第23章 解直角三角形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B D A B A B A C D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12．或或 13．（或） 14． 15． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分） 【详解】（1）解：原式 ；（4分） （2）解：原式．（8分） 17．（8分） 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半），（2分） 在 中，， ∴ 设 ，（），（4分） 由勾股定理，，（6分） ∴ ，， ∴ ．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，．（2分） 在中，， ∴， ∴；（4分） （2）解：已知是中点， ∴．（5分） ∵， ∴．（7分） 在中，．（8分） 19．（8分） 【答案】(1)证明：∵垂直平分， ∴，（1分） ∴， ∴；（3分） （2）解：∵，， ∴，（5分） 由（1）可知， 在中，， ∴； ∴，（7分） ∵垂直平分， ∴．（8分） 20．（10分） 【答案】(1)①；②．（2分） （2）解：甲船行驶分钟的路程（海里）， ∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里， ∴，， ∴是等边三角形， ∴海里，．（4分） ①（平方海里）．（6分） ②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西； ∵射线的方向是南偏西，∴， ∴；（7分） ∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∴．（8分） 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得， ∴（海里）． 乙船航行分钟即小时， ∴乙船航行的速度为（海里/时）．（10分） 21．（10分） 【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ， ．（2分） 在中，，，． ， ．（4分） ．（5分） （2）解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ．（7分） 由题可知． 在中，，， ，（9分） ． 琴码垫高的高度为．（10分） 22．（11分） 【详解】（1）答案： 解：∵，三等分， ∴三个角均为，即． ∵在中，是斜边的中线， ∴，（2分） ∵， ∴为等边三角形．（3分） ∵是等边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形边长．（4分） ∵在中，，，， ∴．（5分） （2）解：连接交于点O，取的中点N，连接． 则点O是的中点． ∵是的中点，， ∴．（6分） ∵点M是的中点， ∴． ∴点M在以点N为圆心以的长为半径的圆弧上运动． ∵矩形中，， ∴， ∴．（7分） ∵， ∴， ∴是等边三角形．（8分） ∴， ∴， ∴．（10分） 当点M在延长线上时，取得最大值， 此时，． （11分） 23．（12分） 【答案】(1)4（1分） (2)证明：根据题意，得点关于点的对称点为点， ，（2分） 以为斜边构造等边三角形， ， ；（4分） （3）解：根据题意，得， 根据题意，得点关于点的对称点为点， ，（5分） 以为斜边构造等边三角形， ， ，．（6分） ，， ，（7分） 为边的中点， ， ， ∴，（9分） ；（10分） (4)的长为（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为（     ） A．75 B．78 C．80 D．81 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ 4．如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 5．电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（     ）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，，则的长为（     ） A． B．15 C． D． 9．如图所示，在四边形中，，，为中点，动点从点出发沿向终点运动，连接，．取中点，连接，则线段的最小值等于（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，，．点是的中点， ，过点作交于点，则的长度为______ ． 12．在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠．已知，，，，在边上找一点，将纸片沿折叠，使点落在处，当的某一边与边垂直时，________． 13．如图，是直线与轴的交点，过点作交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；…按照这个规律进行下去，则点的纵坐标为________． 14．如图，是等边三角形，F是的中点，D在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数k，使得为定值a，则的值是____ ． 15．如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转，得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)． (2)． 17．（8分）如图，在中，，，，求BC的长． 18．（8分）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 19．（8分）如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 20．（10分）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又 ， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记； (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 21．（10分）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 22．（11分）解答下列问题 【问题提出】 (1)如图1，在中，是的中线，是的中线，且三等分，若，求的长； 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某公园的一处绿植观赏区，现要在该观赏区内的点处修一座凉亭，沿修两条小路，再从点向小路的中点修一条小路，最后从点向的中点铺设一条石子小路，为使得游客体验效果更好，要求石子小路的长度尽可能大．已知，求石子小路长度的最大值．（凉亭的大小与小路的宽度均忽略不计） 23．（12分）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为边构造等边三角形，点和点在直线的同侧． (1)___________； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是线段上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章解直角三角形·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.若关于x的方程n sinx+sinx-1=0在0°<x<90°上有解，则实数m的取值范围是() A.-1<m<0 B.0<m<1 C.m<0 D.m>0 2.如图所示，在△ABC中，∠C=150,AC=4,anB=日则BC的长为() B A.16-3 B.16-2V3 C.16-3V3 D.16-4V3 3.如图①，直角三角形的两个锐角分别是30°和60°，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由 两个小正方形向外分别作锐角为30°和60°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长 作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥 拉斯树”·.若图①中的直角三角形斜边长为3，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为() 图① 图② 图③ A.75 B.78 C.80 D.81 AC2+BC2=AB2=3=3 图① 图② 根据勾股定理得， .图①中所有正方形面积和为：3+3=6， 119 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 6+3=9. 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： 6+3×2=12, … 4.如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别为AD和BC上一点，连接CE,AE=7,tan∠ECD= 9 将△CEF沿EF翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△GEF,且点G恰好落在边AB上，连接AF交GE 于点H,则GH长度为() E D 8V85 B.285 29 c.Vas 9 3 0 4/85 15 5.电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图）， 测得∠AED=52.5°，BC=5米，CD=35米，DE=19米，则铁塔AB的高度约为()（参考数据： sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30) B D E A.7.6米 B.30.5米 C.27.5米 D.58.5米 6.如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液.容器高为20Cm,底面直径 为20cm,现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈60°角时才能倒出（此时液面与 地面水平)，则此时容器最高处距离地面的高度是() 219 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 609 A.10+103cm B.20cm C.15cm D. 109/3cm 7.如图，在菱形ABCD中，连接AC,BD交于点O,点M,N分别是BD,AC上的动点，且MN=2, 点P是MN的中点，若AC=6,BD=8,则点P到线段AB的距离的最小值为() A M A.5 号 8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M,N分别在AB和AD上，沿MN将△AMN折叠，点A 恰好落在边BC上的点E处.若CE=2BE,BM=6,则BE的长为() 0 A. 21 63 39 4 B.15 C. 6 D. 4 9.如图所示，在四边形ABCD中，CD=10,sinC= ，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC向终点C 运动，连接AP,DP.取AP中点N,连接MN,则线段MN的最小值等于() D M B A.4 B.3 C.2 D.1 10.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接 3/9 命学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论： ①CF=2FD:②△PFD一△PDB;③△DFP一△BPH:④DP'=PH-PC:其中正确的是〈 A.①②③④ B.②③ C.①②④ D.①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4.点D是BC的中点，AD=7,过点D作 DE⊥BC交AC于点E,则CE的长度为一： B D 12.在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直 角三角形纸片进行折叠.已知Rt△ABC,∠ABC=90°，∠C=30°，AC=2,在AC边上找一点D, 将纸片沿BD折叠，使点A落在A处，当△ABD的某一边与AC边垂直时，AD=一· 13.如图，B1是直线l:y= x+2与y轴的交点，过点B,作A,B,11交x轴于点A1,以A1B,为边，向右作 正方形A1B1B2C1,延长B2C1交x轴于点A2:以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2,延长B3C2交X轴 于点A3;以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3,延长B4C3交X轴于点A4;…按照这个规律进行下去， 则点Cn的纵坐标为 B B 14.如图，△ABC是等边三角形，F是AC的中点，D在线段BC上，连接DF,以DF为边在DF的右侧 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作等边△DFE,连接EC,若存在实数k,使得 BC+EC为定值a,则k+a的值是一 DC E 15.如图，直线m⊥n,垂足为点O,点A在直线n上，且OA=5,点P是直线m上的一个动点，连接AP, 将线段AP绕着点A按逆时针方向旋转120°，得到线段AQ,点Q是点P的对应点，连接OQ,则OQ的最 小值为 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)计算： (2sin230°+cos245°+sin60°tan45o 2p2-1°+RV8-6sin45+-1201 17（8分)如图，在△ABC中，∠A=30°，cosB号AC=18,求BC的长 B 18.(8分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD,CD=AD,∠B=45°，AB=4, tanC=1 41 519 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求BC的长： (2)求tan∠ADB. 19.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB,连接AE. B E (1)证明：∠AEC=2∠B. (2)若∠BAC=60°，EC=3,求BE的长. 20.(10分)通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三 角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应的 任务 在△ABC(图1)中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c,△ABC的面积为 SAABC' 过点A作AD⊥BC,垂足为D,则在Rt△ABD中， .sin B=AD B ∴.AD=AB·sinB. .S△ABc= BC.AD=BC.AB-sin B=1acsin B. 同理可得，S6c=号besin A,S6Ac=①， 即S△ABC= besin A=号ac 2 acsin B-basinG 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半。 又.abc≠0， 619 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将等式bci=之csin=bBs加inC两边同除以cbc,得 sinA=② Q =sinC .:q b 、C sin A sin B sinC 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等. (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记： (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以302海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方 向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲 船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距10√2海里. 北 D 60 A B 759 D 图1 图2 ①求：△ADC的面积. ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）， 21.(10分)“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图1）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅， 弦与柱之间暗含几何之妙.如图是平放于琴台之上，图2是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台E℉的琴 码AB,撑起了AC和AD两段琴弦.已知琴码高度为6cm,∠ADB=30° L还 A E D F BB D 图1 图2 图3 (1)若∠ACB=20°，求两段琴弦在琴台上的平行投影CD的长度.（结果精确到1Cm,参考数据： V3≈1.73，sin20°≈0.34，cos20°0.94，tan20°≈0.36) (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码.如图3，将琴码AB调整至AB处， 719 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时∠ADB=45°.已知弦AD和AD长度相等，求琴码垫高的高度. 22.(11分)解答下列问题 D E D 图1 图2 【问题提出】 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，且BD、BE三 等分∠ABC,若AE=2,求BC的长： 【问题解决】 (2)如图2，矩形ABCD是某公园的一处绿植观赏区，现要在该观赏区内的点E处修一座凉亭，沿AE、CE 修两条小路，再从点D向小路AE的中点F修一条小路DF,最后从点C向DF的中点M铺设一条石子小路 CM,为使得游客体验效果更好，要求石子小路CM的长度尽可能大.己知 CE=AB=100m,AD=100只3m,求石子小路CM长度的最大值.（凉亭的大小与小路的宽度均忽略不 计) 23.(12分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,AB=25.O为边AB的中点，D为线段 OA上一点（不与点O重合），点D关于点O的对称点为点E,以DE为边构造等边三角形DFE,点F和点 C在直线AB的同侧. A E B (1)BC (2)连接OF,求证：OF⊥DE: (3)当点F在边BC上时，求DE的长： 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④H是线段BC上一点，连接FH当FH‖AB:且FH=2时，直接写出DE的长. 919 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第23章 解直角三角形·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元令，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合的范围分析的取值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴原方程化为， 当时，∵， ∴，， ∴，方程无解； 当时，， ∴方程有两个不相等的实根， ∵两根之积为， ∴方程有一正一负两个实根， ∴正根为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合条件． 综上所述，． 2．如图所示，在中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，求出，，．根据得，从而可求出的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 在中，． ， ， ， ． 在中，， ， ． 3．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为（     ） A．75 B．78 C．80 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴25次操作后的图形中所有正方形的面积和为． 4．如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，连接，，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，连接交于点，则长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作交于，先用正切的定义求出正方形的边长，再用勾股定理求出的长，再利用两次平行线分线段成比例定理求得的长． 【详解】解：如图，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， 设，则， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 将沿翻折得， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 解得：． 5．电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（     ）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】如图：延长交于G，过C作于F，得到，设，，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：延长交于G，过C作于F， ∴（米）， ∵山坡的坡度为， ∴， 设，， ∴由勾股定理得：（米），即（米）， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴米， ∴米． 6．如图，有一个圆柱形容器（容器内壁厚度忽略不计），里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出（此时液面与地面水平），则此时容器最高处距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，得出四边形是矩形，可得，再解直角三角形，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图，由题意得，，，， ，， 过点作于点，交于点，过点作于点， ∴， ∵ ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即容器最高处距离地面的高度是． 7．如图，在菱形中，连接，交于点，点，分别是，上的动点，且，点是的中点，若，，则点到线段的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，连接，作，则，当三点共线时，有最小值，此时点与点重合，斜边上的中线求出的长，菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的最小值即可. 【详解】解：过点作于，作于点，连接，，则即为点到线段的距离，， ∴当三点共线时，有最小值为，此时点与点重合， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ，解得 ， ， 是的中点，， ， 点到线段的距离的最小值为. 8．如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，，则的长为（     ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用菱形推得邻角，结合设，则，进而菱形边长；由折叠性质得；作辅助线延长线于F构造含角的，应用角所对直角边性质得；在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， 在菱形中，， ， ， 由翻折可知：， 在中，，， ， 解得（不符合题意，舍去） . 9．如图所示，在四边形中，，，为中点，动点从点出发沿向终点运动，连接，．取中点，连接，则线段的最小值等于（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】过点D作于点E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，最小，然后根据解直角三角形的性质求出，最后根据三角形中位线定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 根据垂线段最短，可知当点P与点E重合时，最小，最小值为的长度， 在中，，， ∴， ∵M为中点，N是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴线段的最小值为． 10．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接与相交于点H，给出下列结论：，其中正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，三角形相似的判定，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴,， ∴,， ∴,， ， 故正确； ∴, ∵， ∴不成立， 故②错误； ∵, ∴， 故③正确； ∵,， ∴， ∴， ∴； 故④正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，，．点是的中点， ，过点作交于点，则的长度为______ ． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质、勾股定理解答即可 【详解】 解：连接， 在中， ∵，，，点是的中点 ∴ ， ， ∵点是的中点，， ， 设，则， ∵，即， 解得 ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】 12．在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠．已知，，，，在边上找一点，将纸片沿折叠，使点落在处，当的某一边与边垂直时，________． 【答案】或或 【分析】根据折叠性质得，，，分三种情况讨论的哪一条边与垂直，分别计算的长度即可． 【详解】解：，，，， ，， 由折叠性质可知，，，分三种情况讨论： 1．如图，当时， ， ， 在中，， ，符合点在线段上． 2．当时，如图，设交于点， ， ， 在中，， ，在下方， ， 在中，， ，符合点在线段上． 3．如图，当时， ， ， 由折叠性质得， 过作于，得，， 在中，， ， ， ，符合点在线段上． 综上，的长度为或或． 13．如图，是直线与轴的交点，过点作交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；…按照这个规律进行下去，则点的纵坐标为________． 【答案】（或） 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，先求出，，，在中，易得，，再根据正方形的性质和锐角三角函数，可求，在中，易求，即的纵坐标为1，同理求出，，，找到规律即可求解． 【详解】解：直线， 当时，；当时，，， ，， ，， ， 在中，，， 四边形是正方形， ，， ， ， 如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，， ， ， ， 中，， 的纵坐标为1， 四边形，都是正方形， ，，， 同理可得， ， ， ，， 的纵坐标为，， ， 的纵坐标为， … 按照这个规律进行下去，则点的纵坐标为． 14．如图，是等边三角形，F是的中点，D在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数k，使得为定值a，则的值是____ ． 【答案】 【分析】当点D在点B与点G之间时，在上截取，连接，判定是等边三角形，再证明，根据等边三角形的性质，解答即可．点D与点B重合，点D在点C与点G之间，点D与点C重合，这三种情况仿照前面的证明解答即可． 【详解】解：当点D在点B与点G之间时，如图，是等边三角形，在上截取，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为定值a， ∴，， ∴． 当点D与点B重合时，如图，同理可证， ， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为定值a， ∴，， ∴． 当点D在点C与点G之间时，如图， 同理可证， ∵， ∴， ∵，该式含有变量，式子的值会随的变化而变化，不是定值，舍去； 当点D与点C重合时，此时，分式分母为，分母为零，分式无意义，舍去； 综上所述，． 15．如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转，得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，作直线，交直线于点，交直线于点，证明，所以，得点在直线上运动，故当时有最小值，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，作直线，交直线于点，交直线于点， ∵直线垂足为点， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动， 当时有最小值， 在中，，， ∴， ∴， 当最小时，在中，，，， 即的最小值为． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ；（4分） （2）解：原式．（8分） 17．（8分）如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解． 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半），（2分） 在 中，， ∴ 设 ，（），（4分） 由勾股定理，，（6分） ∴ ，， ∴ ．（8分） 18．（8分）如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，．（2分） 在中，， ∴， ∴；（4分） （2）解：已知是中点， ∴．（5分） ∵， ∴．（7分） 在中，．（8分） 19．（8分）如图，在中，，垂直平分，连接． (1)证明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵垂直平分， ∴，（1分） ∴， ∴；（3分） （2）解：∵，， ∴，（5分） 由（1）可知， 在中，， ∴； ∴，（7分） ∵垂直平分， ∴．（8分） 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后利用三角形的外角性质可得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，由（1）可知，在中，求得，利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而利用线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知， 在中，， ∴； ∴， ∵垂直平分， ∴． 20．（10分）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为， 过点作，垂足为，则在中， ， ． ． 同理可得，， ① ． 即 由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又 ， 将等式两边同除以，得，② ． ∴ 由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． (1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记； (2)请使用学习笔记的结论解答以下问题： 如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． ①求：的面积． ②求：乙船航行的速度（结果保留根号）． 【答案】(1)①；②．（2分） （2）解：甲船行驶分钟的路程（海里）， ∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里， ∴，， ∴是等边三角形， ∴海里，．（4分） ①（平方海里）．（6分） ②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西； ∵射线的方向是南偏西，∴， ∴；（7分） ∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∴．（8分） 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得， ∴（海里）． 乙船航行分钟即小时， ∴乙船航行的速度为（海里/时）．（10分） 【分析】（1）由材料的推导过程，轮换三个顶点的字母直接补全①；把等式的两边同时除以补全②； （2）先求，又且，得为等边三角形，用材料结论求其面积；再由方位角求出、，在中用正弦定理求，除以航行时间小时得乙船速度． 【详解】（1）解：①同理（轮换顶点、、），可得，故①处填； ②将等式的两边同时除以，得，故②处填． （2）解：甲船行驶分钟的路程（海里）， ∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里， ∴，， ∴是等边三角形， ∴海里，． ①（平方海里）． ②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西； ∵射线的方向是南偏西，∴， ∴； ∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行， ∴， ∴． 由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得， ∴（海里）． 乙船航行分钟即小时， ∴乙船航行的速度为（海里/时）． 21．（10分）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为． （2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为． 【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ， ．（2分） 在中，，，． ， ．（4分） ．（5分） （2）解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ．（7分） 由题可知． 在中，，， ，（9分） ． 琴码垫高的高度为．（10分） 22．（11分）解答下列问题 【问题提出】 (1)如图1，在中，是的中线，是的中线，且三等分，若，求的长； 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某公园的一处绿植观赏区，现要在该观赏区内的点处修一座凉亭，沿修两条小路，再从点向小路的中点修一条小路，最后从点向的中点铺设一条石子小路，为使得游客体验效果更好，要求石子小路的长度尽可能大．已知，求石子小路长度的最大值．（凉亭的大小与小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为三等分，且，所以可先确定三个等分角的度数．因为是斜边的中线，根据直角三角形斜边中线定理，可得到与的数量关系，结合角的度数判断的形状．因为是的中线，可知E是中点，结合已知的长度可得长度，进而得到长度，再在中利用三角函数或角对边性质计算． （2）连接交于点O，取的中点N，连接，得点O是的中点，由中点性质得是的中位线，是的中位线，，，点M在以点N为圆心以的长为半径的圆弧上运动，由角的正切值得，结合，得是等边三角形，由等边三角形性质得，结合勾股定理求出。当点M在延长线上时，取得最大值． 【详解】（1）答案： 解：∵，三等分， ∴三个角均为，即． ∵在中，是斜边的中线， ∴，（2分） ∵， ∴为等边三角形．（3分） ∵是等边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形边长．（4分） ∵在中，，，， ∴．（5分） （2）解：连接交于点O，取的中点N，连接． 则点O是的中点． ∵是的中点，， ∴．（6分） ∵点M是的中点， ∴． ∴点M在以点N为圆心以的长为半径的圆弧上运动． ∵矩形中，， ∴， ∴．（7分） ∵， ∴， ∴是等边三角形．（8分） ∴， ∴， ∴．（10分） 当点M在延长线上时，取得最大值， 此时，． （11分） 23．（12分）如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为边构造等边三角形，点和点在直线的同侧． (1)___________； (2)连接，求证：； (3)当点在边上时，求的长； (4)是线段上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 【答案】(1)4（1分） (2)证明：根据题意，得点关于点的对称点为点， ，（2分） 以为斜边构造等边三角形， ， ；（4分） （3）解：根据题意，得， 根据题意，得点关于点的对称点为点， ，（5分） 以为斜边构造等边三角形， ， ，．（6分） ，， ，（7分） 为边的中点， ， ， ∴，（9分） ；（10分） (4)的长为（12分） 【分析】（1）根据勾股定理，得，解答即可； （2）根据等腰三角形的三线合一性质，证明； （3）根据等边三角形的性质，正切函数的定义，解答即可； （4）分在三角形的内部和外部两种情况，求解即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）证明：略． （3）解：根据题意，得， 根据题意，得点关于点的对称点为点， ， 以为斜边构造等边三角形， ， ，． ，， ， 为边的中点， ， ， ∴， ； （4）解：当在的内部时．如图，延长交于点， 根据题意，得，， ， 解得， ，， ，， ， ， ， ， ， 同理，； 当在的外部时．如图，根据题意，得， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点H在的延长线上，不符合题意， 综上所述，的长为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $