第五章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（26-27重庆九年级一模）对于二次函数的描述正确的是（     ） A．抛物线开口向下 B．函数有最大值是2 C．对称轴为直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【详解】解：∵二次函数，，∴抛物线开口向上，A错误； 函数有最小值是2，B错误；对称轴为直线，C正确；顶点坐标为，D错误. 2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象过，两点， ∴设其解析式为；将代入解析式，得，解得 ∴；当时，． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，，故选：D． 4．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，然后关于轴对称，所得新抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到的抛物线的表达式为：，此时抛物线的顶点坐标为， 再关于轴对称，可得新抛物线的顶点坐标为． 5．（2026·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴正半轴有交点，且当时，；当时，，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解：∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线， ∵当时，抛物线在轴下方，∴当时，抛物线在轴下方， 又∵当时，抛物线在轴上方，∴当时，， ∴，∴；故选：D． 6．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线；∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是．故选：B 7．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）李老师带领九（1）班同学进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过试验，同学们发现：洒水少了，发芽率低；洒水多了会烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似满足二次函数关系（均为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得最佳洒水量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：，∴， ∵，∴ 当时，有最大值为，∴最佳的洒水量． 8．（2026·湖南娄底·模拟预测）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且，对称轴，，，故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是，另外一个交点为， 当时，，故②错误；函数的对称轴为，，故③正确； 由②③得，，，， ，即，，故④正确，综上所述，正确的有③④，共2个． 9．（2026·河北邢台·模拟预测）抛物线的图象与x轴交于A，B两点，把x轴下方的图象沿x轴翻折形成一个新的图象，有一条平行于x轴的直线，它与新图象的交点为P，则以下说法正确的是（    ） A．当时，则满足条件的P有三个 B．当时，则满足条件的P有4个 C．当时，则满足条件的P有两个 D．当时，则满足条件的P只有一个 【答案】C 【详解】解：令，则，解得， ∴抛物线与x轴的交点为，，，∴顶点坐标为， ∴的函数图象如图所示： 翻折后的图象如图所示：由图可知，当时，无交点，， 当或时，，当时，，当时，，故选：C． 10．（2025·山东聊城·二模）如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，，，，， ∵，∴，∵E以每秒1个单位长度的速度沿运动，∴， 当时，此时F在上运动，在直线右侧部分为， 过F作轴，∴ ∵，∴，∴， ∵点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动， 均以每秒1个单位长度的速度移动，∴，， ∴∴；， ∴一个二次函数，二次项系数，图象开口向上． 当时，此时F在上运动，在直线右侧部分为四边形 ∴点F运动的距离为t，，∴，， 过F作轴，∴；∵，∴， ∴， ，，． 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下． 综合以上两种情况，函数图象先为开口向上的二次函数，再为开口向下的二次函数． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 【答案】1 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且，解得：或且，∴． 12．（26-27九年级上·成都·月考）已知关于x的二次函数有最值6，且当时，y的值随着x值的增大而减小，则该二次函数的表达式是_______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数中，当时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，可得，即． ∵该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为，函数有最值， ∴，整理得，解得或．∵，∴舍去，得． 将代入原函数，得：． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为___________． 【答案】2021 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，∴，∴， ∴．故答案为：2021 14．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知二次函数，当自变量取，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，当x分别取，时，函数值相等， ∴，∴，∴当时，． 15．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，，点D的坐标为________（用h和k表示），的值为______． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，， 抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，点的坐标为， 抛物线对称轴为直线，，点的坐标为， 将点代入抛物线得，解得：． 16．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于两点，点C是抛物线上的点，若三角形的面积为8，则点C的坐标为____________． 【答案】或或 【详解】解：把点代入得，解得， ∴抛物线的解析式为，设点C的坐标为， ∵，，三角形的面积为8，∴， 当时，解得：，此时点C的坐标为； 当时，解得：； 此时点C的坐标为或； 综上所述，点C的坐标为或或． 17．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则m的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：根据题意，当时，，且的取值范围为或， ∴点为抛物线上的点，且该抛物线开口向上， ∴抛物线对称轴为直线，且，∴，即， ∴，∴，∴该抛物线的顶点坐标为， ∵该抛物线开口向上，且该抛物线与直线有两个交点，∴顶点纵坐标，∴， 将点代入抛物线解析式，可得，∴． 18．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点．（1）B点纵坐标的最小值为___________．（2）线段长度的最小值是___________． 【答案】 【详解】解：①B点纵坐标为， 配方： ，抛物线开口向上， 当时，． ②的运动轨迹是，当时，，当时，， ∴直线与y轴交点为，与x轴交点为， ，，作直线的平行线， 当与抛物线只有一个交点B时作于A，两平行线间的距离即为线段长度的最小值， 联立，整理得， 与抛物线只有一个交点，，解得， 此时，即，， ∴直线与抛物线的切点坐标为．∴．． 由可知是等腰直角三角形，， ∵，∴是等腰直角三角形，， ∵，∴，∴．即线段长度的最小值为． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数． (1)若此二次函数图象的对称轴为直线， ①求二次函数的表达式；②直接写出二次函数的最小值； (2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）解：①因为二次函数图象的对称轴为直线， 所以，解得，所以二次函数的表达式为． ②因为，所以当时，二次函数的最小值为； （2）解：因为抛物线的对称轴为直线，且当时，随增大而减小， 所以，解得，所以k的取值范围是：． 20．（2025·江西吉安·一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 【答案】(1) (2)解：不能，理由：由题意得，点F的横坐标为， 当时，，故校车不能完全停到车棚内； (3)米 【详解】（1）解：把点和点代入得， ，解得，则抛物线的表达式为：； （2）略 （3）解：根据题意得：新抛物线的表达式为：， 由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为， 当时，，则，故米， 21．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 【答案】(1)，， (2)，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；(3)向下平移个单位． 【详解】（1）解：由题意得，∴，，； （2）解：二次函数， 即的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：设平移后二次函数为， 把代入得，解得， ∴二次函数的图象向下平移个单位会经过点． 22．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【答案】(1)此月平均增长率为 (2)①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【详解】（1）解：设此月平均增长率为x，由题意得，， 解得或（舍去），答：此月平均增长率为； （2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，， 整理得，解得或， ∵需要尽量减少库存，∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵，∴当时，W有最大值，最大值为1250，此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． 23．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________；(2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，．故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为．故答案为：． 24．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点． (1)求二次函数的关系式；(2)点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．设点P的横坐标为n，的面积为S．①求与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围；②求的最大值． 【答案】(1)(2)①，；② 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得， ，解得，二次函数的关系式为：； （2）解：①由（1）知二次函数的关系式为：， 点是抛物线的顶点，，设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得，直线的解析式为， 过点作轴于点，点的横坐标为，，， 的面积为， ，，； ②由①知，， ， ，满足，的面积有最大值，为． 25．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式；(2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)(2)，线段的最大值为(3)或 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得，该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得，当时，，， 设直线的解析式为， ，，解得，直线的解析式为， 轴，，， ，，，当且仅当时等号成立，线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，，，，，， ，，， 令，，，解得或，，， 在和中，，，， ，，点为符合题意的点， 设直线的解析式为，，， ，解得，直线的解析式为， 令，整理得，两边同时乘得， 解得或， ，，即， 在和中，，，， ，，点为符合题意的点， ，，综上所述，点P的坐标为或． 26．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方；①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称，∴． ∴将点，代入抛物线，得 ，解得，∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则，∴． ∵抛物线，∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，，∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则，连接，，则，且轴， ∵在x轴上，且，∴，，∴四边形是平行四边形，∴． 作点关于x轴的对称点，连接，，则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，，∴． ∴最小值为．设直线的函数解析式为， ∵直线过点，，∴，解得， ∴直线的函数解析式为，令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中；由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形，∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得，解得， ∵，，∵，即，∴，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或，如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得，解得，∴，， 同理，∴，解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得，解得：， ∴，，同理，，∴， 解得，∴，符合题意，∴， 综上，点Q的坐标为或或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（26-27重庆九年级一模）对于二次函数的描述正确的是（     ） A．抛物线开口向下 B．函数有最大值是2 C．对称轴为直线 D．顶点坐标为 2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象经过，，．则当时，y的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，然后关于轴对称，所得新抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北邢台·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴正半轴有交点，且当时，；当时，，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（25-26九年级上·山西晋城·期末）设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）李老师带领九（1）班同学进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过试验，同学们发现：洒水少了，发芽率低；洒水多了会烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似满足二次函数关系（均为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得最佳洒水量为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南娄底·模拟预测）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026·河北邢台·模拟预测）抛物线的图象与x轴交于A，B两点，把x轴下方的图象沿x轴翻折形成一个新的图象，有一条平行于x轴的直线，它与新图象的交点为P，则以下说法正确的是（    ） A．当时，则满足条件的P有三个 B．当时，则满足条件的P有4个 C．当时，则满足条件的P有两个 D．当时，则满足条件的P只有一个 10．（2025·山东聊城·二模）如图，已知的顶点坐标分别为，，．动点E，F同时从点A出发，E沿运动，F沿折线运动，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为t秒，连接EF．当点E，F移动时，记在直线EF右侧部分的面积为S，则S关于时间t的函数图像为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 12．（26-27九年级上·成都·月考）已知关于x的二次函数有最值6，且当时，y的值随着x值的增大而减小，则该二次函数的表达式是_______． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为___________． 14．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知二次函数，当自变量取，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值________． 15．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，，点D的坐标为________（用h和k表示），的值为______． 16．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于两点，点C是抛物线上的点，若三角形的面积为8，则点C的坐标为____________． 17．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则m的取值范围为________． 18．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点．（1）B点纵坐标的最小值为___________．（2）线段长度的最小值是___________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数． (1)若此二次函数图象的对称轴为直线， ①求二次函数的表达式；②直接写出二次函数的最小值； (2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围． 20．（2025·江西吉安·一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 21．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象．(1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 22．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】(1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 23．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________；(2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 24．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点． (1)求二次函数的关系式；(2)点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．设点P的横坐标为n，的面积为S．①求与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围；②求的最大值． 25．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式；(2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 26．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式；(2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方；①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 1 / 22 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