第21章 二次函数与反比例函数（单元自测）数学新教材沪科版九年级上册

第21章 二次函数与反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列函数中，一定属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、一次函数和反比例函数的概念，熟练掌握二次函数的定义及一般形式中二次项系数不为0的条件是解题的关键．根据二次函数的定义，即形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，逐一分析选项即可． 【解析】∵二次函数的定义为形如（、、是常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A选项：中未明确，当时，不是二次函数，故A不符合题意； B选项：是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； C选项：是反比例函数，不符合二次函数定义，故C不符合题意； D选项：满足的二次函数形式，故D符合题意； 故选D． 2．函数与在同一坐标系的图象是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，分类讨论：当时，则，当时，则，得出反比例函数的图象及二次函数的图象，进而可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【解析】当时，则， 反比例函数图象经过一、三象限，二次函数开口向下，且与y轴交于正半轴， 当时，则，反比例函数图象经过二、四象限，二次函数开口向上，且与y轴交于负半轴， 则满足条件的图象为：  ， 故选B． 3．二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A． B．图象与x轴的负半轴交于点 C．函数的最大值为 D． 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点坐标和对称轴公式求出，，，然后逐项判断即可． 【解析】由图象得，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，故A正确； 由图象得，抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点，故B正确； 由图象得，抛物线开口向下， ∴， ∴当时，函数的最大值为，故C正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故D错误．符合题意.故选D． 4．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两条图象都经过点，且开口方向与直线的倾斜方向由同一个决定． 【解析】一次函数与二次函数中，相同， 两图象都经过轴上的点； 当时，直线从左到右上升，抛物线开口向上， 此时抛物线的对称轴为，在轴左侧，选项A符合题意； 当时，直线从左到右下降，抛物线开口向下，选项B，C，D均不符合题意．故选A． 5．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格中函数值相等的两点确定二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性判断m与n的关系． 【解析】∵二次函数图象过点和， ∴该抛物线的对称轴为， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称， ∴． 故选C． 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．图象在x轴上截得的线段长度为4 B．顶点坐标是 C．图象与y轴交点的坐标是 D．开口向上 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标，根据解析式可得开口方向和顶点坐标，即可判断B、D；求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可判断A、C． 【解析】∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，故B、D说法错误； 在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， ∴图象在x轴上截得的线段长度为，故A说法正确； 在中，当时，， ∴图象与y轴交点的坐标是，故C说法错误； 故选A． 7．如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和系数之间的关系，判断①；根据对称轴和特殊点判断②；图象法判断③即可. 【解析】∵抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵图象与x轴的交点为，对称轴为直线， ∴，图象与轴的另一个交点为， ∴，， ∴，，故①②正确； 由图象可知，当时，或；故③错误； 综上：正确的有2个.故选B． 8．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，抛物线开口向上，即可得解． 【解析】二次函数的对称轴为直线， 又当时，随的增大而增大, 抛物线开口向上，即， 解得．故选A． 9．已知抛物线如图所示，该抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】先根据抛物线的开口，与轴交点位置，对称轴分析符号，即可判断①③，根据抛物线与轴交点个数判断②，根据和时，对应的点在轴的上方还是下方判断④和⑤，再根据最值判断⑥． 【解析】抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线与轴的交点位于原点上方， ，故结论①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ，故结论②正确； 对称轴为直线， ，即 ，故结论③正确； 当时，对应的点在轴下方的抛物线上， ，故结论④正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， 当时，， 当时，，故结论⑤正确； 抛物线开口向下， 当时，函数取得最大值， ，即，故结论⑥正确． 综上所述，正确的结论有5个．故选C． 10．已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：；；若为任意实数，则；；若，，则．其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与系数的关系，根据二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质进行判断即可，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【解析】抛物线开口方向向下，则， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴异号，即， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线对称轴为直线，， ∴函数的最大值为， ∴，即，故正确； ∵抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∴抛物线与轴的另一个交点在的右侧， ∴当时，， ∴，故错误； ∵，， 即， ∴， ∴，故正确， 综上所述，正确的有，共个， 故选． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．已知函数是关于x的二次函数，则m的值为________． 【答案】3 【解析】∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴．故答案为3． 12．函数的对称轴是________，顶点坐标是( )，最大值________． 【答案】 直线 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，即可得到对应结果． 【解析】∵， ∴抛物线的对称轴是直线；顶点坐标为； ∵抛物线，开口向下， ∴抛物线的最大值为顶点的纵坐标， ∴抛物线的最大值为．故答案为直线． 13．若抛物线与轴只有一个交点，且过点，． （1）该抛物线的对称轴是直线________（用含的代数式表示）； （2）的值为________． 【答案】 4 【分析】先利用两点A、B求出对称轴；抛物线与x轴只有一个交点，说明顶点在x轴上，顶点纵坐标为0，再用顶点式代入求值． 【解析】由题意得，二次函数的对称轴是直线． 抛物线过点、， 对称轴是直线． 又抛物线与x轴只有一个交点， 顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 即n．故答案为4． 14．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，若该抛物线与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】利用抛物线对称轴求出另一交点坐标，结合开口方向，找出函数值小于时对应的取值范围． 【解析】∵对称轴为，一个交点为， ∴另一个交点为 ． 由图象可知，抛物线开口向下， ∴当时， 或． 即不等式的解集是或．故答案为或． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）已知二次函数的解析式． （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，x的取值范围是________． 【答案】（1）如图， （2） 【分析】（1）根据函数的解析式列表，描点，连线； （2）根据函数图象得出的取值范围． 【解析】（1）解：已知， 列表如下： 画图略； （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是． 16．（8分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A、点B和点C的坐标； （2）若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【答案】(1)，， （2） 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线与图形面积问题，解题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点． （1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）先求出顶点，设抛物线对称轴与轴交于点，则，，，，，再由求解． 【解析】（1）解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 17．（8分）已知二次函数． （1）求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； （2）完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点坐标为或 （2） 列出表格如下 0 1 2 3 4 3 0 0 3 画出函数图象如下： （3） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象； （1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴以及顶点坐标；令，解方程即可得出与x轴交点坐标； （2）列表，描点，连线，即可； （3）根据图象与x轴的交点坐标，可确定时，x的取值范围． 【解析】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点坐标为或； （2）略 （3）解：观察图象得：时的取值范围为． 18．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或． 【分析】（1）求出时x的值和求出时y的值即可得到答案； （2）过点A作交于点H，过点H作轴于点G，证明，得到，可推出；求出直线的解析式为，再联立函数解析式求解即可； （3）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【解析】（1）解：在中， 当时，， 解得或， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作交于点H，过点H作轴于点G， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴点E的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上所述，点E的坐标为或或． 19．（10分）如图，抛物线，经过两点，点P在x轴上方且为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意得，则，由于点C在直线上，轴，则，再由建立方程求解即可． 【解析】（1）解：把代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意得 ∵点C在直线上，轴 ①当点C在点P的下方时，如图1 由得 解得（舍）， ②当点C在点P的上方时，如图2，由 得， 解得（舍）， 综上所述，m的值为或． 20．（10分）如图，抛物线与轴交于点、（在的右侧），与轴交于点． （1）分别求出，，的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， （2）解：存在， 如图，连接与对称轴交于点Q；连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴该函数的对称轴为直线， 当时，， ∴点Q的坐标为． 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）连接与对称轴交于点Q；连接，此时的周长最小，求出直线的解析式，即可求解． 【解析】（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点； （2）略 21．（12分）已知抛物线． （1）用配方法求此抛物线的顶点坐标； （2）如果将该抛物线沿y轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2） 【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的顶点坐标； （2）设平移后的抛物线解析式为，代入点，求得的值即可求解． 【解析】（1）解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：设平移后的抛物线的表达式为， 代入，得，解得． 故平移后的抛物线的表达式为． 22．（12分）已知二次函数（，a，b均为常数）过点． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若函数y的最大值为5，求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 【答案】（1）直线； （2） 【分析】（1）将点代入解析式，得出，进而根据对称轴公式，即可求解； （2）根据（1）的结论结合已知得出该二次函数图象的顶点坐标为，进而求得解析式，令，即可求解． 【解析】（1）解：将点代入， 得， ， ， ∴该二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：将代入，得， ∵函数y的最大值为5， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 将点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 当时，， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为． 23．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点． （1）若，时，有，求h的值； （2）若对于，，都有，求h的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解本题的关键，根据图象及性质确定h的范围是本题的难点． 对于（1），将代入，再根据得出方程，然后求出解即可； 对于（2），分两种情况画图，①；②；结合图象，分别列出关于的不等式（组），求出的取值范围即可得解． 【解析】（1）解：当时， ，． ∵， ∴， 解得或1， 当时，两点重合不合题意， 综上，； （2）解： 抛物线的对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 点关于对称轴的对称点为， 当时，如图，    ∴， 解得：， 当时，如图，    ∴， 解得：， 综上所述，h的取值范围为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次函数与反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列函数中，一定属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．函数与在同一坐标系的图象是（ ） A．   B．   C．   D．   3．二次函数的图象如图所示，下列结论不正确的是（ ） A． B．图象与x轴的负半轴交于点 C．函数的最大值为 D． 4．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 1 1 ．．． 下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．图象在x轴上截得的线段长度为4 B．顶点坐标是 C．图象与y轴交点的坐标是 D．开口向上 7．如图，这是二次函数图象的一部分，图象与x轴的交点为，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③当时，．其中正确的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知抛物线如图所示，该抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：；；若为任意实数，则；；若，，则．其中正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．已知函数是关于x的二次函数，则m的值为________． 12．函数的对称轴是________，顶点坐标是( )，最大值________． 13．若抛物线与轴只有一个交点，且过点，． （1）该抛物线的对称轴是直线________（用含的代数式表示）； （2）的值为________． 14．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，若该抛物线与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是________． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 90 分） 15．（8分）已知二次函数的解析式． （1）在直角坐标系中画出它的图象； （2）观察图象可知时，x的取值范围是________． 16．（8分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A、点B和点C的坐标； （2）若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 17．（8分）已知二次函数． （1）求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； （2）完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 18．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左边），交轴负半轴于点 （1）直接写出、、三点的坐标 （2）如图2，若抛物线上有一点，，求点的坐标 （3）若点E在该抛物线上，点F为x轴上一点，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出E点坐标． 19．（10分）如图，抛物线，经过两点，点P在x轴上方且为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求m的值． 20．（10分）如图，抛物线与轴交于点、（在的右侧），与轴交于点． （1）分别求出，，的坐标； （2）在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 21．（12分）已知抛物线． （1）用配方法求此抛物线的顶点坐标； （2）如果将该抛物线沿y轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 22．（12分）已知二次函数（，a，b均为常数）过点． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若函数y的最大值为5，求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 23．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点，为抛物线上的两点． （1）若，时，有，求h的值； （2）若对于，，都有，求h的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $