精品解析：安徽省A10联盟2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试题A

2027届高三上学期10月学情检测 数学A 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，，又，则. 2. 若，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用两角和正弦公式，左边化为，求出. 【详解】，所以，或， 解得，或，令，则. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的性质，不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判断分析即可. 【详解】由函数在单调递增，所以由，得， 由，得，即， 充分性：当时，，故充分性不成立； 必要性：取，则，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 4. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】先确定定义域是否关于原点对称，再由奇函数定义进行判断 【详解】由题意得，函数的定义域需满足，解得或. 令，其定义域满足或，解得， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数，故AB错误； 令，其定义域满足或，解得， 关于原点对称，又， ， 所以是奇函数，C正确，D错误. 5. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，两式相除得，所以，所以，对应地形为复杂山地. 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别设出切点，结合导数的几何意义列出方程组，求出答案 【详解】因为直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 所以这两个切点都在直线上.设两个切点分别为，， 且，，则，即. 由切点在各自曲线上，得，将代入①得 ③，③-②得，解得. 由得，，由①得，解得. 7. 已知，，，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】将因式分解得到，且，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，，，又， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为9. 8. 下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，利用单调性比较大小，判断A，B选项正确；再构造，求出最大值，代入特殊值分别检验C和D，得到错误不等式为选项C． 【详解】设，则， 当时，，在上单调递增， 所以，即，即， 所以，．选项A，选项B正确； 设，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以，． 取，则，即；选项C错误； 取，则，即．选项D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第四象限角，则 B. 若角的终边过点，则 C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于选项A：若是第四象限角，则，故A正确； 对于选项B：若角的终边过点，则，故B错误； 对于选项C：原式，故C错误； 对于选项D：原式，故D正确. 10. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，存在“类点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义，结合初等函数导数公式，函数图象交点，辅助角公式，二次方程有解的判别式以及指数函数、对数函数性质逐项分析即可. 【详解】对于A，由，则， 令，则， 即， 则或， 即或， 所以存在实数解，即存在“类点”，故A正确； 对于B，由，则， 令，即，，方程有实根， 所以存在“类点”，故B正确； 对于C，由，则， 令，整理得， 因为，，所以，方程无实数解， 所以不存在“类点”，故C错误； 对于D，由，定义域为，则， 令，作出函数和的图象，如图所示： 由图可知两个函数有交点，所以方程有解， 所以存在“类点”，故D正确. 11. 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 8为的一个周期 C. 为偶函数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】因为，令得可判断A正确；用代替，得，用替换，得可判断C正确；用替换，化简得，即12为的一个周期，可判断B错误；代入数值求出，再结合周期性即可求出. 【详解】对于，令，得， 又，则，故A正确； 用代替，得，即， 用替换，得， 所以，所以函数为偶函数，故C正确； 用替换，得，所以， 所以，所以，即， 所以，12为的一个周期，故B错误； ，，，，， 所以， 所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为________. 【答案】 【解析】 【详解】已知， 则． 13. 已知命题：，，命题：，．若命题为真命题，则实数的取值范围是________；若命题和至少有一个是真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：由题意可得对恒成立，计算即可得到答案； 空二：分别计算出命题为真、命题为真、命题和均为假命题时的的取值范围，讨论即可得到答案． 【详解】若命题为真命题，则对恒成立，即； 若命题为真命题，则当时，， 当时，，解得且，所以． 当命题和均为假命题时，，所以， 因此当命题和至少有一个是真命题时，． 14. 已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合幂函数定义可得，整理可得，，进而可得，令，，结合函数单调性解不等式即可 【详解】设幂函数（为常数）， 因为，则，可得， 且，则， 可得， ， 因为，即，可得， 令，可得， 设，可知在上单调递减，且， 关于的方程有唯一解，即，解得， 所以方程的实数解为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）已知，求和的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，得，即. . . 16. 已知函数在内存在最大值，但不存在最小值. （1）求的取值范围； （2）若，求函数图象的对称中心. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意结合正弦型三角函数的性质列不等式组求解即可. （2）根据两角差的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式求出，结合正弦型三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，，得， 因为在内存在最大值，但不存在最小值， 所以，解得， 即正数的取值范围为. 【小问2详解】 又，则，所以， 所以 ， 令，解得， 所以函数图象的对称中心为，. 17. 某校要建造一个高为，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体.甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元.设体育馆左墙的长度为，且. （1）当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低? （2）现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）建立函数关系式，根据基本不等式求解即可. （2）分离参数，根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元， 由左墙的长度为，得前面新建墙体长为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左墙的长度为米时，甲工程队的报价最低. 【小问2详解】 由题意得，对任意恒成立， 即对任意恒成立，所以. 因为， 当且仅当，，即时，取得最小值， 所以，故的取值范围是. 18. 已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复合函数单调性：同增异减求参数取值范围； （2）将条件转化为对恒成立，再参变分离，转化为最值处理. 【小问1详解】 令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得，故的取值范围为. 【小问2详解】 令，由得，则， 当，即时，取最大值4. “对，都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立. 易得在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以，即的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当，且时，求证：； （3）当时，若正实数满足，求证：. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）证明：令，， 则， 令，则. 因为，，所以，，，所以， 则在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，则，所以. （3）证明：由（2）知，当且时，，故. 当时，， 由（1）知，，易得在上单调递增. 设，其中，且， 则，因此在上单调递增， 从而， 则. 因为为正实数，且满足，. 所以，所以， 综上，. 【解析】 【分析】（1）由函数求导，利用解不等式进行求解； （2），，通过二次求导得出函数的单调性进行求解； （3）由（2）知，当且时，，故.另一方面，设，其中，且，由导数求得，即可求解． 【小问1详解】 当时，，. 令，则，解得， 若，则，解得. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】第（3）问中，证明时，关键要构造函数，其中，且，证明，得即可得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三上学期10月学情检测 数学A 满分150分，时间120分钟.请在答题卡上作答. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则可能是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 5. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，且，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若是第四象限角，则 B. 若角的终边过点，则 C. D. 10. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是函数的一个“类点”，则下列函数中，存在“类点”的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 8为的一个周期 C. 为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为________. 13. 已知命题：，，命题：，．若命题为真命题，则实数的取值范围是________；若命题和至少有一个是真命题，则实数的取值范围是________． 14. 已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简； （2）已知，求和的值. 16. 已知函数在内存在最大值，但不存在最小值. （1）求的取值范围； （2）若，求函数图象的对称中心. 17. 某校要建造一个高为，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体.甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元.设体育馆左墙的长度为，且. （1）当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低? （2）现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当，且时，求证：； （3）当时，若正实数满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $