第23章 解直角三角形 单元测试卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

沪科版2026年九年级数学上册第23章 解直角三角形 单元测试卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共30分） 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 2．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 3．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦和正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵中，， ∴，，故A选项正确，符合题意． 4．如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解三角形的应用-坡度坡角的问题，理解坡比的含义是解题关键，根据直角三角形的关系可得，代入即可求解． 【详解】解：在中，迎水坡的长度为17米，其坡角为 ∴，即 故选：A ． 5．已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 6．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 7．在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 【答案】C 【分析】明确已知边与的位置关系，结合三角函数定义，选择计算步骤最少的方法． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ，可直接代入已知边计算，进而求出， 计算或均需先由勾股定理求出的长度，增加计算步骤， 通过求再计算，需多一步角度换算，步骤更多． 8．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，证明，得出对应边成比例，然后求出相关线段的长度，得出三角形平移的路径，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点平移到点可知，图形向右平移了个单位长度， 由点平移到点可知，图形向下平移了个单位长度， ∴将向右平移个单位长度，再向下平移了个单位长度，可得到， 点的坐标可由点的坐标得到，即点的坐标为， ∴点的坐标为． 9．在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 10．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点运动到点时，、两点停止运动．连接，过点E作，垂足为，连接，交于点，交于点，连接．给出下列结论：①∽；②；③；④的值为定值；⑤若，则．上述结论中正确的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等判定 ，判断①；利用相似三角形性质及互余关系证 ，判断②；通过证明 推导边长比例及定值，判断③④；利用平行线分线段成比例及三角函数定义计算 ，判断⑤. 【详解】解：设运动时间为 ． 四边形 是矩形， ，，． ，， ， ，故①正确； ，． ， ． ， ， ，故②正确； ． ， ． ， ． ， ， ，． ． ， ，即， ， ，即 ． ， ，故③错误； ， ，为定值，故④正确； 若 ，则 ． ， ， ，即 ． ， ， ，即 ． 解得 ． 与是对顶角， ， ， ， 是直角三角形，， ， 前面已证， ，变形得， 代入已知线段比例，得 ， ， ⑤错误． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题（共18分） 11．比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．根据正弦函数是～范围内是单调递增的，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 12．在中，，，，则的长为___________． 【答案】17 【分析】先由锐角正切的定义结合已知条件求出直角边的长度，再通过勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 13．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________． 【答案】 【分析】坡度竖直高/水平宽，题目已给了竖直高度和坡度，代入公式即可求出水平宽． 【详解】解：设， 则 ∴ 解得， 所以水平宽度为． 14．在中，若（其中，为锐角），则______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质拆分等式得到两个三角函数值，结合锐角特殊三角函数值求出的度数，再通过三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵，，且两者的和为0， ∴，， ∴，， ∵为锐角， ∴，， ∵三角形内角和为， ∴． 15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为___________． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由正方形的性质，相似三角形的判定和性质，得到，推出，根据条件求出，再根据，即可． 【详解】解：如图①，连接交于点，连接， 由题意，得四边形是正方形， ，，，，， 由题意，得， ， ， ， ， 在中，， ， ． 16．如图，将半径是的量角器中心与坐标原点重合，线与轴重合，线与轴重合，对应的度数分别是、、，过点作轴的垂线，垂足为，借助该图可得，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，与交于点，连接，可证四边形是矩形， 得到，利用锐角三角函数得，，即得，再利用锐角三角函数求出的长即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，与交于点，连接， ∵轴，轴，轴轴 ， ∴四边形是矩形， ， 在中，，， ， 轴，轴轴， 轴， ， 在中，， ， ， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， 轴，轴， ， ∴， 在中，， ． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）计算： (1)． (2) 【答案】(1)1 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题8分）如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点C作于点D，根据直角三角形的性质及解直角三角形，即可求得、的长，再根据，设，则，根据勾股定理可得的长，据此即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D， 在中，，， ，， 在中，，， ， 设，则，由勾股定理得，， ， 解得或（舍去）， ，， ， 答：的面积为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 19．（本题8分）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、三角形的中线等知识点，熟知锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，解直角三角形求出，再运用线段的和差即可解答； （2）根据三角形中线的定义求出，进而求出，再利用勾股定理求出，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，由勾股定理得：． 在中，， ，解得， ． （2）解：是边上的中线，， ， 在中，由勾股定理得：， ． 20．（本题8分）在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆的高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内． (1)求最佳测量点到地面的距离； (2)求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)m (2)旗杆的高度是m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，包括坡度坡角问题和仰角俯角问题，解题的关键是通过作辅助线，将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理和三角函数进行求解． （1）根据斜坡坡度，设，，在中，利用勾股定理求出的值，进而得到的长度． （2）过点作，构造矩形，得到，，再在中，利用求出的长度，最后由计算出旗杆的高度． 【详解】（1）解：如图，由题意得，是直角三角形， ∵斜坡的斜面坡度，   ∴． 设， ∵， ∴， 解得：， 则． （2）解：过点作，交于点， 由（1）知， ∵， ∴． 由题意可得，四边形是矩形，则， 在中，， ∵ ， ∴， ∴ 答：旗杆的高度是． 21．（本题8分）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是根据题意求出与的长度． （1）设，由于，所以，再由勾股定理列出方程即可求出的值，再根据角平分线的性质即可求解； （2）设，根据全等三角形的判定和性质及可求出，然后根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的长为； （2）解：设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ∴， ∴． 22．（本题10分）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 解：在规定范围内，理由如下： 过点C作于E，则， ∵, ∴， ∵， ∴． ∴， ∴在中，, ∵在中，， ∴． ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. （1）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解： （2）过点C作于E，解和求出的长，进而求出手绢端点C与舞者距离即可判断求解. 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）略 23．（本题10分）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)填空：【初步尝试】我们知道：，，发现 （填“”或“”）． (2)【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点 D，使连接，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值． (3)【拓展延伸】如图2，在中，，，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，在直角三角形中作辅助线构造是解决本题的关键． （1）根据锐角三角函数公式即可求解． （2）根据题意可知，，即可求解的值． （3）作的垂直平分线交于点E，连接，根据直角三角形，，设，，解得，即可解得的值． 【详解】（1），， ∴， 故答案为：； （2）如图1，在中，，，， ∴． ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）如图2，作的垂直平分线交于点E，连接． 则，，． ∵ 中，，，． ∴，． 设，则， 在中，， 解得，即，． ∴． 24．（本题12分）（1）问题发现：如图和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 线段之间的数量关系为 ___________ ； 的度数为 ___________ ． （2）拓展探究：如图和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，连接，求的值及的度数． （3）解决问题：如图，在和中，与相交于点，点在上，，求的值． 【答案】（1）① ，② ；（2），；（3）3 【分析】（1）①先判断出，进而判断出≌，即可得出结论； 由知，≌，得出，进而求出，即可求出答案； （2）利用两边成比例且夹角相等证明∽，得，从而得出结论； （3）根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质得到，求得，进而判断出∽即可求出答案． 【详解】解：（1）和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 由知，， 点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：； （2）结论：． 理由：和均为等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ； （3）， ∽， ， ， ， ∽； ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，掌握两三角形相似的判定是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版2026年九年级数学上册第23章 解直角三角形 单元测试卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共30分） 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 8．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 10．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点运动到点时，、两点停止运动．连接，过点E作，垂足为，连接，交于点，交于点，连接．给出下列结论：①∽；②；③；④的值为定值；⑤若，则．上述结论中正确的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共18分） 11．比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 12．在中，，，，则的长为___________． 13．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________． 14．在中，若（其中，为锐角），则______． 15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为___________． 16．如图，将半径是的量角器中心与坐标原点重合，线与轴重合，线与轴重合，对应的度数分别是、、，过点作轴的垂线，垂足为，借助该图可得，则的值为______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）计算： (1)． (2) 18．（本题8分）如图，在中，，，，求的面积． 19．（本题8分）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 20．（本题8分）在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆的高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内． (1)求最佳测量点到地面的距离； (2)求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 21．（本题8分）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，已知，． (1)求的长； (2)求的值． 22．（本题10分）2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 23．（本题10分）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小题同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)填空：【初步尝试】我们知道：，，发现 （填“”或“”）． (2)【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点 D，使连接，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值． (3)【拓展延伸】如图2，在中，，，，请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值． 24．（本题12分）（1）问题发现：如图和均为等边三角形，点在同一直线上，连接． 线段之间的数量关系为 ___________ ； 的度数为 ___________ ． （2）拓展探究：如图和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，连接，求的值及的度数． （3）解决问题：如图，在和中，与相交于点，点在上，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $