第六章 概率的进一步认识（单元自测卷·深圳专用）数学新教材北师大版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测（深圳专用） 第六章 概率的进一步认识（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C D A B C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9． 10．18 11．9500 12． 13． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）(1) ................2分 (2)解：这个规则不公平．................3分 理由如下：∵数字大于3的结果有3种， ∴小红去的概率；................4分 ∵数字小于3的结果有2种， ∴小星去的概率，................5分 ∵， ∴这个规则不公平．................6分 15．（6分）【详解】(1)m=160,n=40,α=90°, ................3分 (2)P(红)=20÷160=,................4分 P（黄）=40÷160=,................5分 每转动一次转盘获得购物券金额的平均数是：60×+20×=12.5（元）................6分 16．（9分）【详解】（1）3；................3分 （2）D；................6分 （3）．................9分 17．（9分）【详解】（1）； 和；................2分 （2）解：晓强的做法不正确．................3分 这100箱柑橘的平均重量为： ． 答：这100箱柑橘的平均重量是．................4分 （3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）． ∵， （辆）， ∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车．................6分 （4）解：列表如下： A B C D E A B C D E ED ∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果， ∴P（同时抽到A组和E组）．................9分 18．（8分）【详解】（1）解：因为甲山4棵小枣树产量分别为34千克、36千克、40千克、50千克， 所以甲山4棵小枣树产量的中位数为（千克）． 故答案为：38千克．................2分 （2）解：因为（千克）， （千克）， 所以， 所以甲、乙两座山的样本的产量一样高． 答：甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高．................4分 （3）四座山的小枣树的总产量为：（千克）． 答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520千克．................6分 （4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2种， 所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为．................8分 19．（11分）【详解】（1）12；................1分 （2）树状图如下：    ................2分 根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，................3分 ∴小芳选择“”组合的概率为；................4分 （3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元， 平均利润为：（元），   ................5分 ∵，因此应调低午餐单价；................6分                                    ②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），................9分 当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．................11分 20.（12分）【详解】（1）3；................2分 （2）1，4；................6分 （3）；先手；6................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第六章 概率的进一步认识 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：红色区域的圆心角为， 蓝色区域的圆心角为， 指针落在蓝色区域的概率是， 故选：D． 2．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（  ） A． B． C． D． 【详解】解：将《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别记为A、B、C、D， 从4部中任选2部，所有等可能的结果为： （A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，C）、（B，D）、（C，D） 共有6种结果，其中恰好有一本是《周髀算经》的结果有3种， 因此，恰好有一本是《周髀算经》的概率为． 故选：B． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．“如果x、y是实数，那么”是随机事件 B．为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式 C．分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定 【详解】解：A、“如果x、y是实数，那么”是必然事件，原说法错误，不符合题意； B、为了了解人们保护水资源的意识，应当采用抽样调查的调查方式，原说法错误，不符合题意； C、分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张的所有可能组合为：，积分别为：，则卡片上的两数之积为正数的概率为，原说法正确，符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，则乙组数据较稳定，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 【详解】解：正面向上的点数小于3的概率为：， 正面向上的点数大于等于3的概率为：， ， 对乙有利， 故选：C． 5．某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为 A． B． C． D． 【详解】试题分析：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， ∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1．， ∵在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为， ∴遇到黄灯的概率为． 故选D． 6．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 【详解】解：算法要求观看次数达到5次以上才会计算完播率并推荐，四个类别的观看次数分别为18，10，14，18，均大于5，全部符合计算条件． 分别计算各类别完播率如下： 航空航天：； 科学实验：； 电影评论：； 排球技巧：； ∵， ∴航空航天类完播率最高，即平台会重点推荐航空航天类视频． 故选A． 7．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：设广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠分别为，可列表为： 由列表可得总共有种等可能得结果，其中恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠有2种， ∴恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率为：， 故选：B． 8．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．深圳“山海连城”计划重点建设“一脊一带二十廊”生态骨架．梧桐山、塘朗山、笔架山是“一脊”中具有代表性的三座山体，小明计划于年选择其中两座完成徒步挑战，其中包含梧桐山的概率是________． 【详解】解：记梧桐山为，塘朗山为，笔架山为 从三座山体中任选两座，所有等可能的结果为：，，，共种， 其中包含梧桐山的结果有种， 根据概率公式，可得：． 故答案为： 10．一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共30个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.4，估计袋中红球的个数为_______． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， ∴由频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又∵袋中白球和红球共个， ∴估计袋中白球的个数为：， ∴估计袋中红球的个数为． 故答案为：18． 11．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数（粒） 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数 47 96 475 951 1900 2850 发芽频率 0.94 0.96 0.95 0.951 0.95 0.95 如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有________粒发芽． 【详解】解：由表可知，估计该麦种的发芽概率约为0.95， ∴播种该种小麦10000粒种子，有粒发芽， 故答案为：9500． 12．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为________度． 【详解】解：由图（b）可得频率稳定在，即转盘中优胜的概率为， ∴转盘中优胜奖区域的圆心角近似为， 故答案为： ． 13．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 【详解】 解不等式①得． a、b取值： 1 2 1 2 共6种情况： ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有2个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，负整数解只有4个． 综上所述，关于x的不等式组的解集中有且只2个非负整数的概率为． 故答案为： 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在分界线上时重新转动转盘）． (1)转出数字是1的概率是 ； (2)小红和小星都想周末去看《头脑特工2》，但只有一张电影票，他们决定借助转盘确定谁去．规则是“转动转盘，如果转出的数字大于3，则小红去；如果转出的数字小于3，则小星去”．这个规则公平吗？为什么？ 【详解】（1）转出数字是1的概率是， 故答案为：； (2) 解：这个规则不公平． 理由如下：∵数字大于3的结果有3种， ∴小红去的概率； ∵数字小于3的结果有2种， ∴小星去的概率， ∵， ∴这个规则不公平． 15．（6分）某超市销售多种颜色的运动服装，其中平均每天销售红、黄、蓝、白四种颜色运动服的数量如表，由此绘制的不完整的扇形统计图如图： （1）求表中m、n、α的值，表中m=　 　，n=　 　，α=　 　； （2）为吸引更多的顾客，超市将上述扇形统计图制成一个可自由转动的转盘，并规定：顾客在本超市购买商品金额达到一定的数目，就获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针指向红色服装区域、黄色服装区域，可分别获得60元、20元的购物券．求顾客每转动一次转盘获得购物券金额的平均数． 【详解】(1)m=40÷25%=160, 20+n+40+1.5n=160, 解得:n=40, α=40÷160×100%×360°=90°, (2)P(红)=20÷160=, P（黄）=40÷160=, 每转动一次转盘获得购物券金额的平均数是： 60×+20×=12.5（元） 16．（9分）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图1方式折叠，然后打开，得到图2所示的图形．同学们按照图2画线，然后沿实线将正方形分割成如图3所示的七块区域，并按①～⑦进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，是区域⑦的周长为 　 　． (2)下列说法正确的是 　 　． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关 B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏 D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 (3)宝藏被藏在区域⑥的概率为 　 　． 【详解】（1）解：由图2可知，区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长， ∴区域⑦的周长等于区域⑥的周长， ∵区域⑥对应的周长为3， ∴区域⑦对应的周长为3， 故答案为：3； （2）解：A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状无关，找到宝藏的概率跟所选择区域的面积有关，故该选项错误； B．在区域③可能找到宝藏，故该选项错误； C．在区域①能找到宝藏的事件是随机事件，所以改选项错误； D．因为区域④⑥⑦的面积相同，都是大正方形面积的，所以在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同，故该选项正确， 故选：D； （3）解：由图可知，区域⑥的面积是大正方形面积的，所以在区域⑥的概率为， 故答案为：． 17．（9分）某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率． 【详解】（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30，最中间的一个数据为18， 所以，中位数是； 数据出现最多的是17和24，各出现3次， 故众数为和； （2）解：晓强的做法不正确． 这100箱柑橘的平均重量为： ． 答：这100箱柑橘的平均重量是． （3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）． ∵， （辆）， ∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车． （4）解：列表如下： A B C D E A B C D E ED ∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果， ∴P（同时抽到A组和E组）． 18．（8分）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数； (2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和； (4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率． 【详解】（1）解：因为甲山4棵小枣树产量分别为34千克、36千克、40千克、50千克， 所以甲山4棵小枣树产量的中位数为（千克）． 故答案为：38千克． （2）解：因为（千克）， （千克）， 所以， 所以甲、乙两座山的样本的产量一样高． 答：甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高． （3）四座山的小枣树的总产量为：（千克）． 答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520千克． （4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2种， 所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为． 19．（11分）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 2300 900 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． (2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率； (3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？ 【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为（份）， 对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12． 故答案为：12； （2）树状图如下：     根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况， ∴小芳选择“”组合的概率为； （3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元， 平均利润为：（元），    ∵，因此应调低午餐单价；                                    ②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元）， 当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元． 20．（12分）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 【详解】（1）解：观察可得：当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （2）解：当时，先手第一次取1颗，剩下4颗，此时后手取x颗， 先手就取颗，就能取到最后一颗，可迫使后手陷入必输状态，所以填1， 观察时后手必胜，时先手必胜，时后手必胜，可得： 当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； （3）解：由（1）（2）知： 当每次最多取颗，当n为3的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 当每次最多取颗，当n为4的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略， 从而可推得：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略； 先计算即，所以应选择先手； 必胜策略：先手第一次取6颗糖果，之后每轮对手取x颗，先手就取颗，这样每轮两人一共取颗糖果，经过轮后，最后一颗糖果必然被先手取到，从而获胜． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第六章 概率的进一步认识 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 2．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（  ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．“如果x、y是实数，那么”是随机事件 B．为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式 C．分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定 4．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 5．某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为 A． B． C． D． 6．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 7．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．深圳“山海连城”计划重点建设“一脊一带二十廊”生态骨架．梧桐山、塘朗山、笔架山是“一脊”中具有代表性的三座山体，小明计划于年选择其中两座完成徒步挑战，其中包含梧桐山的概率是________． 10．一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共30个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.4，估计袋中红球的个数为_______． 11．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数（粒） 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数 47 96 475 951 1900 2850 发芽频率 0.94 0.96 0.95 0.951 0.95 0.95 如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有________粒发芽． 12．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为________度． 13．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在分界线上时重新转动转盘）． (1)转出数字是1的概率是 ； (2)小红和小星都想周末去看《头脑特工2》，但只有一张电影票，他们决定借助转盘确定谁去．规则是“转动转盘，如果转出的数字大于3，则小红去；如果转出的数字小于3，则小星去”．这个规则公平吗？为什么？ 15．（6分）某超市销售多种颜色的运动服装，其中平均每天销售红、黄、蓝、白四种颜色运动服的数量如表，由此绘制的不完整的扇形统计图如图： （1）求表中m、n、α的值，表中m=　 　，n=　 　，α=　 　； （2）为吸引更多的顾客，超市将上述扇形统计图制成一个可自由转动的转盘，并规定：顾客在本超市购买商品金额达到一定的数目，就获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针指向红色服装区域、黄色服装区域，可分别获得60元、20元的购物券．求顾客每转动一次转盘获得购物券金额的平均数． 16．（9分）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图1方式折叠，然后打开，得到图2所示的图形．同学们按照图2画线，然后沿实线将正方形分割成如图3所示的七块区域，并按①～⑦进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，是区域⑦的周长为 　 　． (2)下列说法正确的是 　 　． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关 B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏 D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 (3)宝藏被藏在区域⑥的概率为 　 　． 17．（9分）某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率． 18．（8分）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数； (2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和； (4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率． 19．（11分）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 2300 900 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． (2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率； (3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？ 20．（12分）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第六章 概率的进一步认识 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 2．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（  ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（   ） A．“如果x、y是实数，那么”是随机事件 B．为了了解人们保护水资源的意识，应当采用普查的调查方式 C．分别写有三个数字的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 D．若甲、乙两组数据的平均数相同，，则甲组数据较稳定 4．一个质地均匀的骰子各面分别标记着1，2，3，4，5，6．甲、乙两人玩掷骰子游戏，无论谁掷骰子，只要正面向上的点数小于3，就算甲赢，否则就算乙赢．对这个游戏公平性判断正确的是（    ） A．游戏公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．无法判断 5．某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为 A． B． C． D． 6．某视频平台会根据用户的观看情况推荐相应的视频，其算法是，如果某类视频一天内观看次数达到5次以上，平台就会重点关注，然后计算完播率（完播率），完播率越高的视频类别，会被重点推荐．下表是大滨某一天的观看情况： 类别 航空航天 科学实验 电影评论 排球技巧 观看视频次数 18 10 14 18 完整观看视频次数 15 1 4 5 根据该算法，平台会给大滨重点推荐（   ）类视频 A．航空航天 B．科学实验 C．电影评论 D．排球技巧 7．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．深圳“山海连城”计划重点建设“一脊一带二十廊”生态骨架．梧桐山、塘朗山、笔架山是“一脊”中具有代表性的三座山体，小明计划于年选择其中两座完成徒步挑战，其中包含梧桐山的概率是________． 10．一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共30个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.4，估计袋中红球的个数为_______． 11．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数（粒） 50 100 500 1000 2000 3000 发芽频数 47 96 475 951 1900 2850 发芽频率 0.94 0.96 0.95 0.951 0.95 0.95 如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有________粒发芽． 12．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为________度． 13．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为__________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在分界线上时重新转动转盘）． (1)转出数字是1的概率是 ； (2)小红和小星都想周末去看《头脑特工2》，但只有一张电影票，他们决定借助转盘确定谁去．规则是“转动转盘，如果转出的数字大于3，则小红去；如果转出的数字小于3，则小星去”．这个规则公平吗？为什么？ 15．（6分）某超市销售多种颜色的运动服装，其中平均每天销售红、黄、蓝、白四种颜色运动服的数量如表，由此绘制的不完整的扇形统计图如图： （1）求表中m、n、α的值：表中m=　 　，n=　 　，α=　 　； （2）为吸引更多的顾客，超市将上述扇形统计图制成一个可自由转动的转盘，并规定：顾客在本超市购买商品金额达到一定的数目，就获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针指向红色服装区域、黄色服装区域，可分别获得60元、20元的购物券．求顾客每转动一次转盘获得购物券金额的平均数． 16．（9分）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图1方式折叠，然后打开，得到图2所示的图形．同学们按照图2画线，然后沿实线将正方形分割成如图3所示的七块区域，并按①～⑦进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，是区域⑦的周长为 　 　． (2)下列说法正确的是 　 　． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关 B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏 D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 (3)宝藏被藏在区域⑥的概率为 　 　． 17．（9分）某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率． 18．（8分）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数； (2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和； (4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率． 19．（11分）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图： 种类 数量（份） A 1800 2300 900 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______． (2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率； (3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价． ①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价； ②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？ 20．（12分）【问题提出】甲、乙两人轮流从一堆糖果中取糖果，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始糖果总数为n，探究先手（先取糖果）或后手必胜的策略． 【问题探究】请将下述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，观察下表并总结规律： 糖果总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 … 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 … 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (2)扩展情形分析：若每次最多取3颗（）， 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略； 当时，先手第一次取_______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． (3)数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为_______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择_______（先手或后手），你第一次取_______颗． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试卷 第5页（共8页） 试卷 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $