第二章 一元二次方程（单元自测卷·四川成都专用）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第二章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的二次项系数是（ ） A．2 B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项为，其系数为． 2．一元二次方程中，根的判别式的值为（   ） A．8 B．12 C．20 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式计算，能够找准各项系数代入计算是解决这类题目的关键． 根据根的判别式公式直接代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程可化为， 原方程中， ， 故选：C． 3．下列方程属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、方程中未知数个数为2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项不符合题意； D、方程未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 故选：D． 6．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 7．已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A．或1 B．或4 C．或6 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标、解一元二次方程，正确求出二次函数的顶点坐标是解题关键．先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得其顶点坐标，再根据顶点的纵坐标等于0建立方程，解方程即可得． 【详解】解：将抛物线化成顶点式为， ∴这个二次函数的顶点坐标为， ∵这个二次函数的顶点在轴上， ∴， 解得或， 综上，的值为或6， 故选：C． 8．小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程，根据长方形的面积公式列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原正方形的边长为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知关于的一元二次方程的一个根为3，则方程的另一个根是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为3，设另一个根为a， ， 解得， 故答案为：． 10．设，是一元二次方程的两个根，则的值是 _______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，能熟记根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得出即可．即一元二次方程有两个实数根和，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 11．某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润月增长的百分率相同，则这个百分率为__________． 【答案】 【分析】本题中的等量关系是原有量增长率现有量，n表示增长的次数，据此设未知数解答即可． 【详解】解：设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，根据题意得： ， 解得：(不合题意，舍去) ∴这两个月的利润平均月增长的百分率是． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 12．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 13．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，垂足为，连接，过点作，交轴于点．若四边形的面积为2，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点在线段上（不与点，重合），设点，得出，，证明四边形为平行四边形，根据四边形的面积为2，得出，解方程即可． 【详解】解：把代入， 解得：， ∴， ∵点在线段上（不与点，重合）， ∴设点， 根据题意得：，， ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形的面积为2， ∴， 即， 解得：，， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，平行四边形的判定和性质，正确设出点P的坐标，进而表示出的长，进一步根据矩形的面积公式建立一元二次方程是解题关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 15．已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 【答案】 证明： ∵， ∴ ∴， ∴不论x为何值，代数式的值总是负数． 【分析】本题考查了配方，根据配方法的步骤把代数式进行配方，即可得出答案． 【详解】略 16．综合与实践：制作无盖盒子如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为，容积为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)请在图中的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； (2)请求出这块矩形纸板的长和宽． 【答案】(1) 如图所示： (2)矩形纸板的长为，宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，长方体的平面图． （1）根据长方体的平面图，按要求画出示意图即可； （2）设矩形纸板的宽为，则长为，根据题意列出方程，解之即可． 正确的画出图形，结合图形列出方程是解决问题的关键． 【详解】（1）解：略； （2）设矩形纸板的宽为，则长为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴， 答：矩形纸板的长为，宽为． 17．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】(1)这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 (2)当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【详解】（1）解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； （2）解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 18．综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 (1)如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 (2)如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 (3)现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． 【答案】(1)， (2)；或 (3)解：根据题意，画图如下： ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意，得，再把3平均分成2份，一份图形的面积为，根据，解得即可；根据题意，得配方结果为，结合已知确定答案即可． （2）类比上述方法，结合正整数解的意义，估算求解即可． （3）先根据一个矩形的面积为，得到四个矩形的面积为，再应用给出的方法拼成一个边长为的大正方形，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故， 解得； ， ， ． （2）解：根据题意，得， ， ， ， 故方程的正数解为， 由方程有正整数解，且， ， 故x的正整数值为1或2； 或． （3）解：略． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的概念可得，再解答即可． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得：． 故答案为：． 20．已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 【答案】2020 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得的值，根据根与系数的关系可得的值，再把所求式子变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵与是方程的两个不同的根， ∴，， ∴ ， 故答案为：2020． 21．若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键．先由根的判别式求得的取值范围，再根据根与系数的关系得,再代入列方程求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， 根据根与系数的关系得, ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 22．如图，M，N是正方形的边的中点，点E在上，，交于点F，若，则正方形的边长为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，由正方形的性质可得，，可证明四边形是矩形，得到，证明，得到；设，，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵M，N是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 23．如图，在等边三角形中，E为反向延长线上一点且，F为线段上一点且，则F到直线和直线距离之和为________    【答案】 【分析】延长至点，使得，过点作，于点，过点作于点，先证明，再导角得到，则，在中，由勾股定理得，，设，则，在中，由勾股定理得，再解方程即可． 【详解】解：延长至点，使得，过点作，于点，过点作于点，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， 解得：或（舍）， ∴， ∵， 而， ∴， ∴F到直线和直线距离之和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，难度较大，运用面积法求解是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，，且，求m的值及方程的根． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． (2)，， 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）证明即可； （2）由先求解m的值，再解方程即可． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴，故． ∴原方程是， ∴， ∴， ∴，． 25．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 26．综合与探究 特例探究 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若点在线段上，求证：． (2)如图2，若点在线段的延长线上，探究线段和之间的数量关系． 拓展应用 (3)如图3，是矩形的边上一动点，连接，在上方作，且，连接，，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：过点作于，于． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴，且四边形是正方形，． 又∵， ∴， 因此， 即． 在和中： ∴， 因此； (2) (3) 【分析】（1）过点作于，于．根据正方形的性质及角平分线的性质定理得到，且四边形是正方形，，证明，可知； （2）过点作于，于，同理（1）可证四边形是正方形，，得，根据正方形的性质得到，可知是等腰直角三角形，进而得到，进而根据，，计算即可； （3）过点作于，交于，可知四边形是矩形，得到，，根据矩形的性质证明，得到，，设，根据得到，根据勾股定理得到，，进而代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，于， 同理（1）可证四边形是正方形，， ∴，． ∵是正方形对角线，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 而， 又，， 代入得：， 整理得． （3）解：过点作于，交于， 可知四边形是矩形， ∴，， ∵矩形，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，． 设，则，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 化简得， 解得（舍去），． ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第二章 一元二次方程（参考答案） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A D D A C D 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．2 10． 11． 12．2 13．或 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，．................8分 15．【详解】证明： ∵， ∴ ∴， ∴不论x为何值，代数式的值总是负数．................8分 16．【详解】（1）如图所示： （2）设矩形纸板的宽为，则长为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴， 答：矩形纸板的长为，宽为．................8分 17．【详解】（1）解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； （2）解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元．................10分 18．【详解】（1）解：根据题意，得，， 故， 解得； ， ， ．................3分 （2）解：根据题意，得， ， ， ， 故方程的正数解为， 由方程有正整数解，且， ， 故x的正整数值为1或2； 或．................6分 (3)解：根据题意，画图如下： ， ， ， ， ， ．................12分 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 20.2020 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根．.................3分 （2）∵ ∴，故． ∴原方程是， ∴， ∴， ∴，．.................8分 25．【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，．................2分 （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为．................5分 （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3．................10分 26．【详解】(1)证明：过点作于，于． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴，且四边形是正方形，． 又∵， ∴， 因此， 即． 在和中： ∴， 因此；................3分 （2）解：过点作于，于， 同理（1）可证四边形是正方形，， ∴，． ∵是正方形对角线，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 而， 又，， 代入得：， 整理得．................6分 （3）解：过点作于，交于， 可知四边形是矩形， ∴，， ∵矩形，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，． 设，则，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， 化简得， 解得（舍去），． ∴．................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第二章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的二次项系数是（ ） A．2 B． C．3 D．1 2．一元二次方程中，根的判别式的值为（   ） A．8 B．12 C．20 D．32 3．下列方程属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 6．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A．或1 B．或4 C．或6 D．或2 8．小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知关于的一元二次方程的一个根为3，则方程的另一个根是______． 10．设，是一元二次方程的两个根，则的值是 _______． 11．某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润月增长的百分率相同，则这个百分率为__________． 12．方程的正根介于正整数与之间，则________． 13．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，垂足为，连接，过点作，交轴于点．若四边形的面积为2，则点的坐标为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．用公式法解方程： (1)；(2)； (3)；(4)． 15．已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 16．综合与实践：制作无盖盒子如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为，容积为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)请在图中的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； (2)请求出这块矩形纸板的长和宽． 17．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 18．综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 (1)如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 (2)如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 (3)现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．方程是关于x的一元二次方程，则______． 20．已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 21．若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 22．如图，M，N是正方形的边的中点，点E在上，，交于点F，若，则正方形的边长为_____． 23．如图，在等边三角形中，E为反向延长线上一点且，F为线段上一点且，则F到直线和直线距离之和为________    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，，且，求m的值及方程的根． 25．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 26．综合与探究 特例探究 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若点在线段上，求证：． (2)如图2，若点在线段的延长线上，探究线段和之间的数量关系． 拓展应用 (3)如图3，是矩形的边上一动点，连接，在上方作，且，连接，，若，，当时，请直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第二章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程的二次项系数是（ ） A．2 B． C．3 D．1 2．一元二次方程中，根的判别式的值为（   ） A．8 B．12 C．20 D．32 3．下列方程属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 5．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A．2 B． C． D． 6．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A．或1 B．或4 C．或6 D．或2 8．小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．已知关于的一元二次方程的一个根为3，则方程的另一个根是______． 10．设，是一元二次方程的两个根，则的值是 _______． 11．某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润月增长的百分率相同，则这个百分率为__________． 12．方程的正根介于正整数与之间，则________． 13．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，垂足为，连接，过点作，交轴于点．若四边形的面积为2，则点的坐标为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．用公式法解方程： (1)；(2)； (3)；(4)． 15．已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 16．综合与实践：制作无盖盒子如图，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为，容积为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)请在图中的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； (2)请求出这块矩形纸板的长和宽． 17．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 18．综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 (1)如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 (2)如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 (3)现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．方程是关于x的一元二次方程，则______． 20．已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 21．若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 22．如图，M，N是正方形的边的中点，点E在上，，交于点F，若，则正方形的边长为_____． 23．如图，在等边三角形中，E为反向延长线上一点且，F为线段上一点且，则F到直线和直线距离之和为________    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为，，且，求m的值及方程的根． 25．有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 26．综合与探究 特例探究 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若点在线段上，求证：． (2)如图2，若点在线段的延长线上，探究线段和之间的数量关系． 拓展应用 (3)如图3，是矩形的边上一动点，连接，在上方作，且，连接，，若，，当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $