第23章 解直角三角形（单元自测）数学新教材沪科版九年级上册

第23章 解直角三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形中正弦、余弦及正切的定义．根据题意在直角三角形内结合各选项表示出不同的正弦、余弦及正切角的表示方式，通过比较选择正确表示选项即可． 【解析】A项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故A错误； B项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故B错误； C项：在中，， 在中，， 其中符合选项，故C正确； D项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故D错误， 故选C． 2．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【解析】由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴．故选C． 3．比较与的大小，结果是（ ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数，利用互余角的三角函数转换关系，将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小． 【解析】， ， 在范围内，正弦函数值随角度增大而增大， 又， ， 即．故选A． 4．在中，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形．本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别判断每个选项的三角函数值是否正确． 【解析】在中，，， 由勾股定理得， 根据锐角三角函数定义： ，故A选项正确． ，故B选项错误． ，故C选项错误． ，故D选项错误． 故选A． 5．在中，的正切和的余弦满足，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【解析】∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选B． 6．如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解析】在中，，， ∴，，， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 7．已知为锐角，且，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小，对比的值，确定角的范围，判断选项． 【解析】∵为锐角， 又∵， ∴．故选D． 8．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【解析】过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为．故选A． 9．若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【解析】按下键，再按键，再按下0.1890即可，A项符合题意 故选A． 10．如图，矩形是一个装有水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与水平面夹角为时，杯中水面宽等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，关键是灵活使用锐角三角函数表示直角三角形的边；根据可求的值． 【解析】∵， ∴， 在中，， ∴， 故选B ． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．若是锐角，，则 ________． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟记特殊角三角函数的定义是解决本题的关键． 根据 的值得出，然后计算即可． 【解析】∵， ∴， ∴， 故答案为． 12．计算：________． 【答案】3 【分析】分别计算每个部分的值，再进行加减运算即可得到结果. 【解析】∵ ，，，， ∴ 原式.故答案为3． 13．同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数值的运算，由的值可得与的比值关系，代入求出，再计算目标表达式． 【解析】由，根据，得 代入， 得，即 整理得， 所以 则 因此 故答案为∶． 14．在中，，，垂足为点，如果，，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由，得到，则，通过同角的余角相等得出即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【解析】如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 延长交直线于，设米，根据题意得，，解直角三角形即可得到结论． 【解析】如图，延长交直线于点，则．设． 在中，， ， 在Rt中， ， 又， 解得， 故桥头到公路的距离为． 16．（8分）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知为等腰直角三角形，设，则，，然后根据在中，，代入得到方程，解之即可． 【解析】设， 由题意可知，，，米，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得米， ∴教学楼AB的高度为米． 17．（8分）如图，在中，，，．求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦和正切的定义是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正弦、正切的定义计算，得到答案． 【解析】在中，，，， 由勾股定理，得， 则，． 故答案为，． 18．（8分）如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【解析】∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 19．（10分）如图，在中，，，，则求的长． 【答案】 【分析】过作，根据三角函数定义求出，再在中，解直角三角形求出，最后求出结果即可． 【解析】过作于点D， 在中，，， ， 在中，， ，即， 根据勾股定理得：， 20．（10分）如图，这是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿的夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，．求此运动员的身高．(精确到；参考数据：) 【答案】此运动员的身高为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，核心是利用三角函数定义，结合图形中的垂直、平行关系，分别计算上身、大腿、小腿的长度，再求和得到运动员的身高． 【解析】在中，，，∴． ∵，∴． ∵，，∴． 在中，，，， 运动员的身高为上身长度、大腿长度与小腿长度之和： ， 故此运动员的身高为． 21．（12分）某数学兴趣小组到一体育场馆利用看台测量旗杆的高度，如图所示，旗杆剖面图与看台斜坡剖面图在同一平面内，在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡处，测得旗杆顶端的仰角为，且斜坡的坡度，其中点，，，在同一条水平直线上．求： （1）点到地面的距离； （2）旗杆的高．（精确到米）（参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及坡度、仰角、勾股定理及三角函数等知识点，熟练运用直角三角形的边角关系和勾股定理是解答本题的关键． （1）利用坡度的定义设出直角三角形的两条直角边，结合斜坡长度，通过勾股定理列方程求解，确定点到地面的距离； （2）过点作，结合仰角得到，再利用仰角的正切值，列出关于的方程，依次进行解方程、实数运算，从而求出旗杆的高度． 【解析】（1）解：斜坡的坡度， 设，则， ，， ，解得， ， 答：点到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为，设． 由（1）得，，， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得． 答：旗杆的高约为米． 22．（12分）（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，，则________； （3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）解直角三角形可得，，则可证明，利用勾股定理及其逆定理可证明，，得到，则可证明是等腰直角三角形，则； （2）根据特殊角三角函数值可得的度数，进而可得答案； （3）构造解析图中的，可证明；同理可证明，解直角三角形得到，据此可得答案． 【解析】（1）如图所示，取格点E、F，连接， 在中，， 在中，， ∴ 由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）∵，均为锐角，，， ∴， ∴； （3）如图所示，， ∴， ∴， ∴； 由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（14分）拉杆箱是旅行常用工具，某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】每节拉杆的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解方程即可得． 【解析】如图1，过点A作于，设每节拉杆的长度为， 在中，， ， ， 如图2，过点A作于点， 在中，， ， ， 由题意得，， 解得， 答：每节拉杆的长度约为． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（ ） A． B． C． D． 3．比较与的大小，结果是（ ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 4．在中，，则下列三角函数表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5．在中，的正切和的余弦满足，则为（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．如图是桂新高速某一隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝，下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知为锐角，且，那么（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（ ）． A． B． C． D． 9．若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ） A．   B．   C．   D．   10．如图，矩形是一个装有水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与水平面夹角为时，杯中水面宽等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．若是锐角，，则 ________． 12．计算：________． 13．同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则________． 14．在中，，，垂足为点，如果，，那么________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 16．（8分）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 17．（8分）如图，在中，，，．求和的值． 18．（8分）如图，在中，已知，，，求的长． 19．（10分）如图，在中，，，，则求的长． 20．（10分）如图，这是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿的夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，．求此运动员的身高．(精确到；参考数据：) 21．（12分）某数学兴趣小组到一体育场馆利用看台测量旗杆的高度，如图所示，旗杆剖面图与看台斜坡剖面图在同一平面内，在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡处，测得旗杆顶端的仰角为，且斜坡的坡度，其中点，，，在同一条水平直线上．求： （1）点到地面的距离； （2）旗杆的高．（精确到米）（参考数据：，，） 22．（12分）（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，，则________； （3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值． 23．（14分）拉杆箱是旅行常用工具，某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $