第21章 一元二次方程（单元自测）2026-2027学年数学新教材华东师大版九年级上册

第21章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，进行判断即可． 【解析】∵， ∴， ∴方程有两不相等实数根； 故选C． 2．若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设较小的正偶数为，则较大的为，根据积为列出方程，解一元二次方程求出，再计算两数之和； 【解析】设较小的正偶数为，则较大的为， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴ 两个正偶数为和， ∴ 和为； 故选B 3．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为，然后根据经过两轮传染后共有144人患了流感，列出方程即可． 【解析】∵初始有1人患流感，每轮平均1人传染人， ∴第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为， ∴两轮后总患病人数满足：．故选B． 4．若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程求的值，再根据一元二次方程的定义进一步确定a的值． 【解析】将代入，得： ， 解得， ∵ 该方程为一元二次方程， ∴ ，即， ∴ ．故选A． 5．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，数轴．根据数轴可知，，且，推出，计算一元二次方程根的判别式即可求解． 【解析】根据数轴可得，，且， 则， ∵中，， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选A． 6．关于方程的描述，下列说法错误的是（ ） A．它是一元二次方程 B．用因式分解法解此方程最适宜 C．它有两个不相等的实数根 D．解方程时，方程两边先同时除以 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据相关知识点逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解析】∵将方程整理得， ∴它是一元二次方程，故选项说法正确，不符合题意； ∵方程左右两边都有这个因式， ∴用因式分解法解此方程最适宜，故选项说法正确，不符合题意； ∵在方程中，， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项说法正确，不符合题意； ∵当时，方程两边不能同时除以，否则会漏解，故选项说法错误，符合题意； 故选． 7．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断①正确；先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断②正确；先根据一元二次方程根的定义可得，再将将代入可得，由此即可判断③正确；根据一元二次方程根的定义可得，则可得或，说法④错误；由此即可得出答案． 【解析】∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程一定有两个不相等的实数根；说法①正确； ∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程没有实数根；说法②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 将代入得：， ∴是方程的一个根；说法③正确； ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，则说法④错误； 综上，正确的是①②③， 故选B． 8．某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润．已知第一年的利润率为x，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率为，这样第二年净得利润112万元，可求得第一年的利润率x为（ ） A．10% B．11% C．12% D．13% 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是利用本金×利润率=利润列式解一元二次方程． 第一年的利润率为，则第一年的利润为，第二年的利润率为，由题意列方程即可得出结论． 【解析】根据题意可知：第一年的利润为万元，第二年的利润率为，利润为万元， 则可得方程:， 解得，（舍去） 故选C． 9．某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件，要使每天获得利润700元，若设售价为元，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于利润问题，利用“总利润=每件商品利润销售量”的关系，分别表示出每件利润和销售量，即可列出方程． 【解析】设售价为元，则每件商品的利润为元， 售价从元涨到元，涨价元，由题知每涨价元销量减少件， 减少的销售量为 件， 现在的销售量为：， 要求每天获得利润元， 可列方程为 ．故选D． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有不相等的实数根时，必须满足．利用此条件转化即可解得参数的范围． 【解析】依题意列得， 解得且． 故选C． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高，列方程，并化成一般形式是________ 【答案】 【分析】设雕像的上部高为，则下部高为，然后根据题意列出方程即可． 【解析】设雕像的上部高为，则下部高为， 由题意得：， 即．故答案为$x^{2}-15x+25=0$． 12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义和的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【解析】∵关于x的一元二次方程即有两个不相等的实数根， ∴且，即， 解得且， ∴的取值范围为． 故答案为． 13．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列不等式并解不等式即可． 【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得．故答案为$k\geq -1$． 14．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程定义得二次项系数不为0，再结合无实数根的条件，利用根的判别式小于0求解即可． 【解析】∵方程没有实数根， ∴ 解得， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴的取值范围是．故答案为$a> 2$． 15．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】4 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，整理变形后即可求出的值． 【解析】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∵， ∴．故答案为4． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】（1）正确 （2）10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【解析】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 17．（9分）某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图①，当时，若围成的菜地面积为96平方米，求的长； （2）如图②，当时，围成的菜地面积能否达到121平方米？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）解：不可以，理由如下， 当时，， 根据题意得，， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】（1）设长为米，则，根据求出，然后根据面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【解析】（1）解：设长为米，则， 由题意得， 解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略 18．（9分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动，连接． （1）几秒时，的面积为？ （2）判断的面积能否等于，并说明理由． 【答案】（1） （2）不能． 理由如下：假设时，的面积等于，即， 整理，得． ， ∴方程没有实数根． 的面积不能等于． 【分析】（1）设运动时间为，，，利用三角形面积公式即可解答； （2）列方程，根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【解析】（1）解：设运动时间为． ，，， ． 由题意得，，， ， 即， 解得． 时，的面积为； （2）略 19．（9分）甲、乙两架无人机均保持相同的飞行高度做匀速直线运动：甲无人机沿自南向北方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方；乙无人机沿自西向东方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方．何时两架无人机相距？ 【答案】 或时，两架无人机相距 【分析】根据两机的运动方向与速度，结合勾股定理列一元二次方程求解时刻． 【解析】设从开始经过秒，两架无人机相距， 甲机沿正北方向匀速飞行，秒后与A点的水平距离为， 乙机沿正东方向匀速飞行，（即 ）时经过A点正上方， ∴秒后乙机与A点的水平距离为， 由勾股定理得： ， 整理得：， 解得， 经检验，两个解均符合实际意义 答：或时，两架无人机相距． 20．（9分）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： （1）计算：________． （2）判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． （3）判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】（1）3 （2）是， （3） 解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【解析】（1）解： 故答案为； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）略 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 21．（10分）若方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】 【解析】∵方程是一元二次方程， ∴且， 解方程得： （舍去），， ∴m的值是3． 22．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断下列一元二次方程为“C方程”的是________； ①；②；③；④； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”． ①________；（用含有b的代数式表示）②求代数式的最小值． 【答案】（1）①③ （2）① ② 【分析】（1）根据定义，把各方程的常数项 作为 的值代入方程，能使等式成立的就是“C方程”； （2）把 代入 ，整理得 ，由 得 ；再代入 ，用配方法求最小值． 【解析】（1）解：根据定义，把 （即方程中的常数项）代入各方程，看等式是否成立． ①在 中，，把 代入，左边 ，等式成立，是“C方程”； ②在 中，，把 代入，左边 ，等式不成立，不是“C方程”； ③在 中，，把 代入，左边 ，等式成立，是“C方程”； ④在 中，，把 代入，左边 ，等式不成立，不是“C方程”． 故答案为①③． （2）解：①∵方程 是“C方程”， ∴把 代入方程，得 ， 即 ． ∵， ∴， ∴， 即用含 的代数式表示 ； ②把 代入，得 ． ∵， ∴当 时， 取得最小值 ， 此时 ，符合题意， ∴代数式 的最小值为 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义及配方法求最值．理解“C方程”后，关键是把 代入方程，整理得 ，结合 求出 ；求 的最小值时，关键是将其配方为 ． 23．（10分）某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【解析】依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 2．若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（ ） A． B． C． D． 3．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（ ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有一个根为零，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根 6．关于方程的描述，下列说法错误的是（ ） A．它是一元二次方程 B．用因式分解法解此方程最适宜 C．它有两个不相等的实数根 D．解方程时，方程两边先同时除以 7．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 8．某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润．已知第一年的利润率为x，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率为，这样第二年净得利润112万元，可求得第一年的利润率x为（ ） A．10% B．11% C．12% D．13% 9．某商店如果将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件，要使每天获得利润700元，若设售价为元，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高，列方程，并化成一般形式是________ 12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 13．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么k的取值范围是________． 14．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 15．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 17．（9分）某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图①，当时，若围成的菜地面积为96平方米，求的长； （2）如图②，当时，围成的菜地面积能否达到121平方米？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 18．（9分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若，两点同时出发，当点运动到点时，，两点同时停止运动，连接． （1）几秒时，的面积为？ （2）判断的面积能否等于，并说明理由． 19．（9分）甲、乙两架无人机均保持相同的飞行高度做匀速直线运动：甲无人机沿自南向北方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方；乙无人机沿自西向东方向飞行，速度为，恰好经过A点的正上方．何时两架无人机相距？ 20．（9分）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： （1）计算：________． （2）判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． （3）判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 21．（10分）若方程是一元二次方程，求m的值． 22．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断下列一元二次方程为“C方程”的是________； ①；②；③；④； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”． ①________；（用含有b的代数式表示）②求代数式的最小值． 23．（10分）某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $