第六章 概率的进一步认识（单元自测）数学新教材北师大版九年级上册

第六章 概率的进一步认识 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．表格是某一项实验中结果A出现的频率统计表，请估计在一次实验中结果A出现的概率约为（ ） 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 300 540 780 925 1140 频率 0.25 0.38 0.36 0.39 0.37 0.38 A．0.25 B．0.35 C．0.36 D．0.38 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率：经过大量重复实验，事件A发生的频率稳定在某一固定数值附近，这一数值即为事件A发生的概率，据此求解即可． 【解析】由表格数据，估计在一次实验中结果A出现的概率约为0.38， 故选D． 2．为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率的 “几何概型” 应用，涉及知识点：频率稳定性（大量实验后频率近似概率）、几何图形面积的比例关系．解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积；解题关键是理解频率与面积比例的对应关系，易错点是混淆频率与面积的计算关系． 【解析】大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在 ，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为 ． 已知长方形面积为， 因此椭圆面积为：． 故选 ． 3．9月24日结束的2024年全国射击锦标赛男子50米步枪三姿决赛中，巴黎奥运会双冠王盛李豪击败对手夺冠．某次训练过程中，通过大量重复的射击练习，统计出盛李豪射出10环以上的频率为0.9．下列说法正确的是（ ） A．盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上 B．盛李豪射击1次，一定能射出10环以上 C．盛李豪射击10次，一定有9次射出10环以上 D．盛李豪射击9次，至少有1次射出10环以上 【答案】A 【分析】本题考查频率与概率的概念．频率是指某个事件在多次重复试验中发生的次数与试验总次数的比值，它可以近似地表示事件发生的概率，但不是绝对的．我们需要根据频率来判断每个选项的正确性。 【解析】Ａ.盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上，本选项正确，符合题意； B.盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上，本选项不正确，不符合题意； C.盛李豪射击10次，不一定有9次射出10环以上，本选项不正确，不符合题意； D.盛李豪射击9次，不能恰好有至少有1次射出10环以上，本选项不正确，不符合题意； 故选择：A 4．一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的幸运星共200颗（除颜色外都相同）．小明通过多次做摸取幸运星试验后发现，摸到红色幸运星的频率稳定在，由此可以估计这个盒子中红色幸运星的数量为（ ） A．15颗 B．30颗 C．50颗 D．100颗 【答案】B 【解析】∵多次摸取试验后摸到红色幸运星的频率稳定在， ∴可估计摸到红色幸运星的概率为， ∴盒子中红色幸运星的数量约为（颗）．故选B． 5．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，“朝上的面相同”的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出树状图，确定基本事件的所有等可能结果，再确定“朝上的面相同”的结果数，根据概率公式求解． 【解析】画树状图如下： 如图，抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共有正正、正反、反正、反反，共种等可能的结果，其中“朝上的面相同”的结果有正正、反反，共种，所求概率为．故选C． 6．将1，2，3三个数字随机取一个数字作为一个点的横坐标，放回后再从中抽取一个数字作为这个点的纵坐标．从这些坐标构成的点中取一点，则这个点在函数图象上的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的运算求解，熟练掌握概率的计算公式是解决本题的关键． 首先确定所有可能的点的总数，再找出满足条件的点的数量，最后计算概率即可． 【解析】横坐标和纵坐标分别从1、2、3中随机选取（有放回）， 列表可知 横坐标 纵坐标 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 ∴由表格可知，有9种不同的点， 在函数 图像上的点满足横坐标等于纵坐标， 即 ，，，共3个点， ∴概率为 ． 故选B ． 7．小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，判断即可得解． 【解析】列表可得： 小新 小颖 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中出现的次数最多，为次，即选择获胜的概率最大， 故如果你是游戏者，你获胜选择的数是．故选B． 8．如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【解析】根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是．故选C． 9．甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用树状图求概率，解题关键是正确画出树状图，熟练运用概率公式进行计算．用树状图列出所有可能，再用概率公式计算即可． 【解析】画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中个小球上恰好有个元音字母的结果有种， 则个小球上恰好有个元音字母的概率是．故选C． 10．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【解析】 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选A． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 【答案】 【分析】利用列举法和概率计算公式求解即可． 【解析】随机抽取两张，等可能的结果有（美，丽），（美，山），（美，河），（丽，山），（丽，河），（山，河）， 共有种等可能的结果，其中，（丽，山）只有种， 这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是．故答案为$\frac{1}{6}$． 12．某校运动会有米、跳远、实心球、跳高四个运动项目，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项运动的概率是________ 【答案】 【分析】本题考查概率的计算，通过列举法分析所有可能结果是解题关键． 列出所有可能的选择结果，找出“选择同一项目”的结果数，代入概率公式计算． 【解析】如图，为所有可能的选择结果． 根据上表由种不同的情况，甲、乙选择同一种项目的情况为种， 他们选择同一项目的概率为：． 故答案为． 13．从写有数字2、3、5的三张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为奇数的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，掌握知识点是解题的关键． 通过列举所有不放回抽取的等可能结果，计算两次数字之和为奇数的概率 【解析】从数字2、3、5的三张卡片中不放回地抽取两次，所有可能的结果为：，共6种等可能性结果．其中两次数字之和为奇数的结果有：，共4种． 因此概率为． 故答案为 14．物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【解析】总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为． 15．如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． （1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； （2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【答案】（1） 解：∵个红球与个白球 ∴摸出的是红球的概率为 摸出的是白球的概率为， ， ∴这个办法不公平 （2）原来有红球个，白球有个 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题． （1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）根据题意摸出红球的概率为，列出方程，即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：依题意， 解得： 是原方程的解， 则， ∴原来有红球个，白球有个 17．（9分）如图是一个转盘，小王和小赵在做游戏，两人各转动这个转盘一次，若指针落在红色上面，则小王得1分；若指针落在白色上面，则小赵得1分；若指针落在黄色上面，双方均不得分，重新再转．问这个规则对双方公平吗？ 【答案】不公平 【分析】本题考查游戏的公平性，熟练掌握概率公式是解题的关键. 分别求出指针落在红色和白色上面的概率，再比较落后即可求解. 【解析】由图可知在四个等可能结果中，红色占两种情况， 白色占一种，所以每转一次小王得1分的概率为，小赵得1分的概率为． ， 这个规则对双方不公平． 18．（9分）我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． （1）“转动一次转盘获得100元的购物券”是　　　　　　　　；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） （2）如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的可能性和未得到购物券的可能性哪个大? 【答案】（1）不可能事件 （2）得不到购物券的概率大 【分析】（1）由于转盘上没有获得100元的购物券的区域，从而得到答案； （2）转动一次转盘共有16种等可能的结果．其中得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种，从而得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为，从而即可判断得到答案． 【解析】（1）解：∵转盘只设置了红色、黄色或绿色区域，分别对应元、元、元的购物券， ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：转动一次转盘共有16种等可能的结果． 其中：转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， 转动一次转盘得到购物券的概率为， 得不到购物券的概率为， ， 得不到购物券的概率大． 19．（9分）下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 （1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到________次反面，“出现反面”的频率是________． （2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到________次正面，“出现正面”的频率是________．也就是说，机器人抛掷完次后，得到________次反面，“出现反面”的频率是________． （3）如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ （4）观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 【答案】（1）4； （2）；；； （3）可能会一模一样，也可能不会一模一样，因为“抛掷硬币”游戏中，出现正面还是反面是随机事件，所以每次抛掷出现的结果可能一样，也可能不一样，所以记录下的频数和频率表可能会一模一样，也可能不会一模一样． （4）当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【分析】（1）抛掷完5次后，得到1次正面，则反面次数为总抛掷次数减去正面次数，“出现反面”的频率等于1减去“出现正面”的频率． （2）观察频数和频率表即可得机器人抛掷完次后的正面次数，再用总抛掷次数减去正面次数即可得反面次数，最后用1减去“出现正面”的频率即可得“出现反面”的频率． （3）根据随机事件的特点即可得记录下的频数和频率表可能会一模一样，也可能不会一模一样． （4）观察“出现正面”的频率条形统计图即可得当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【解析】（1）解：根据题意得： （次）， ， ∴抛掷完5次后，“出现正面”的次数为1次，“出现反面”的次数为4次， “出现反面”的频率为． （2）解：观察频数和频率表即可得机器人抛掷完次后的正面次数为次，“出现正面”的频率是， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为：（次）， “出现反面”的频率为：， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为（次），“出现反面”的频率为． （3）略 （4）答：观察“出现正面”的频率条形统计图发现，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率基本稳定在左右， ∴当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 20．（9分）某班甲、乙两名同学被推荐到怒江西岸年阔时节辞旧迎新晚会上表演，计划用葫芦丝和笛子合奏一曲，合奏曲目用游戏的方式在《户外天堂》与《追梦傈僳人》中确定一首． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为：，，，的四个小球（除编号外，其余相同），甲从口袋中随机摸出一个球，小球上的数字记为；在另外一个不透明的口袋中装有分别标有数字，的两张卡片（除编号外，其余相同），乙从口袋中随机摸出一张卡片，卡片上的数字记为．然后计算这两个数的和，即，若为奇数，则演奏《户外天堂》，否则演奏《追梦傈僳人》． （1）用列表法或画树状图中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1）种 （2） 解：游戏公平，理由如下： 由（1）知一共有种等可能的结果，其中为奇数的有，，，种， ，， ， 游戏公平． 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、判断游戏的公平性． （1）方法一、用列表法表示出所有可能出现的结果总数；方法二、用画树状图法表示出所有可能出现的结果总数； （2）分别计算出和为奇数的概率、和为偶数的概率，根据概率判断游戏是否公平． 【解析】（1）解：方法一，列表如下： （1） （2） （1） （2） （1） （2） （1） （2） 由表可知所有可能出现的结果为：，，，，，，，．它们出现的可能性相等，一共有种 答：所有可能出现的结果共有种． 方法二，画树状图如下： 所有可能出现的结果为：，，，，，，，．它们出现的可能性相等，一共有种． 答：所有可能出现的结果共有种； （2）略 21．（10分）一个不透明的袋中装有除颜色不同外其余均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4附近，由此估计袋中红球有多少个． 【答案】8个． 【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数． 【解析】由题意可得， 摸到黑球和白球的频率之和为：， ∴总的球数为：（个）， ∴红球有：（个）． 答：由此估计袋中红球有个． 22．（10分）如图，小颖和小明用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小颖获胜，否则小明获胜． （1）若只转动B盘，指针指在B盘红色区域的概率是 ． （2）利用画树状图或列表的方法表示游戏的所有可能出现的结果，并求出小颖和小明获胜的概率． 【答案】（1） （2）列表如下： B盘             A盘 红 黄 蓝 红1 红红1 黄红1 蓝红1 红2 红红2 黄红2 蓝红2 蓝 红蓝 黄蓝 蓝蓝 P（小颖获胜），P（小明获胜） 【分析】此题主要考查了根据树状图或列表求概率，正确列出表格是解题关键． （1）根据概率公式解答即可； （2）列表表示出所有可能出现的结果，利用表格进而求出两人获胜的概率，即可得出答案． 【解析】（1）解：若只转动盘，指针指在盘红色区域的概率是． （2）解：将B盘中红色区域等分成两个部分，红1，红2， 列表如下，由表格可知共有9种等可能结果，其中配成紫色的有3种， 所以P（小颖获胜），P（小明获胜）． 23．（10分）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． （1）小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； （2）小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； （3）若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）公平， 理由：指针落在黄色区域，指针都落在蓝色区域． 公平． 【分析】本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握事件可能出现的结果所有可能结果． （1）求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率； （3）根据（2）中列表法，分别求出指针落在黄色区域和指针都落在蓝色区域的概率，即可得出答案． 【解析】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， 指针落在红色区域； （2）解：列表法， 第一次 第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有种可能，指针刚好落在蓝色区域有种， 指针都落在蓝色区域； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 概率的进一步认识 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．表格是某一项实验中结果A出现的频率统计表，请估计在一次实验中结果A出现的概率约为（ ） 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 300 540 780 925 1140 频率 0.25 0.38 0.36 0.39 0.37 0.38 A．0.25 B．0.35 C．0.36 D．0.38 2．为了估计椭圆的面积，小实在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（ ） A． B． C． D． 3．9月24日结束的2024年全国射击锦标赛男子50米步枪三姿决赛中，巴黎奥运会双冠王盛李豪击败对手夺冠．某次训练过程中，通过大量重复的射击练习，统计出盛李豪射出10环以上的频率为0.9．下列说法正确的是（ ） A．盛李豪射击1次，不一定能射出10环以上 B．盛李豪射击1次，一定能射出10环以上 C．盛李豪射击10次，一定有9次射出10环以上 D．盛李豪射击9次，至少有1次射出10环以上 4．一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的幸运星共200颗（除颜色外都相同）．小明通过多次做摸取幸运星试验后发现，摸到红色幸运星的频率稳定在，由此可以估计这个盒子中红色幸运星的数量为（ ） A．15颗 B．30颗 C．50颗 D．100颗 5．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，“朝上的面相同”的概率是（ ） A． B． C． D． 6．将1，2，3三个数字随机取一个数字作为一个点的横坐标，放回后再从中抽取一个数字作为这个点的纵坐标．从这些坐标构成的点中取一点，则这个点在函数图象上的概率是（ ） A． B． C． D． 7．小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A． B． C． D． 9．甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出个小球（本题中，，是元音字母；，，，是辅音字母），则个小球上恰好有个元音字母的概率是（ ） A． B． C． D． 10．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 12．某校运动会有米、跳远、实心球、跳高四个运动项目，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项运动的概率是________ 13．从写有数字2、3、5的三张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，两次抽取的数字之和为奇数的概率是________． 14．物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是________． 15．如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． （1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； （2）若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 17．（9分）如图是一个转盘，小王和小赵在做游戏，两人各转动这个转盘一次，若指针落在红色上面，则小王得1分；若指针落在白色上面，则小赵得1分；若指针落在黄色上面，双方均不得分，重新再转．问这个规则对双方公平吗？ 18．（9分）我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． （1）“转动一次转盘获得100元的购物券”是　　　　　　　　；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） （2）如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的可能性和未得到购物券的可能性哪个大? 19．（9分）下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 （1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到________次反面，“出现反面”的频率是________． （2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到________次正面，“出现正面”的频率是________．也就是说，机器人抛掷完次后，得到________次反面，“出现反面”的频率是________． （3）如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ （4）观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 20．（9分）某班甲、乙两名同学被推荐到怒江西岸年阔时节辞旧迎新晚会上表演，计划用葫芦丝和笛子合奏一曲，合奏曲目用游戏的方式在《户外天堂》与《追梦傈僳人》中确定一首． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为：，，，的四个小球（除编号外，其余相同），甲从口袋中随机摸出一个球，小球上的数字记为；在另外一个不透明的口袋中装有分别标有数字，的两张卡片（除编号外，其余相同），乙从口袋中随机摸出一张卡片，卡片上的数字记为．然后计算这两个数的和，即，若为奇数，则演奏《户外天堂》，否则演奏《追梦傈僳人》． （1）用列表法或画树状图中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 21．（10分）一个不透明的袋中装有除颜色不同外其余均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4附近，由此估计袋中红球有多少个． 22．（10分）如图，小颖和小明用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小颖获胜，否则小明获胜． （1）若只转动B盘，指针指在B盘红色区域的概率是 ． （2）利用画树状图或列表的方法表示游戏的所有可能出现的结果，并求出小颖和小明获胜的概率． 23．（10分）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． （1）小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率； （2）小敏和小华同学各转动转盘一次，求“指针都落在蓝色区域”的概率； （3）若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $