第23章 解直角三角形 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

九年级数学HK版上册 第23章学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：150分) 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.cos30°的值是 A号 ② n停 1 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA= ·若将△ABC各边都扩大到原来的5 倍，则sinA的值为 A号 1 1 b.2 C.5 0.0 3.如图，在Rt△EFG中，∠F=90°，GF=5,EG=13,则tanE= 5 A.2 12 5 C.3 13 5 ch A 第3题图 第4题图 第8题图 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,AC=2√3，则∠A的度数是 A.30 B.40° C.45 D.60° 5.在△ABC中，∠A,∠C都是锐角，且sinA=cos(90°-C)= √2 ,则△ABC的形 状是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 6.三角函数sin40°，cos16°，tan50°之间的大小关系是 A.tan50>cos16>sin40 B.cos16>sin40>tan50 C.cos16>tan50>sin40 D.tan50>sin40>cos16 7.△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=4,c=5,CD⊥ AB,则cos∠BCD的值为 () 3 A. C.6 D.3 4 8.（2025一2026准南寿县期末)如图，在△ABC中，sinB= 3,tanC=2,AB=3,则 AC的长为 () A.2 C.√5 D.2 9.如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为60°，斜坡AD的长为5m,坡 比i=3：4,BD的长为6m,则古塔BC的高度为 A.95m B.10√5m C.(3+10√3)m D.(4+93)m 444444 135 E D C 第9题图 第10题图 10,如图，在△ABC中，AB=AC,simB=号延长BC至点D,使CD:AC=1:3. 则tan∠CAD的值为 4 A.9 5 B. c号 2 0. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.坡角为45的坡面的坡度为 12.在R△ABC中，∠C=90.若cosA= 5,则sinA= 13.如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=3,AB=9,∠A=a.易知tana=3,聪明的 小强想求tan2a的值，于是他在AB上取点D,使得CD=AD,则tan2a的值为 C 第13题图 第14题图 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10,BC=5,D为AB边上一动点， 连接CD. (1)若D为AB的中点，则tan∠ACD的值为 (2)若1an∠ACD=了，则CD的长为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）】 15.计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°. 16.如下图，在△ABC中，AB=3√6，AC=6,∠B=45°.求BC的长. B 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）》 I7.如下图，在R△ABC中，∠C=90,D是AC边上一点a∠DBC=号，且BC =6,AD=4.求cosA的值. 18.如下图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=32°，AB=4,点D在BC边上，且 ∠CAD=37°.求CD的长（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 0.80,tan37°≈0.75，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62). 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)】 19.下图是三星堆遗址出土的陶蚕的示意图.已知管状短流AB=2cm,四边形 BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°，∠CBE=80°.器身 底部CD距地面的高度为2l.5cm,求该陶蚕管状短流口A距地面的高度（结 果精确到0.01cm,参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67,3≈ 1.73). 1141414 136 20.如下图，在△ABC中，AD⊥BC,AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6, tan∠ACB=1. (1)求BC的长 (2)求sin∠DAE的值. ED 六、（本题满分12分） 21.如下图，在△ABC中，AC=5,BC=√13，cosA=气台，点D在BC边上，且 CD=2BD,DE⊥AB,垂足为E,连接CE (1)求线段AB的长. (2)求∠CEA的正切值. 137 七、（本题满分12分） 22.【活动背景】 如图，建筑物AC,BD的高度不可直接测量.为测量建筑物AC,BD的高度，技 术员小李用皮尺测得A,B之间的水平距离为150m,用测角仪在C处测得点 D的俯角为35°，测得点B的俯角为43°. 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC,BD的高度（结果保留整 数，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin43°≈0.68，cos43 ≈0.73，tan43°≈0.93). (2)请再设计一种测量建筑物AC,BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计）， 画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子 表示出建筑物AC,BD的高度（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）. /35° 43 D D 150mB A 备用图 八、（本题满分14分） 23.如下图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正 北方向航行20 n mile到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得 港口C位于B的北偏东45°方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上. (1)∠AMB的度数为 ,∠BCM的度数为北↑ 609 (2)求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）. 45 (3)求港口C与灯塔M之间的距离（结果保留根号）. 309 1441419 138..Bo_oc ÷船6%即g品解得0=12。 .AB=A0-B0=15-12=3(m. 20.解：(1)证明：D是BC的中点，DE⊥BC, .BE=CE,.∠B=∠DCF AD=AC,∴.∠ACB=∠FDC, .△ABC∽△FCD. (2)如图，过点A作AG⊥CD, 垂足为G. .'AD=AC..'.DG=CG= D℃ 1 ,D是BC的中点，.BD=DC, BD:BG=2:3. .ED⊥BC,AG⊥CD,∴.ED∥AG, .△BDE∽△BGA,.ED:AG=BD:BG=2:3. DE=4,AG=6, Sam=2BC·AG=2×10X6=80 21.解：(1)设月平均增长率为a. 根据题意，得100(1十a)2=144, 解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(舍去). 故月平均增长率为20%. (2)设每个零件的实际售价定为x元，每个月获得的 销售利润为y元。 根据题意，得y=(x-30)[600一10(x-40)]= -10x2+1300.x-30000=-10(x-65)2+12250. ,-10<0, .当x=65时，y取得最大值，最大值为12250. 故当每个零件的实际售价定为65元时，每个月获得 的销售利润最大，最大销售利润为12250元. 2.解：1)将C6a)代入y=-2x+2,得a=-2×6 +2=-1,∴点C的坐标为(6，一1). 将C6,-1D代入y=得m=-6, 小反比例函数的表达式为y=一6 (2)存在 如图，过点A作AE⊥BC交y 轴于点E, :∠BAO+∠EAO=90°， ∠EAO+∠AEO=90°， .∠BAO=∠AEO. :∠AOB=∠EOA=90°， .OB AO 24 △AOB∽△EOA.心OA=EO,即4=EO:解得 EO=8,∴点E的坐标为(0，一8). 设直线AE的表达式为y=k.x十c. 将A(4,0),E(0,-8)代入y=kx+c, 得k+c=0 k=2, c=-8. 解得c=一8， .直线AE的表达式为y=2x-8. 56 九年级数学HK版 联立反比例函数和直线AE的表达式，得 y=2x-8, x1=1,x2=3, 6解得 y=-7' y1=-6,y2=-2, .点P的坐标为(1，-6)或(3，-2). 一十c=0:解得6=- 23.解：1)由题意，得4十26+c=0, c=-2, .抛物线的表达式为y=x2一x-2. (2)由(1)可知，抛物线的表达式为y=x2-x-2. 当x=0时，y=-2,.C(0,-2). 设直线BC的函数表达式为y=mx十n, /m=-2, 2m+n=0 解得m=-2, y=x-2,.E(t,1-2). m=1, D(t,t2-t-2), .1=(t-2)-(t2-t-2)=-t2+2t(0<t<2) (3)如图，当0<t<2时，作AG ∥DE,交BC于点G, 则△DEF△AGF, 架恶 把x=-1代入y=x-2,得y =-3,.G(-1,-3), ∴.AG=3, 限 ,-t2+2t 3 3-1)+3 DF 小当=1时·A下取得最大值，最大值为3 AF SAAEF ,S△的最大值为 1 第23章学业质量自我评价 1.A2.B3.A4.D5.D6.A 7.C【解析】如图所示.，a=3,b=4,c =5, ∴.a2+b2=c2 ∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB =90°， .∠BCD+∠ACD=90° 又.CD⊥AB,.∠ACD+∠A=90°， ∴.∠BCD=∠A,∴.cos∠BCD=cosA=2= -c5· 8.B【解析】如图，过A作AD⊥BC于 D,则∠ADC=∠ADB=90°. B 1 AD tanC=2-DC,sinB=3=B: ∴.AD=2DC,AB=3AD. 又：AB=3,∴.AD=1,DC=2 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC=√AD+DC= √+() 9.C【解析】如图，过点A作AE⊥BC,AF⊥BD,垂足 分别为E,F,则四边形AEBF是矩形，AE=FB, BE=AF. ,斜坡AD的坡度i=3:4, .设AF=3x,DF=4x, .AD=√AF+DF=5.x. AD=5,x=1,.AF=3,DF=4. BD的长为6， ..AE=FB=DF+BD=4+6=10. 由题意，得∠CAE=60°， .CE=AE·tan∠CAE=l0W3, ∴.BC=BE+CE=3+10√3， 即古塔BC的高度为(3+10√3)m. 10.D【解析】如图，过点D作DE ⊥AC,与AC的延长线交于点E. AB=AC,∴∠B=∠ACB. '∠DCE=∠ACB, .∠DCE=∠B. nLE-5-言 ”sinB=4, 设DE=4x,则CD=5x,.CE=VCD-DE=3.x. ,CD:AC=1:3,.AC=3CD=15x, ..AE=AC+CE=18x, m∠caD-E-总-号 1.1125 3 13.【解析】：CD=AD,∠A=∠ACD,∠CDB =∠A+∠ACD=2a. 在Rt△CBD中，设BD为x,则AD=CD=9一x. BC2+BD=CD,∴.9+x2=(9-x)2,解得x=4, BC 3 3 六tan∠CDB=BD=4∴tan2a=4 14.1)2(22而【解标11：在 Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴.CD =AD,∴.∠ACD=∠A,∴.tan∠ACD= BC 1 tanA=AC=2.(2)如图，过点D作DE1 AC,垂足为E.设DE=x.在Rt△ADE -把-名AE-S-2a,在△Cn 中，tanA=AC 1 DE 中.ian∠ACD=3CE=am∠ACD-3x.:AE+ CE=AC=10,.2.x十3.x=10,解得x=2,∴.CE=3.x =6,DE=x=2,∴.CD=√CE+DE=√6+2= 210. 15.解：原式=2（）》+3×-4×1=号+-4 -2 16.解：过点A作AD⊥BC于点D,如图. AB=3√6，∠B=45°， .AD=BD=AB·sin45°=3√3. :AC=6,∴.CD=√AC2-AD=3, ∴.BC=BD+CD=3√3+3. B 17.解：在R△DC中，a∠DBC-S品-专，BC=6. .CD=8,∴AC=AD+CD=12. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC+BC -修罗-A品号-终 18.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=32°， ·sinB=A5=sin32°≈0.53.】 AB=4,∴AC≈4×0.53=2.12. 在Rt△ADC中，∠CAD=37°， tan∠CAD=AC=tan37P≈0.75， .CD=tan∠CAD·AC≈0.75×2.12=1.59≈1.6. 19.解：如图，过点C作CF⊥BE,垂足为F, 过点A作AG⊥EB,交EB的延长线于 B 7 点G.:∠ABE=120°，∴.∠ABG=180 -∠ABE=60°.在Rt△ABG中，AG= AB·h0=2X-月≈1.78cm. 在Rt△BCF中，CF=BC·sin80°≈11X0.98= 10.78(cm). ,CD距地面的高度为21.5cm,∴.A距地面的高度 =AG+CF+21.5≈1.73+10.78+21.5=34.01 (cm). 故该陶蚕管状短流口A距地面的高度约 为34.01cm. 20.解：(1)：AD⊥BC,AB=10,AD=6, ∴BD=√AB2-AD=8. :'tan∠ACB=l, ..CD=AD=6, ∴.BC=BD+CD=8+6=14. (2):AE是BC边上的中线， &CE=号BC=7,∴DE=CE-CD=7-6=1 :AD⊥BC,∴.AE=√AD+DE=37, ∴.sin∠DAE= DE=1=37 AE√/3737 21.解：(1)如图，过点C作CF⊥AB于点F. 上册详解详析 57△ 在R△ACF中，：AC=5,cosA=5_AF AF=1,∴.CF=√AC-AFz=2. 在Rt△BCF中，，BC=√I3, .FB=√BC2-CF=√13-4=3， .AB=AF+FB=1+3=4. ecn/ESB器-2 FE 2 ·FB=3心3-FE斤心FE=2, CF 又：CF=2,CFLAB,tan∠CEA=EF=1. 22.解：(1)延长BD交过点C的水平线于点E,如图①. .'∠CAB=∠ECA=∠ABE=90°， .四边形ABEC为矩形， ..∠BEC=90°，CE=AB=150m,BE=AC. 在Rt△CDE中，：an∠DCE=DE CE' .DE=150×tan35°≈105(m). BE 在Rt△BCE中，：tan∠BCE=CE, .BE=150×tan43°≈140(m), .AC=BE≈140m,BD=BE-DE≈35(m). 故建筑物AC的高度约为140m,建筑物BD的高度 约为35m. 43 150m 图① 图② (2)为测量建筑物AC,BD的高度，用皮尺测得A,B 之间的水平距离为am,用测角仪在D处测得点A的 俯角为a,测得点C的仰角为B,过点D的水平线交 AC于点E,如图②，则DE=AB=am,BD=AE AE 在Rt△ADE中，：tan∠ADE=DE, :'BD=AE=atana m. 在Rt△DEC中，tan∠CDE-SE ∴.CE=atan3m,∴.AC=AE+CE=a(tana+tan3)m,即 建筑物AC,BD的高度分别为a(tana+tan3)m, atana m. 23.解：(1)30°45 (2)如图，分别过点C,M作CD⊥北…C AB,ME⊥AB,垂足分别为D,E. 由(1)知，∠A=∠AMB=30°， 45 60 ..AB=BM=20 n mile. 在Ri△EBM中，Sin∠EBM=EM BM 309 .EM=BM·sin∠EBM=20X sin60°=20×3 =10√3(n mile). 58 九年级数学HK版 故灯塔M到轮船航线AB的距离为l0√3 n mile.. (3)CD⊥AB,ME⊥AB,AB,CM都在正北方向， .四边形DEMC是矩形， .CD=EM=103 n mile,DE=CM. 在Rt△CDB中，：∠DBC=45°， .∠DBC=∠DCB,∴.DB=DC=l0√3 n mile. EB 在R1△EMB中，cOS∠EBM=BM, :.EB=BM·cos∠EBM=20Xcos60°=20X2 10(n mile), ∴.CM=DE=DB-EB=(10√3-1o)n mile.. 故港口C与灯塔M之间的距离为(10√3一l0)n mile. 期末学业质量自我评价（一） 1.A2.C3.B4.C5.B6.D 7.D【解析】：AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90°， .∠B+∠BAD=90°.又∠BAC=90°，.∠CAD+ ∠BAD=90°，∴.∠CAD=∠B,∴.tanB=tan∠CAD.在 R△ABD中，mB=品=9在R△ACD中. tan∠CAD=CD2】 AD 2 ADAD·3=AD,解得AD=6(负 值已舍去)∴tanB=AD-6 33 8.C【解析】如图，过点A作y轴的 垂线，过点B作x轴的垂线，相交 于点C,连接OC :点A(m,1),B(2,n)在双曲线 y=(k≠0)上， k ∴m=k,n=今，则AC=2-k,BC=1-2: S△AB0=8,.SAABC-S△Acm-S△x=8, 吃2-1-含)-2-01-(1-会）2 8,解得k=士6.，k<0,.k=一6. 9.A【解析】AB:BC=3:4,.设AB=3.x,BC=4x. ∠ABC=90°，AC=5.x. :BD⊥AC,∴∠ADB=90°=∠ABC 又：∠BAD=∠CAB,∴.△ABD∽△ACB, ÷授裙影-识0-号 如图，过点F作FH⊥AB于点H. :AE是∠BAC的平分线，FD⊥ AC,∴.FH=FD. :sin∠ABD= FH AD BF AB' BF AB 3x 5 ·DF=AD9 3BF:DF=5:3. 10.A【解析】如图①、图②，过点B作BH⊥AC,垂足