专题07 勾股定理的简单应用 期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题07勾股定理的简单应用期中复习讲义 ✵复习目标 1.回顾勾股定理及其逆定理，区分两个定理的条件与结论，能完成边长计算与直角三角形判定。 2.能从实际问题中抽象直角三角形模型，运用勾股定理求解线段长度。 3.掌握折叠、圆柱侧面最短路径等典型题型，体会转化思想，规范几何解题书写。 4.熟记常用勾股数，能解决相关面积问题，重视分类讨论，规避漏解等常见错误 高频题型梳理 题型1.勾股定理与网格计算 题型2.求台阶上地毯长度 题型3.解决高度类实际问题 题型4.解决距离类实际问题 题型5.解决水杯中筷子问题 题型6.解决航海问题 题型7.求最短路径 题型8.选址使到两地距离相等 题型9.勾股定理与折叠问题 题型10.勾股定理逆定理的实际应用 题型11.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、勾股定理 1.定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2。 使用条件：仅适用于直角三角形；c为斜边，是三角形最长边。 公式变形：a2=c2-b2，b2=c2- 作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长。 知识点二、勾股定理的逆定理 1.逆定理内容：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，边长为c的边所对的角为直角。 2.作用：根据三边数量关系判定直角三角形，实现由数判形。 3.判定步骤： ①找出三边中的最长边； ②计算两条较短边的平方和与最长边的平方； ③比较结果，若相等，则该三角形为直角三角形。 知识点三、勾股数 1.满足a2+b2=c2的一组正整数称为勾股数。 常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17。 性质：一组勾股数同时乘同一个正整数，所得三个数仍是勾股数。 知识点四、勾股定理的简单应用 核心解题思路：实际问题→构造直角三角形→利用勾股定理列方程求解。 实际情境问题：旗杆折断、梯子滑动、折竹、航海测距等，挖掘图形中的垂直关系，建立直角三角形模型。 1.折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等；在折叠形成的直角三角形内设未知数，借助勾股定理列方程求线段长。 2.立体图形最短路径：圆柱表面两点最短距离，将侧面展开为平面图形，依据 “两点之间，线段最短”构造直角三角形计算。 3.面积模型：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形的面积等于两条直角边上正方形面积之和。 知识点五、勾股定理与其逆定理的区别 1.勾股定理：由形推数·用于计算。 已知三角形是直角三角形，推出三边平方关系，用于边长计算、周长面积求解。 2.勾股逆定理：由数判形·用于证明判定。 已知三角形三边平方关系，判定三角形为直角三角形，用于图形判定、几何证明。 ✵易错提醒 1.已知两边长，未指明斜边时，求第三边需要分类讨论，防止漏解。 2.勾股定理是直角三角形的性质定理；逆定理是直角三角形的判定定理，不可混用。 3.勾股数必须是正整数；分数、小数即使满足关系式，也不属于勾股数。 4.没有直角条件，不能直接套用a2+b2=c2。 ✵典例精讲 题型1.勾股定理与网格计算 1．如图，方格纸中每个小方格的边长均为，一只蚂蚁沿图中所示的折线由点处爬到了点处，它一共爬行了多少厘米？ 【答案】蚂蚁一共爬行了 【分析】由勾股定理分别求出、、的长，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ∴． 答：蚂蚁一共爬行了． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格格点上，以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】先根据网格和作图可知，，，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由网格可知，，， 由作图可知，， 则． 3．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的． (2)在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 【答案】(1)如图，或或即为所求（画一个即可） (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等作图即可； （2）由图可得，四边形是正方形，则点P到所在直线的距离相等，然后根据勾股定理求解，故点P即为所求． 【详解】（1）略 （2） 略 题型2.求台阶上地毯长度 1．如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度为． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费_______元． 【答案】8160 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费元， 故答案为：8160． 3．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 题型3.解决高度类实际问题 1．方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】A 【分析】设旗杆高度为米，根据题意表示出绳子的长度，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 2．如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 【答案】4米/ 【分析】由题意可得米，米，，米，利用勾股定理可求得，，根据求解． 【详解】解：由题意得，米，米，，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）． 3．一旗杆离地面3米A处折断，旗杆顶部C落在离旗杆底部B处4米远，旗杆折断之前有多高？ 【答案】8米 【分析】根据勾股定理求出米，进而求出旗杆折断之前的高即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴（米）， ∴旗杆折断之前的高为（米）． 题型4.解决距离类实际问题 1．如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，如图所示，为树，且，为两树距离12米，过C作于E，则，，在直角三角形中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图所示，为树，且，为两树距离12米， 过C作于E，则，， 在直角三角形中， ． 故选：A． 2．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是______寸． 【答案】101 【解析】略 3．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C处与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，求的长． 【答案】（米） 【详解】解：由题意，得米，米， 在中，由勾股定理，得（米）． 题型5.解决水杯中筷子问题 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）至少是（        ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分a的长度范围． 【详解】解：当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示， 则，，由勾股定理得：， ∴； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则； 综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为， 只有选项C中的5在范围内，故选项C符合题意． 2．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 【答案】12 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， 由得， 解得， 则水的深度为12尺． 3．装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.2m，那么一根3.1m长的木条能否放入电梯内？ 【答案】不能 【分析】如详解图，把电梯看作长方体，利用勾股定理求出其最长对角线的长，与木条的长进行比较即可求得结果． 【详解】 解：由题意得：是电梯里最长的对角线， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 木条长的平方， 木条长的平方， 木条长大于， 答：木条不能放入电梯内． 题型6.解决航海问题 1．如图，甲轮船以的速度离开港口向东南方向航行，乙轮船同时同地出发向西南方向航行，已知甲、乙两艘轮船离开港口后分别到达，两点，且，则乙轮船每小时航行（   　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设乙轮船每小时航行，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设乙轮船每小时航行， 根据题意得，，，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴乙轮船每小时航行． 2．已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行，船B以的速度向北航行．它们离开港口后，两船相距________． 【答案】 【分析】根据题意，两船航行方向垂直，先求出2小时后两船距离港口O的路程，再用勾股定理计算两船相距的距离． 【详解】解：如图，设船A所在的点为A，船B所在的点为B， ∵船A向东航行，船B向北航行， ∴， ∵两船航行时间为， ∴，， 根据勾股定理可得：， 即两船相距． 3．如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家和体育中心的距离． 【答案】小明家和体育中心的距离为． 【分析】根据方向角的定义得出，，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意得，，，， ∴在中，． ∴小明家和体育中心的距离为． 题型7.求最短路径 1．如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱侧面展开，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱侧面展开如下图所示，作A关于的对称点，连接，则就是最短距离，过B作于， 由题意可得：，，， 由勾股定理得：， ， 答：蚂蚁爬行的最短路程为． 2．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要__． 【答案】 【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 即所用细线最短需要． 3．如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 题型8.选址使到两地距离相等 1．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 2．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 3．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) ∵ ， 整理得： (2) (3) 点P即为所求， 的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 题型9.勾股定理与折叠问题 1．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 2．如图，在长方形中，，，点P是射线上的一点，直线l是长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在直线l上时，的长是______． 【答案】5或20 【分析】根据折叠的性质可知，，设对称轴l与，的交点分别为点E，F，则，，分两种情况讨论：当点P在线段上时，点落在l上或当点P在线段的延长线上时，点落在l上，画出图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知，， 设对称轴l与，的交点分别为点E，F， 则，， 分两种情况讨论： 当点P在线段上时，点落在l上，如图①， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， 即： 解得，及 当点P在线段的延长线上时，点落在l上，如解图②， 在中，， 则， 设，则，， 在中，， 解得，及， 综上所述，的长为5和20． 3．如图，在长方形中，，，E为边上一点，将沿折叠，使点落在长方形内的点处，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由如下： 连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴． ∵， ∴． 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． (2)的长为2 【分析】（1）根据折叠的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，求出的值；在中，已知三边长度，根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可． （2）根据折叠的性质，证明三角形全等，得到对应边、对应角相等；根据角度关系证明点E、F、D在同一直线上，根据线段关系表示出、；在中，运用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴，． 由（1）可知，， ∴， ∴点E、F、D在同一直线上， ∴． 在长方形中，，， ∴． 在中，， 即 解得． 答：的长为2． 题型10.勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：B． 2．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为____________． 【答案】48 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是证明是直角三角形． 首先利用勾股定理的逆定理得到，然后过作，垂足为，确定的最短距离，然后利用面积法进行求解即可． 【详解】解：过作，垂足为， ∵ ∴ ∴ 即 解得 故答案为：． 3．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）连接，证明是直角三角形，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ， 在中， ，， ， 是中点， ． （2）解：连接， ，是的中点， ， ，， ， ， 是直角三角形， ， 由（1）得， ， 这块空地的面积为， 每平方米草地造价30元， 总费用为元． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 2．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 【答案】D 【分析】根据旗杆与地面垂直，可知是直角三角形，且直角边的长度分别为和，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即为旗杆折断之前的高． 【详解】解：如下图所示， ，，， ， 旗杆折断之前的高为． 3．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 二、填空题 4．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为_________海里． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 【详解】解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 5．翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 【答案】 【分析】将台阶的竖直部分平移至左侧，水平部分平移至下方，可知地毯的总长度等于直角三角形两直角边之和；已知斜边和一条直角边，利用勾股定理求出另一条直角边即可求解； 【详解】解：设台阶水平方向的总长度为， 由图可知，台阶剖面构成一个直角三角形，其中斜边长为，一条直角边（高度）长为， 根据勾股定理得：， 台阶水平方向的总长度为， 地毯铺在台阶面上，其长度等于所有台阶竖直高度之和与水平宽度之和， 地毯的长度至少为． 三、解答题 6．如图，一个长方体形盒子的长为，宽为，高为，点到点的距离是．一只蚂蚁沿盒的外表面从点处爬到点处，那么它爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁需要爬行的最短路程是 【分析】将长方体侧面展开，分别根据勾股定理求出的长，再比较大小即可． 【详解】解：如图，， 如图，， 如图，， ∵， ∴蚂蚁需要爬行的最短路程是． 7．如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 【答案】(1)货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵， ∴货车开过学校受噪音影响； (2)学校受噪音影响时间是6秒 【分析】（1）根据垂线段最短即可求解； （2）设，则路段是学校受噪音影响的路段，对运用勾股定理求解，即可求解，即可求解受影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设，则路段是学校受噪音影响的路段， ∵， ∴， 又，， ∴， 同理由勾股定理可得，， ∴， ∴影响时间（秒）． 答：学校受噪音影响时间是6秒． 8．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 【答案】这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺 【分析】设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， ∵水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，1丈尺， ∴尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺． 9．在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) 解：为从村庄到河边最近的路． 证明：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为从村庄到河边最近的路； (2)1690米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明，得解，即可得到为从村庄到河边最近的路； （2）设米，得到米，米，根据勾股定理列出方程，，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设米， ∵， ∴米， ∵米， ∴米， ∵， ∴在中，， 解得， ∴的长为1690米． 10．如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． (1)若是的中点，则的长为__________． (2)若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是中点得，设，根据折叠性质得，则．在中，由勾股定理，列方程进行求解即可； （2）当与重合时，最大，最小：设，在中由勾股定理解得，得；当与重合时，最大，此时，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：是的中点， ， 设，则， 根据折叠可得，， 在中，， ∴， 解得， ； （2）解：根据折叠可得，， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1， 此时， 设，则， 在中， ∴ 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大，如图2， 此时， 综上所述，的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07勾股定理的简单应用期中复习讲义 ✵复习目标 1.回顾勾股定理及其逆定理，区分两个定理的条件与结论，能完成边长计算与直角三角形判定。 2.能从实际问题中抽象直角三角形模型，运用勾股定理求解线段长度。 3.掌握折叠、圆柱侧面最短路径等典型题型，体会转化思想，规范几何解题书写。 4.熟记常用勾股数，能解决相关面积问题，重视分类讨论，规避漏解等常见错误 高频题型梳理 题型1.勾股定理与网格计算 题型2.求台阶上地毯长度 题型3.解决高度类实际问题 题型4.解决距离类实际问题 题型5.解决水杯中筷子问题 题型6.解决航海问题 题型7.求最短路径 题型8.选址使到两地距离相等 题型9.勾股定理与折叠问题 题型10.勾股定理逆定理的实际应用 题型11.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、勾股定理 1.定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2。 使用条件：仅适用于直角三角形；c为斜边，是三角形最长边。 公式变形：a2=c2-b2，b2=c2- 作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长。 知识点二、勾股定理的逆定理 1.逆定理内容：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，边长为c的边所对的角为直角。 2.作用：根据三边数量关系判定直角三角形，实现由数判形。 3.判定步骤： ①找出三边中的最长边； ②计算两条较短边的平方和与最长边的平方； ③比较结果，若相等，则该三角形为直角三角形。 知识点三、勾股数 1.满足a2+b2=c2的一组正整数称为勾股数。 常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17。 性质：一组勾股数同时乘同一个正整数，所得三个数仍是勾股数。 知识点四、勾股定理的简单应用 核心解题思路：实际问题→构造直角三角形→利用勾股定理列方程求解。 实际情境问题：旗杆折断、梯子滑动、折竹、航海测距等，挖掘图形中的垂直关系，建立直角三角形模型。 1.折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等；在折叠形成的直角三角形内设未知数，借助勾股定理列方程求线段长。 2.立体图形最短路径：圆柱表面两点最短距离，将侧面展开为平面图形，依据 “两点之间，线段最短”构造直角三角形计算。 3.面积模型：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形的面积等于两条直角边上正方形面积之和。 知识点五、勾股定理与其逆定理的区别 1.勾股定理：由形推数·用于计算。 已知三角形是直角三角形，推出三边平方关系，用于边长计算、周长面积求解。 2.勾股逆定理：由数判形·用于证明判定。 已知三角形三边平方关系，判定三角形为直角三角形，用于图形判定、几何证明。 ✵易错提醒 1.已知两边长，未指明斜边时，求第三边需要分类讨论，防止漏解。 2.勾股定理是直角三角形的性质定理；逆定理是直角三角形的判定定理，不可混用。 3.勾股数必须是正整数；分数、小数即使满足关系式，也不属于勾股数。 4.没有直角条件，不能直接套用a2+b2=c2。 ✵典例精讲 题型1.勾股定理与网格计算 1．如图，方格纸中每个小方格的边长均为，一只蚂蚁沿图中所示的折线由点处爬到了点处，它一共爬行了多少厘米？ 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格格点上，以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，连接，则的长为______． 3．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的． (2)在图2中，画出一点P使点P到所在直线的距离相等且使． 题型2.求台阶上地毯长度 1．如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 2．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费_______元． 3．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 题型3.解决高度类实际问题 1．方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 2．如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 3．一旗杆离地面3米A处折断，旗杆顶部C落在离旗杆底部B处4米远，旗杆折断之前有多高？ 题型4.解决距离类实际问题 1．如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 2．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是______寸． 3．机械狗可用于开展水质监测工作，如图，机械狗从A点出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于受水流的影响，实际上岸地点C处与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，求的长． 题型5.解决水杯中筷子问题 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）至少是（        ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 3．装修工人携带了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.5m，1.5m，2.2m，那么一根3.1m长的木条能否放入电梯内？ 题型6.解决航海问题 1．如图，甲轮船以的速度离开港口向东南方向航行，乙轮船同时同地出发向西南方向航行，已知甲、乙两艘轮船离开港口后分别到达，两点，且，则乙轮船每小时航行（   　 ） A． B． C． D． 2．已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以的速度向东航行，船B以的速度向北航行．它们离开港口后，两船相距________． 3．如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家和体育中心的距离． 题型7.求最短路径 1．如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为，高为．在杯内壁离杯底的点处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口的点处有一滴蜂蜜．若蚂蚁从点沿玻璃杯侧面爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 2．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要__． 3．如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 题型8.选址使到两地距离相等 1．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 2．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为__________ ． 3．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 题型9.勾股定理与折叠问题 1．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 2．如图，在长方形中，，，点P是射线上的一点，直线l是长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在直线l上时，的长是______． 3．如图，在长方形中，，，E为边上一点，将沿折叠，使点落在长方形内的点处，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 题型10.勾股定理逆定理的实际应用 1．如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为____________． 3．如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？ ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 3．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为_________海里． 5．翠园东晓中学旧改工程顺利完成．举行竣工典礼时，在高，长的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，则地毯的长度至少需要________m． 三、解答题 6．如图，一个长方体形盒子的长为，宽为，高为，点到点的距离是．一只蚂蚁沿盒的外表面从点处爬到点处，那么它爬行的最短路程是多少？ 7．如图，两条公路、交于点O，在公路旁有一学校A，与O点的距离为，点A（学校）到公路的距离为，一大货车从O点出发，行驶在公路上，货车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响?为什么? (2)若货车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟? 8．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺（如图）．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 9．在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，测得米，米，米． (1)问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 10．如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． (1)若是的中点，则的长为__________． (2)若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $