第23章 解直角三角形 单元测试卷 2026-2027学年沪科版 数学九年级上册

参考答案 1．【答案】B 【分析】 先通过等量代换得出，然后利用余弦的定义即可得出结论． 【详解】 故选：B． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，掌握余弦的定义是解题的关键． 2．【答案】C 【分析】 根据矩形的性质可得BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，再根据三角函数可得答案. 【详解】 过点A作AE⊥OB于点E， 因为四边形ABCD是矩形，且AB＝a，AD＝b 所以BC＝AD＝b，∠ABC＝90° 所以∠BAE＝∠CBO＝x 因为， 所以， 所以点A到OC的距离 故选C. 【点睛】 本题考查矩形的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和三角函数. 3．【答案】B 【分析】 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】 解：∵，且， ∴45°﹤α﹤90° ∵，且 ∴0°＜α＜60° ∴45°＜α＜60°． 故选：B． 【点睛】 本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 4．【答案】A 【分析】 根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长． 【详解】 解：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m． 则AB=OA=100m． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 5．【答案】B 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选B. 6．【答案】A 【分析】 先利用勾股定理求出斜边AB，再求出sinB即可． 【详解】 ∵在中，，，， ∴， ∴. 故答案为A. 【点睛】 本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义. 7．【答案】B 【分析】 先根据正切值、余弦值求出、的度数，再根据三角形的内角和定理可得的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得． 【详解】 、是的内角，且，， ，， ， 是等腰直角三角形， 故选：B． 【点睛】 本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键． 8．【答案】 【分析】 根据三角函数关系可得，即可求解． 【详解】 解：根据三角函数关系可得 又∵ ∴ 故答案为 【点睛】 本题考查的知识点是锐角三角形的三角函数值，解题关键是熟记三角函数关系． 9．【答案】45 【分析】 直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【详解】 解：∵cos（α﹣15）°＝， ∴（α﹣15）°＝30°， 则α＝45． 故答案为：45． 【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 10．【答案】等边三角形 【分析】 根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定． 11．【答案】10 【分析】 根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出． 【详解】 解：在中， ∵， ∴． 在中， ． 故答案为：10． 【点睛】 本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键． 12．【答案】7.6 【分析】 作于，于，如图2，易得四边形为矩形，则，，再计算出，在中利用正弦可计算出，然后计算即可． 【详解】 解：作于E，于，如图2， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴操作平台离地面的高度为． 故答案是：． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用三角函数的定义进行几何计算． 13．【答案】 【分析】 根据三角函数的性质得，即可比较它们的大小关系． 【详解】 ∵ ∴ 故答案为：<． 【点睛】 本题考查了三角函数值大小比较的问题，掌握三角函数的性质是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可． 【详解】 解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F， ∵斜面坡度为1：， ∴tan∠ABF=， ∴∠ABF=30°， ∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°， ∴∠HPB=30°，∠APB=45°， ∴∠HBP=60°， ∴∠PBA=90°，∠BAP=45°， ∴PB=AB， ∵PH=30m，sin60°=， 解得：PB=， 故AB=m， 故答案为：. 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键． 15．【答案】 【分析】 根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算． 【详解】 解： ． 【点睛】 此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 16．【答案】（1）见详解；（2） 【分析】 （1）由题意易得，则有，进而可得，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）得：，则有，进而可得，然后可得，设，则有，最后由三角函数可得，求解即可． 【详解】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， 设，则有， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】 本题主要考查三角函数及矩形的性质，熟练掌握三角函数及矩形的性质是解题的关键． 17．【答案】6 【分析】 根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解． 【详解】 解：原式=． 【点睛】 本题主要考查负指数幂、零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、零次幂及特殊三角函数值是解题的关键． 18．【答案】6 【分析】 由求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长． 【详解】 解：在中， 是的平分线， 又 ， 在中， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键． 19．【答案】9 【分析】 过点A作AF⊥BC交BC于F，则由已知得：BC＝2BF，首先由AB＝AC，∠BAC＝120°得∠B＝∠C＝30°，则在直角三角形BAE中求出AB，再在直角三角形AFB中求出BF，从而求出BC． 【详解】 解：过点A作AF⊥BC交BC于F， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°，BC＝2BF， 在Rt△BAE中，AE=3cm， ∴AB＝cm， 在Rt△AFB中，BF＝AB•cos30°＝， ∴BC＝2BF＝2×＝9． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，通过作辅助线构造直角三角形是解题关键 20．【答案】32米 【分析】 设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出，再运用相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】 设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点， 由题意可知且、 ∴ ∴ ∴ 即： ∴ ∴ 答：楼的高度为米. 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形 单元测试卷 2026-2027学年沪科版 数学九年级上册 一、单选题 1．如图，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（、、在同一条直线上）（       ） A． B． C． D． 2．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边，（，点A、B、C、D、O在同一平面内），已知，，.则点A到OC的距离等于（       ） A． B． C． D． 3．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° 4．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（       ） A． B． C． D． 5．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A． B．﹣1 C． D． 6．如图，在中，，，，则　　 A． B． C． D． 7．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（       ） A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形 C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形 二、填空题 8．已知是锐角，且，则 ． 9．若cos（α﹣15）°＝，则α＝ ． 10．如果，则的形状是 ． 11．如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是 ． 12．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，操作平台C离地面的高度为 米. （结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） 13．比较大小： (填“”“”或“＞”) 14．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是 米． 三、解答题 15．计算：． 16．如图，在矩形中，点是边上的点，，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17．计算：． 18．如图，在中，的平分线交于点．求的长？ 19．如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB于A，∠BAC=120°，AE=3cm．求BC的长． 20．如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（在同一条直线上），测得，如果小明眼睛距地面高度，为，试确定楼的高度． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $