四川省眉山市彭山区第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

彭山一中2026～2027学年度上期高2028届10月月考 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效． 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 4．若空间内一组基底为且四点共面则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 6．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到的距离为（ ） A．3 B．2 C． D．1 7．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各项表述正确的是（ ） A．若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．表示，两事件恰有一个发生 10．已知直线，则下列选项中正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线平行，则 C．若直线不经过第二象限，则 D．原点到直线的距离可能为2 11．已知棱长为1的正方体，下列说法正确的是（     ） A．若点为的中点，平面与正方体的截面面积为 B．若点为平面上一点，直线与直线所成角的正切值为，则点在内的轨迹长度为 C．若为等边三角形且平面，点是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，则的最小值为 D．点为空间中一动点，若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则三棱锥体积的取值范围是 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12.已知，则__________. 13. 方程表示圆，则实数的取值范围是________. 14. 已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分）． 15．已知的三个顶点分别为． (1)求边中垂线所在直线的方程； (2)求的外接圆方程； 16．一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)分别求事件A，B，C发生的概率； (3)求事件AB和事件AB的概率. 17．在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点C到平面的距离． 18．如图，在多面体中，四边形为正方形，，且，为线段中点． (1)求证：平面； (2)过点作平面，使得平面与平面平行，求平面与线段的交点所在的位置； (3)若底面，在线段（不含端点）上是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 19．乒乓球运动是常见的大众运动项目之一.已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0∶0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10∶10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10∶10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束.现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立. (1)已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10∶10，接下来由甲发球，双方又打了个球后该局比赛结束. （i）求事件“”的概率； （ii）求事件“且甲获胜”的概率； (2)已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8∶8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率. 《彭山一中2026～2027学年度上期高2028届10月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B C D A D CD ABD 题号 11 答案 ACD 11．ACD 【详解】A选项，记为BC中点，连接， 由点为的中点，正方体中有，则截面为等腰梯形， ， 梯形的高为， 所以截面面积为，A选项正确； B选项，，直线与直线所成角等于直线与直线所成角， 正方体中，平面，平面，则， 则直线与直线所成角为，，得， 故所求点Q的轨迹为以B为圆心，为半径的圆弧在内的部分， 点为的中点，则有，，， ，圆弧在内的两段，圆心角之和为， 所求弧长，B选项错误； C选项：为等边三角形且平面， 则点与重合或与关于平面ABC的对称点重合，由对称性不妨取点与重合， 因为平面， 且， 以B为原点，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ，因为，得， 所以作M关于平面ABC的对称点 ，则，， 的最小值即求到平面QAC的最短距离. 平面QAC的一个法向量，由， 则有，令，则，法向量， ， 所以点到平面QAC的距离， 即的最小值为，C选项正确； D选项，过点Q作平面，连接， 若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为， 由题意知，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则有，设，由， 化简得， 则点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以， 得，D选项正确. 12.【答案】18 13.【答案】 14.答案】 15．(1)； (2)； 【详解】（1）直线的斜率，所以 中点由点斜式得， 整理得. （2） 外接圆圆心在各边中垂线上，所以求得中垂线： 联立方程得圆心坐标， 所以圆方程为： 16．(1) (2)，， (3) 【详解】（1）样本空间，共有12个基本事件； （2）事件A的基本事件为：共6个基本事件，所以， 事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以， 事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以， （3）事件AB的基本事件为：共2个基本事件，所以 所以. 17．(1)（传统证明）取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则. 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有， 又由平面，平面，得， 而，，平面， 因此平面，所以平面. （建系证明亦可） (2); (3). 【详解】（1）略 （2） 由（1）已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， ，则，，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 设与平面的夹角为， 因此， 所以与平面所成角的正弦值是. （3）由（2）知平面的一个法向量为， 设， 则点到平面的距离. 18．(1)证明：取中点，连接, 因为，，所以且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为，所以，所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面， 平面， 所以平面； （2）由（1）知四边形为平行四边形， 取中点，连接，则， 因为平面,平面, 所以平面, 过作交于, 因为平面,平面, 所以平面, 又因为平面且, 所以平面平面， 所以此时的平面即为平面， 又因为为中点，， 所以为中点， 又因为为中点， 所以为的四等分点（靠近于）， 所以平面与线段的交点是的四分点（靠近于）； （3）存在，. 因为为正方形，，底面， 所以底面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系： 设，则， 所以，, , , , , 所以, 设，所以， 因为,,设平面的法向量为， 则，从而得， 取， 又因为, 平面的法向量为， 则，从而得， 取， 设二面角的大小为， 则， 由题意可得，解得，所以. 19．(1)（i）；（ii） (2) 【详解】（1）（ⅰ）比分平后，两人又打了2个球后比赛结束，则这两个球均由甲得分，或均由乙得分，且两者互斥，所以. （ⅱ）若，则最终比分为，且这4个球中前两个球甲、乙各胜1球，第3，4个球均由甲胜.设双方平后的第个球甲获胜为事件，则事件“且甲获胜”，且与互斥. ， ， 所以事件“且甲获胜”的概率为. （2）甲、乙的比分暂时为，若甲得11分时比赛结束，则共有3种情形：①甲以胜，即甲接下来连赢3球，设为事件；②甲以胜，即双方接下来共打4个球，且甲前3球赢2球，且赢第4个球，设为事件；③甲以负，即双方接下来共打8个球，且前4球甲乙各赢2球，第5，6球各赢1球，第7，8球乙赢，设为事件， 因为双方打每个球的结果相互独立，且，，互斥，所以 ， ， ， 则. 所以甲得11分时比赛结束的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $