如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 题型5.利用勾股定理证明线段平方关系 1．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，已知四边形为“垂美”四边形，对角线、交于点，若，，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 3．已知是钝角三角形，，，，交于点，动点在射线上，连接，以为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，，，连接． (1)如图1，点在线段上时， ①若，，则线段的长为_________；的度数为_________；线段的长为_________； ②经过猜想，请直接写出，及之间的数量关系； (2)如图2，若点在线段的延长线上，（1）中②的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由： (3)如图3，动点在上运动，，连接，若，，直接写出的最小值． 题型6.以弦图为背景的计算题 1．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 2．我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为__________． 3．数学活动课上，学习小组开展实践活动 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法验证了勾股定理． (1)已知：在中，，，，．求证：． 证明：由图可知． ______，______，______， ，化简得． (2)【深入思考】如图2，用两个（1）中的直角三角形拼成一个梯形．求证：． (3)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，形成如图3所示的风车．若，，风车外围轮廓（实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一个门框尺寸如图，一个长宽的薄木板___________穿过此门．（填“能”或填“不能”） 3．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． 求代数式的最小值． 解题思路：如图，C为线段上一动点，分别过B，D作，连接，．已知．设，则则问题转化成求的最小值． (1)上述的最小值为__________； (2)用几何构图法求代数式的最小值； (3)用几何构图法求方程的解． 题型8.勾股树（数）问题 1．下列各组数中是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积是2，4，1，2，则最大正方形的边长是__________． 3．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，它的三边上各有一个正方形．执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形．图②是1次操作后得到的图形． (1)试画出2次操作后得到的图形． (2)已知最初的直角三角形斜边长c为，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和． (3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？请借助数学软件进行探索． (4)重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状？ 题型9.判断三边能否构成直角三角形 1．下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 3．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求四边形的面积． 题型10.在网格中判断直角三角形 1．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，的每一个顶点都在格点上，，点是边上的动点（点不与点，重合），将线段沿直线翻折后得到对应线段，将线段沿直线翻折后得到对应线段，连接，则四边形的面积的最小值是____． 3．如图，在的方格纸中，已知线段，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个以为其中一边中线的锐角三角形． (2)在图2中画一个以为其中一角平分线的直角三角形． 题型11.利用勾股定理的逆定理求解 1．在中，若，，，则下面说法正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定是否是直角三角形 2．在中，若，，，则∠________． 3．已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 题型12.勾股定理逆定理的拓展问题 1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 3．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，为等腰，那么的面积为（     ）． A． B． C． D． 2．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（   ） A．15 B．24 C．30 D．不能确定 4．如图，已知点B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，已知，直角中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边AB之长为______________． 6．如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________． 7．已知一个三角形的三边长分别为，，3，则其最短边上中线的长为______． 三、解答题 8．综合与实践 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (3)【应用拓展】借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值． 9．如图，在四边形中，（，，均为锐角），，，，，求四边形的面积． 10．我们从生活实际发现，当一个直角三角形两长确定时，斜边长也就确定了，古代数学就已经发现，在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则，这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．    (1)如图，4个完全一样的直角三角形（其两直角边长为，斜边长为）与1个小正方形，不重叠无峰隙拼接成的正方形，请用这个图验证“勾股定理”． (2)若直角三角形中两直角边的和，斜边长为3，求直角三角形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $