精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

彭山一中2027届高二上12月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线间的距离是（ ） A. B. C. D. １ 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 4. 已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 抛物线的准线方程是 D. 双曲线的离心率 10. 已知圆和圆，则（ ）． A. 圆的半径为4 B. y轴为圆与的公切线 C. 圆与公共弦所在的直线方程为 D. 圆与上共有3个点到直线的距离为1 11. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点在以为圆心，16为半径的圆上 D. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与圆相交于、两点，则________. 13. 已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________． 14. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． （1）求经过点Q且与直线平行的直线方程； （2）求线段的中垂线方程． 16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 19. 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭山一中2027届高二上12月月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线间的距离是（ ） A. B. C. D. １ 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程的公式即可求解. 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 4. 已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆的性质可分别求得的值，即可得到结果. 【详解】椭圆上的点到左焦点的最大值为，椭圆上的点到左焦点的最小值为， 联立，解得，， 根据，得，则椭圆方程是. 故选：D. 5. 已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出点和点的坐标，然后根据中点坐标公式得到点坐标与点坐标的关系，再将点的坐标代入已知圆的方程，从而得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为，因为点为线段的中点，设点的坐标为. 根据中点坐标公式，已知，则有，. 由此可得，. 点在上，将，代入圆方程可得： ，即， 两边同时除以得. 故选：C. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可. 【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 7. 暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 8. 设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 抛物线的准线方程是 D. 双曲线的离心率 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，根据椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与性质依次判断选项即可. 【详解】A：在椭圆中，因为，， 则，且焦点在轴上，故A错误； B：在双曲线中，，顶点在y轴上， 所以双曲线的顶点为，故B正确； C：抛物线的准线为，故C正确； D：双曲线中，，则， 所以双曲线的离心率为，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知圆和圆，则（ ）． A. 圆的半径为4 B. y轴为圆与的公切线 C. 圆与公共弦所在的直线方程为 D. 圆与上共有3个点到直线的距离为1 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得. 【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误． 对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径， 所以圆与y轴相切， 同理圆心到y轴的距离等于圆的半径， 所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确． 对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确． 对于D，如图， 因为直线同时经过两圆的圆心， 依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与， 其中与和圆都相切，各有一个公共点， 与和圆都相交，各有两个交点， 故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：BC. 11. 椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点在以为圆心，16为半径的圆上 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：根据椭圆的定义结合余弦定理计算即可得；对B：根据题意结合椭圆的光学性质可得为的角平分线，再利用等面积法计算即可得；对C：借助椭圆的光学性质计算即可得；对D：根据题意结合正弦定理运算即可得. 【详解】对A：由题意可得，， 则，， 则，故A正确； 对B：由椭圆光学性质结合可得为的角平分线， 又， 则， 化简得，即，故B正确； 对C：由椭圆光学性质可得在直线上，且， 则，故点在以为圆心，16为半径的圆上，故C正确； 对D：由正弦定理可得，， 即有，， 又、， 故，则， 即，故，故D错误. 故选：ABC. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与圆相交于、两点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 13. 已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点，且，则的周长为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为矩形，从而可得，，得出答案. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，， 根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形 所以, 由椭圆的定义可得，所以 所以的周长为： 故答案为：14 14. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合圆切线的性质以及勾股定理，可得答案. 【详解】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值，的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为. 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线，设直线与的交点为P，点Q的坐标为． （1）求经过点Q且与直线平行的直线方程； （2）求线段的中垂线方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由平行关系设出直线方程，利用待定系数法求解. （2）求出交点坐标，再求出线段的中垂线方程. 【小问1详解】 设经过点Q且与直线平行的直线方程为，而点， 则，解得，所以所求直线方程为. 【小问2详解】 由，解得，则点，线段的中点为， 直线的斜率，线段的中垂线斜率， 所以线段的中垂线方程为，即. 16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【答案】（1），150 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得后，再根据频率的定义可得人数； （2）根据分层抽样的定义确定各组人数，并设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，用列举法写出所有基本事件后可计算出概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图知：，可得， 所以估计500名志愿者中年龄在的人数为. 【小问2详解】 由题设，第2组.第4组和第5组的频率之比为， 则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15个， 而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个， 所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，E为中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：∵平面，平面，∴， 又∵，，平面PAD，∴平面PAD， 又平面PAD，∴， ∵，且E为中点，∴， 又，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面PAD，由线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面； （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，由向量的夹角公式可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，且平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴， ∴． 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． 【小问1详解】 ∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或． 19. 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，当时， ①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①法1，由条件，可知直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程组：， 其中（▲）， 所以，， 由条件，即， 由于直线不过点，故， 化简可得， 所以 ， 代入（▲）式，，此时直线恒过定点． 法2，设，，由条件，即（★）， 由点在椭圆上，则有， 即①，同理可得② ， ①②可得： 代入（★）式可得：， 即， 变形可得．所以直线恒过定点． ②1 【解析】 【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值即可； （2）①解法一：设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，解出的关系即可求解；解法二：设，，利用在椭圆上可得， ，作差结合化简即可求解；②由可得点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解即可； 【小问1详解】 由题意可得， 所以椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件． 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $