第三章 概率的进一步认识 A卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

四川省成都市九年级数学上学期单元整合作业 北师大版（2024年版）九年级上册　第三章　概率的进一步认识　A 卷 应用场景：单元整合作业，用于《概率的进一步认识》全章复习巩固，预计 60 分钟。 出题人 马瑞繁 适用地区 四川成都 教材版本 北京师范大学出版社　九年级上册（ 2024 年版） 考查范围 第三章　概率的进一步认识（含用树状图求概率、用列表法求概率、放回与不放回试验、两步及三步试验的概率计算、用频率估计概率、概率的实际应用与决策） 作业类型 单元整合作业（ 21 题，满分 100 分；另附附加题 5 题，共 20 分） 建议用时 约 60 分钟 一、作业目标 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：能通过列表、画树状图列出简单随机事件所有可能的结果，计算简单随机事件的概率；知道通过大量重复试验可以用频率估计概率；能利用概率知识解决简单的实际问题，发展数据观念与应用意识。 （二）分层目标 基础目标（全体学生）会画两步试验的树状图、会列表，能数清结果数，会计算简单概率。 提高目标（大部分学生）能区分放回与不放回试验并分别计数，会用「1 减对立事件」处理「至少」类问题，能用频率的稳定趋势估计概率。 拓展目标（学有余力的学生）能处理三步试验与含复合条件的事件，能完成游戏公平性的判断与规则修改，能利用概率进行实际决策并说明理由。 （三）素养落点 以数据观念与应用意识为主线：第 1—8 题管树状图、列表的基本使用与概率计算，第 9—11 题管计数原则与频率估计的辨析，第 12—15 题管放回、不放回与列表计算，第 16—21 题管两步三步试验、公平性判断与实际决策，第 22—26 题管错解诊断、方案设计与探究。 二、作业内容 七年级我们学过概率的初步概念，这一章要把「算概率」的本事升级：一步试验靠数，两步试验靠「画树」与「列表」。抽两张牌、转两次转盘、一家三个孩子都是男孩还是女孩——这些事的结果之间环环相扣，数漏一个概率就全错。树状图把每一步的选择像树枝一样展开，表格把两个人的选择纵横铺开，都是「把所有结果一个不漏地摆在眼前」的工具。放不放回、算不算顺序，是本章最容易踩的坑；最后还要用大量试验的频率去逼近那些算不出来的概率。 第一部分　基础巩固（第 1—8 题，每题 3 分，共 24 分，约 18 分钟） 1. （原创）树状图的用途。用树状图或列表法求概率时，最主要的目的是（　　） A. 把图形画得美观　　B. 不重不漏地列出所有等可能结果 C. 减少试验次数　　D. 保证事件一定发生 答： 2. （原创）掷两枚硬币。同时掷两枚均匀的硬币，「一枚正面、一枚反面」的概率是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 答： 3. （原创）列表计数。同时掷两枚均匀的骰子，点数之积为 6 的概率是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 答： 4. （原创）摸球不放回。袋中有 2 个红球、1 个白球（除颜色外完全相同），摸出第一个球后不放回，再摸第二个球，则两次都摸到红球的概率是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 答： 5. （原创）频率估计。某事件在 400 次试验中发生了 96 次，用频率估计它发生的概率约为（　　） A. 0.24　　B. 0.4 C. 0.96　　D. 4.17 答： 6. （原创）转盘两步。转盘均匀分成红、白两个半圆，转动两次，两次都停在红色区域的概率是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 答： 7. （原创）至少问题。连续掷一枚均匀硬币两次，「至少有一次正面朝上」的概率是（　　） A. 　　B. C. 　　D. 1 答： 8. （原创）结果数判断。小红说：「两枚骰子点数之和有 2 到 12 共 11 种结果，所以和为 8 的概率是 。」她的错误在于（　　） A. 树状图画错了　　B. 把「和」当成了基本结果，各结果不是等可能的 C. 骰子不均匀　　D. 忘了掷骰子是放回试验 答： 第二部分　能力提升（第 9—15 题，共 28 分，约 22 分钟） 9. （原创）计数原则。用树状图或列表法求概率时，下列做法正确的有（　　）（多选） A. 每一步的每种可能都要分出分支 B. 「甲红乙蓝」与「甲蓝乙红」算两种不同结果 C. 只列出目标事件的结果，其他略去 D. 列完后核对：总结果数应等于各步结果数的乘积 答： 10. （原创）频率与概率深化。关于频率与概率，下列说法正确的有（　　）（多选） A. 试验次数很大时，频率稳定在概率附近 B. 某批次彩票中奖概率 0.01，买 100 张必中 1 张 C. 无法用公式计算概率的事件，可用大量试验的频率估计 D. 两次试验频率不同，说明理论概率也随试验变化 答： 11. （原创）放回与不放回。关于放回与不放回的摸球试验，下列说法正确的有（　　）（多选） A. 放回时每一步的概率结构完全相同 B. 不放回时第二步的概率要按摸走一个球后的新情况计算 C. 不放回摸出两个不同颜色的球的概率总是大于放回情形 D. 放回与不放回的树状图各层分支数可能不同 答： 12. （原创）列表计算。小明和小繁各持一枚均匀硬币，同时抛出。用列表法可得：两枚硬币结果相同的概率是　　　　　　，恰好一正一反的概率是　　　　　　。 答： 13. （原创）不放回摸牌。三张牌分别写着 1、2、3（除数字外完全相同），随机摸出一张不放回，再摸一张。两次摸出的数字之和为奇数的概率是　　　　　　，之和大于 4 的概率是　　　　　　。 答： 14. （原创）频率表估计。某渔场做「抛网命中鱼群区」试验，记录如下： 抛网次数 100 300 600 1000 命中次数 61 192 366 598 命中频率 0.610 0.640 0.610 0.598 观察频率的稳定趋势，估计「抛网命中鱼群区」的概率约为　　　　　　（保留一位小数）；若抛网 1000 次，估计命中次数约为　　　　　　次。 答： 15. （原创）三步试验。连续抛掷一枚均匀硬币三次，用树状图分析：恰好三次都是正面的概率是　　　　　　，恰好两次正面的概率是　　　　　　，至少一次反面的概率是　　　　　　。 答： 第三部分　综合应用（第 16—21 题，每题 8 分，共 48 分，约 20 分钟） 16. （原创）摸球两步（不放回）。袋中装有 2 个红球和 2 个白球（除颜色外完全相同），甲先随机摸出一球不放回，乙再摸出一球。 （1）用树状图列出所有等可能结果（给四个球编号或用颜色序号区分）； （2）求「甲摸到红球」的概率； （3）求「两人摸到同色球」的概率； （4）说明这个摸球规则对甲、乙是否公平，并给出理由。 答： 17. （原创）列表与竞赛对阵。甲、乙、丙三人进行乒乓球单循环赛（每两人赛一场），每场胜者得 1 分。假设每场双方获胜概率均为 ，用树状图分析三场比赛（甲乙、甲丙、乙丙）的胜负结果。 （1）写出所有等可能的胜负结果（用「甲胜乙」等语句表述）； （2）求「甲两战全胜」的概率； （3）求「甲恰好胜一场」的概率； （4）说明为什么每场比赛公平（ 对 ）并不能保证三人最终得分概率也相等。 答： 18. （原创）双转盘组合。甲转盘均匀分成 4 份，其中 1 份红色、3 份蓝色；乙转盘均匀分成 2 份，红、白各半。两个转盘各转一次。 （1）用列表法列出所有等可能结果； （2）求「两个转盘都停在红色区域」的概率； （3）求「恰好一个转盘停在红色区域」的概率； （4）用「1 减对立事件」再算一遍（3）的结果，说明两种算法的结论一致。 答： 19. （原创）游戏公平性。小明和小繁设计了一个游戏：袋中装 3 个红球、2 个白球（除颜色外完全相同），随机摸出一球不放回，再摸出一球。若两球同色，小明赢；异色，小繁赢。 （1）用树状图或列表法求「两球同色」的概率； （2）求「两球异色」的概率； （3）判断游戏是否公平；若不公平，请修改规则（改变计分或分组）使其公平，并验证修改后的概率； （4）从本题归纳：判断游戏公平性的唯一标准是什么？「摸球人不同」会影响公平吗？ 答： 20. （原创）频率估计与决策。某芯片厂对两条生产线的产品做抽检，合格情况如下： 生产线 抽检件数 合格件数 合格频率 甲线 500 485 0.970 乙线 500 460 0.920 （1）估计从甲线随机抽取 1 件产品为合格品的概率； （2）估计从乙线随机抽取 1 件产品为合格品的概率； （3）工厂随机从两条线各抽 1 件产品，估计「两件都合格」的概率（把频率当概率用）； （4）若每件不合格品损失 50 元，甲线月产 20000 件，估计甲线每月因不合格品的损失金额。 答： 21. （原创）三步试验与计数升级。一个不透明袋中装有 3 个小球，分别标有数字 1、2、3（除数字外完全相同）。摸出记录后放回搅匀，再摸第二次，再放回搅匀，摸第三次。 （1）三次摸球共有多少种等可能结果？用乘法关系说明； （2）求「三次都摸到 2」的概率； （3）求「三次数字之和为 6」的概率（列出所有符合条件的组合）； （4）比较（2）（3）：为什么「三次同数字」共 3 种结果、概率 = ，而「和为 6」的概率不同于它？由此说明「先列树、再数枝」为什么比「想当然」可靠。 答： 第四部分　附加题（第 22—26 题，每题 4 分，共 20 分，约 20 分钟） 22. （原创）错解诊断。小强在作业里写下三个说法：①不放回摸两次球，第二步的概率与第一步相同；②「至少一次摸到红球」的对立事件是「两次都没摸到红球」；③画树状图时，若某一步只有一种结果，这一步可以省略不画。 （1）逐个判断正误； （2）对错误的说法举例改正； （3）由第②个说法总结「至少」类问题的通用解法，并举一例说明「直接数」与「1 减对立」两种算法的结果一致。 答： 23. （原创）不放回的对称性。袋中有 3 个红球、2 个白球（除颜色外完全相同），甲、乙两人依次不放回各摸一球。 （1）用树状图求「甲摸到红球」的概率； （2）求「乙摸到红球」的概率； （3）比较（1）（2）的结果，说明「先摸的人不占便宜」的原因； （4）把结论推广：n 个球（含 k 个红球）不放回依次分给多人，每人摸到红球的概率都等于 。用本题数据验证这一推广。 答： 24. （原创）复合条件事件。同时掷两枚均匀骰子，设第一枚点数为 x、第二枚点数为 y。 （1）求「x + y = 9」的概率； （2）求「x = y」的概率； （3）求「x > y」的概率，并说明它与「x < y」的概率为什么相等、两者之和与 1 的关系； （4）利用（2）（3）写出「x ≥ y」的概率，并总结对称事件在计数中的省力作用。 答： 25. （原创）探究：概率与方案设计。班级要选出 1 名代表参加学校合唱节抽签，小繁设计了两种方案： 方案一：袋中放 30 张签，1 张写「中」，29 张写「空」，每人抽后放回搅匀，直到抽中为止，抽中者当代表； 方案二：30 名同学按 1—30 报数，老师随机报出一个 1 到 30 的数（各数等可能），报到的同学当代表。 （1）方案一中第一个抽签的人抽中的概率是多少？前 5 人都未抽中、第 6 人抽中的概率是多少？ （2）方案二中每位同学被选中的概率是多少？ （3）比较两方案：每个同学的最终被选概率是否都相等？方案一里「抽签顺序」影响总概率吗？ （4）若要让「第 k 个抽签的人恰在第 k 次抽中」的总概率最大，k 应取多少？说明理由。 答： 26. （原创）综合探究：三门问题。舞台上有一扇门后面藏着大奖（汽车），另两扇门后面是空门。你选定一扇门（比如 1 号），主持人知道答案，他打开另一扇空门（比如 3 号），然后问你：要不要换成 2 号门？ （1）不换门时，你最初选中有汽车那扇门的概率是多少？ （2）换门策略：用树状图分析「汽车在 1、2、3 号门」三种等可能情形下，主持人开空门后换门的结果，求换门后中奖的概率； （3）比较（1）（2），说明「换门」是否更有利、概率提高了多少； （4）本题的关键前提是「主持人知道答案且必开一扇空门」。若主持人是随机开门（可能开出汽车），换门还有优势吗？用树状图或文字说明。 答： 三、参考答案与解析 1. B。树状图与列表的使命只有一个：把所有等可能结果不重不漏地摆出来，再数出目标事件占几份。A 项与美观无关；C 项树状图是理论计算，恰恰不用做试验；D 项概率工具不能保证任何事件发生。一句话：先摆全，再数数。 2. C。两枚硬币的结果：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）共 4 种等可能结果，「一正一反」含 2 种，概率 = = 。A 项 是「两个都是正面」的概率；B 项 是把三种情况当等可能的老错——（正反）与（反正）必须分开算。 3. D。两枚骰子共 6 × 6 = 36 种等可能结果。积为 6 的组合：(1,6)、(2,3)、(3,2)、(6,1)，共 4 种，概率 = = ，选 D。B 项 漏了对称的组合；(1,6) 与 (6,1) 必须分开算，漏序是积类问题的头号失分点。 4. B。不放回：第一步 3 选 1，第二步只剩 2 选 1，共 6 种等可能结果。两次都红：红₁红₂、红₂红₁，2 种，概率 = = 。A 项 是放回时 () × () 的结果——放回与不放回的差别在本题立现。 5. A。频率 = = 0.24，用频率估计概率约 0.24。C 项把发生次数的数字搬来了；D 项 4.17 是倒数、还是个超过 1 的「假概率」——概率必须在 0 到 1 之间，这一条就能秒杀 D。 6. A。每次停红的概率 ，两次独立： × = 。树状图也行：红红、红白、白红、白白 4 支，只 1 支「红红」。「两次独立各一半，相乘得四分之一」。 7. C。四种结果中「至少一次正面」含（正正）、（正反）、（反正）3 种，概率 。更快的做法：对立事件「两次都是反面」概率 ，1 − = 。「至少」类问题优先想对立面，数枝少一半。 8. B。「和」不是基本结果：和为 8 有 (2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2) 共 5 种，而和为 12 只有 1 种，各「和」不是等可能的，不能直接拿 1 除以 11。基本结果必须取「（第一枚，第二枚）」的有序对，共 36 种等可能。D 项掷两枚骰子本就是放回式独立试验，说法也不对，但主错是 B。 9. A、B、D。A 对，每一步每种可能都分支，这是「不漏」的保证；B 对，两次操作的顺序不同是不同的试验结果，必须分开算；D 对，总结果数 = 各步结果数相乘，核对乘积能立刻发现漏枝。C 错：只画目标结果的树状图没法算概率——分母（总结果数）都不知道，分子从何谈起。 10. A、C。A 对，大数次试验下频率趋于稳定；C 对，这正是频率估计概率的用途，比如抛不均匀的瓶盖。B 错，概率 0.01 只说明平均每 100 张约中 1 张，买 100 张可能一张不中也可能中好几张；D 错，频率波动是正常现象，理论概率不随试验改变——变的是「测到的值」，不是「真值」。 11. A、B、D。A 对，放回后袋子复原，每步结构一样；B 对，不放回时第二步要在「少一个球」的新袋子里算；D 对，不放回时各层分支数递减（3 球袋放回是每层 3 支，不放回是 3、2、1）。C 错：「总是大于」不成立——例如袋中 1 红 1 白，不放回异色概率是 1（必然），放回是 ，此时成立；但 2 红 2 白时不放回异色 ，放回异色 ，也成立；再如 3 红 1 白不放回异色 = 1 − ()()·… 需逐例验证，「总是」二字就是它的死穴，任何一条反例即可否定。 12. ；。列表：（正正）、（正反）、（反正）、（反反）4 种等可能。两枚相同：正正、反反，2 种，概率 ；一正一反：2 种，概率 。两个事件「相同」与「一正一反」互为对立，和为 1，互相验算。 13. ；。不放回按顺序共 3 × 2 = 6 种：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)。和为奇数：1+2、2+1、2+3、3+2，4 种，概率 = （1 与 3 同奇，凑不出奇和的只有含 1 和 3 的组合）。和大于 4：2+3、3+2 各和 5，共 2 种，概率 = 。注意不放回时（1,1）、(2,2)、(3,3) 不存在，列表要挖掉对角线。 14. 0.6；6。频率依次为 0.61、0.64、0.61、0.598，随次数增多稳定在 0.6 附近，估计命中概率约 0.6。1000 次抛网命中次数估计 = 1000 × 0.6 = 600 次。估计值取「稳定趋势」而不是某一次的频率。 15. ；；。三次抛掷共 2 × 2 × 2 = 8 种等可能结果。全正 1 种，概率 ；恰好两次正：正正反、正反正、反正正，3 种，概率 ；至少一次反面 = 1 − 全正 = 1 − = 。三问一条链：全正最稀、两类次之、「至少」用对立面秒杀。 16.（1）四个球记为红₁、红₂、白₁、白₂。树状图：第一步 4 支，第二步各 3 支，共 12 种等可能结果：红₁红₂、红₁白₁、红₁白₂、红₂红₁、红₂白₁、红₂白₂、白₁红₁、白₁红₂、白₁白₂、白₂红₁、白₂红₂、白₂白₁。 （2）甲摸红：第一步是红₁或红₂，占 = 。 （3）同色：红₁红₂、红₂红₁、白₁白₂、白₂白₁，4 种，概率 = 。 （4）公平。乙摸到红球的概率：甲红时乙红的概率 ()，甲白时乙红 ()，加权 × + × = ，与甲相同——这正是第 23 题「先摸不占便宜」的特例。概率相等即公平，与摸球顺序无关。 本题把「树状图 + 分步概率 + 公平性」三件事一次做完，不放回试验的分步概率（条件概率的直觉版）第一次亮相。 17.（1）三场各自独立等可能，共 2 × 2 × 2 = 8 种：甲胜乙/乙胜甲 × 甲胜丙/丙胜甲 × 乙胜丙/丙胜乙的组合。 （2）甲两战全胜：甲胜乙、甲胜丙，其余一场任意，2 × 1 = 2 种？——精确计：固定「甲胜乙、甲胜丙」后第三场乙丙 2 种可能，共 2 种，概率 = 。 （3）甲恰好胜一场：胜乙负丙（乙丙任意 2 种）或负乙胜丙（乙丙任意 2 种），共 4 种，概率 = 。也可用对称性：甲的战绩只有全胜、一胜一负、全负三类，概率分别为 、、，呈对称分布。 （4）单场公平只保证「每一场双方胜率各半」，但「甲两战全胜」要求两场同时赢（ × = ），而乙、丙之间还要再赛一场互相牵制——多个 相乘与组合起来后，三人最终的夺冠、得分概率并不都等于 。单局的公平经过「组合」会催生不对称的整体格局，这是多步试验最有意思的地方。 本题的树状图有 8 支末端，每支 ，是「乘法 = 树状图每层分支相乘」的直观教材。 18.（1）甲盘红色占 、蓝色占 ；乙盘红、白各占 。两盘独立，按「比例配对」列出全部等可能组合：（甲红乙红） × = 、（甲红乙白）、（甲蓝乙红）、（甲蓝乙白），四种组合概率之和 + + + = 1 ✓。 （2）都红：P = × = 。 （3）恰好一个红：「甲红乙白」 × = ，「甲蓝乙红」 × = ，合计 = 。 （4）对立事件「都非红」=「甲蓝且乙白」= × = ，1 − = ？——与（3）的 矛盾，检查：「恰好一个红」的对立事件是「两个都不是恰好一个红」=「都红」或「都非红」。都红 ，都非红 ，故恰好一个红 = 1 − − = = ✓。两种算法一致。注意「恰好一个」的对立面有两支：全红与全非红，漏掉「全红」就会算出 的错值——这是「1 减对立」最容易翻车的地方。 19.（1）五球编号红₁红₂红₃白₁白₂，不放回按顺序共 5 × 4 = 20 种。同色：红内配对 3 × 2 = 6 种，白内配对 2 × 1 = 2 种，共 8 种，P = = 。 （2）异色 = 1 − = （也可直接数 12 种）。 （3）不公平：小明 ，小繁 。修改示例一（调分值）：同色小明得 3 分、异色小繁得 2 分，则长期平均每 5 局双方各得 2 分，公平；修改示例二（改分组）：只从「1 红 1 白」的子袋摸，同色异色各 ，天然公平。 （4）唯一标准是双方获胜概率相等，与谁摸、先摸后摸都无关。摸球人不同只是「谁享受哪个概率」，改变的是胜负归属而不是概率本身；公平性只看两个数字是否相等。 本题与第 16 题呼应：2 红 2 白时同色异色各半（公平），3 红 2 白就偏了——袋子的颜色配比直接决定公平与否。 20.（1）甲线合格频率 0.970，估计概率约 0.97。 （2）乙线 0.92。 （3）两件都合格（各抽各的、相互独立）：0.97 × 0.92 = 0.8924，约 0.89。 （4）甲线不合格概率约 0.03，月损失估计 = 20000 × 0.03 × 50 = 30000 元。 本题演示「频率 → 概率 → 乘法 → 决策」的完整链条：频率当概率用是有条件的（样本要大、条件要稳），工厂抽检 500 件已足够大。第（4）问把概率换成了钱，概率的用处立刻落地。 21.（1）3 × 3 × 3 = 27 种（每次 3 种可能、放回故每层同构）。 （2）三次都 2：仅 (2,2,2) 1 种，概率 。 （3）和为 6 的有序组合：(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1)、(2,2,2)，共 7 种，概率 。 （4）「三次同数字」是 (1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3) 共 3 种，概率 = 。和为 6 的 7 种里包含了 (2,2,2)，还多了 6 个「两两不同」的排列——同一个「目标之和」，包含的树枝数完全不同。想当然猜「和为 6 有 3 种」就错了 4 种；只有把 27 支树一根根数清（或按「先分组再排列」系统计数），概率才算得准。列树是笨办法，也是最可靠的笨办法。 27 支的三层树状图是本章最大的一棵树，画不动时可用「分组 + 排列」加速，但必须能还原到树枝级。 22.（1）①错误；②正确；③正确。 （2）①反例：袋中 2 红 1 白不放回，第一步摸红概率 ；若第一步摸走了红球，第二步摸红概率只剩 ——第二步的概率随第一步结果改变，绝不相同。正确说法：「放回时各步概率相同；不放回时第二步要用第一步发生后的新袋子计算」。 （3）「至少」的对立事件是把条件全部反着满足：至少一次红 ↔ 一次红都没有（全是白）。通用解法：P（至少…）= 1 − P（一个都不…）。例：掷硬币两次至少一次正面，直接数 ；用对立面 1 − P(反反) = 1 − = ，两条路同值。 三个说法覆盖「不放回的分步概率」「对立事件的翻译」「树状图的省略原则」，第③条「单分支可省」是画树的小技巧，省略不影响概率计算。 23.（1）给球编号：红₁红₂红₃白₁白₂，甲先乙后，共 5 × 4 = 20 种等可能。甲摸红：3 × 4 = 12 种，P = = 。 （2）乙摸红：分两种——甲红（3 种）后乙红（），3 × 2 = 6 种；甲白（2 种）后乙红（），2 × 3 = 6 种；合计 12 种，P = = 。 （3）两者相等，先摸不占便宜。原因：甲摸红球的概率是 ；乙「补位」时，袋子虽然变少，但「甲拿走的是红是白」恰好抵消——两种情况加权后仍 。直觉上的「先摸占便宜」是错觉，概率面前人人平等。 （4）推广验证：n 个球含 k 个红球，第一个概率 。第二个人：甲红（）后乙红 ，甲白（）后乙红 ，加权 = × + × = [k(k−1) + (n−k)k] / [n(n−1)] = k(n−1)/[n(n−1)] = 。本题 n = 5、k = 3， ✓。抽签不分先后，是概率论里最经典的「安慰」。 24.（1）x + y = 9：(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)，4 种，P = = 。 （2）x = y：(1,1) 到 (6,6)，6 种，P = = 。 （3）x > y 与 x < y 的情形一一对应（把有序对前后交换），所以概率相等。P(x>y) = P(x<y) = ÷ 36 = = ，两者之和 ，加上相等的 恰为 1。 （4）x ≥ y = x > y 加上 x = y： + = 。对称事件（把 x、y 互换后条件互换）概率必相等，于是「大于」与「小于」共享剩余概率的一半——先算相等的那部分，再对半分，比逐个数 15 种省力得多。 对称性是计数里的「捷径牌」：看见可以互换的条件，先想对称，再动手数。 25.（1）第一个抽签：P = 。前 5 人未中、第 6 人中：每次抽后放回搅匀，各次独立，P = ()⁵ × 。 （2）方案二每人被选概率都是 。 （3）方案一放回抽签下，每个人不管排第几个，被选中的总概率都 = Σ(前 k−1 次全空) × ，数学上恰好每人 ——顺序不影响总概率（与第 23 题抽签原理同源，只是这里放回）。两方案每个人机会均等，都公平。 （4）「第 k 人恰在第 k 次抽中」的概率 = ()^(k−1) × ，k 越小 () 的幂越接近 1，所以 k = 1 时最大，第一个抽签的人「当场抽中」的可能性最大。但注意：这不代表第一个人的「总被选概率」大——他当场抽中的概率大，而后开抽的人补中的机会也多，总概率人人 。 本题把「单次概率」与「总概率」分开，是抽签公平性的进阶课：当场中签的概率有先后之分，最终中签的概率人人平等。 26.（1）不换门：中奖概率就是最初选中汽车的概率 = 。 （2）树状图：汽车在 1 号（概率 ）——主持人开 2 或 3 号之一（都是空门），你换门必换成另一扇空门，不中；汽车在 2 号（）——主持人只能开 3 号，你换到 2 号，中奖；汽车在 3 号（）——主持人只能开 2 号，你换到 3 号，中奖。换门后中奖概率 = + = 。 （3）换门更有利：从 提高到 ，整整翻一倍。原因：主持人「知道答案、必开空门」这一动作，把你最初选错（）的情形全部转成了换门必中——换门的胜利恰恰继承了你第一次选错的大概率。 （4）若主持人随机开门：三种等可能情形里，汽车在 2 号时他可能开到 2 号（开出汽车，游戏终止）。在「没开出汽车」的剩余情形中重新计算，换门与不换的中奖概率都回到 ，优势消失。结论：三门问题的反直觉优势完全依赖「主持人知情且配合」这个前提——概率题先审「游戏规则由谁控制」，规则变了，答案跟着变。 三门问题是概率史上最有名的反直觉题，也是树状图威力的最佳广告：三根树枝一画，直觉的迷雾立刻散开。 四、作业实施建议 1. 使用时机。第三章新授课全部结束、单元复习课开课前一天发放，建议限时 60 分钟独立完成。本章的核心是「把结果数清」，适合当作计数规范诊断卷：重点看「树状图分支有没有画全」「放回不放回有没有分清」「『至少』类问题会不会用对立面」。 2. 分层布置。基础薄弱的学生做第 1—15 题（52 分），第 16 题必做；中等学生做第 1—21 题（100 分）；学有余力的学生全做，并把第 22、25、26 三题作为小组交流内容，要求讲清「抽签不分先后的证明」「三门问题的树状图」「主持人规则对结论的影响」。 3. 讲评重点。第 2、12、16、19 题讲树状图与列表的规范；第 4、13 题讲不放回的分层更新；第 7、15、22 题讲「至少」用对立面；第 8、21 题讲「和不是基本结果」；第 17 题讲单局公平与整体格局；第 23 题讲抽签不分先后的完整证明；第 24 题讲对称事件；第 26 题讲三门问题。 4. 典型错误归因。本卷失分集中在五处：一是基本结果数错（第 3、8、16、21、24 题，漏序、漏情形、把和当结果）；二是放回不放回混用（第 4、11、19、25 题）；三是「至少」类硬数不简化（第 7、15、22 题）；四是公平性凭感觉（第 16、17、19 题）；五是「1 减对立」漏对立面分支（第 18 题）。第一处靠「有序列举 + 乘积核对」，第二处靠「袋子变没变」的追问，第三处靠对立面翻译，后两处靠「只认概率数字」的铁律。 5. 评价建议。本作业按 100 分计，60 分以上为达标，85 分以上为优秀。除分数外建议记录三项过程性表现：一是「树状图分支是否与乘积核对」，二是「分步概率是否更新袋子」，三是「结论是否用概率数字支撑」。第三项最能反映概率素养。 6. 与后续章节的衔接。本章的树状图与列表在九年级下册「统计与概率的综合运用」中直接复用；「分步概率相乘」是高中独立事件乘法公式的雏形；三门问题、抽签公平性是条件概率与期望思想的最早预演。本章也是初中概率的收官章，中考概率大题的「树状图 + 公平性 + 决策」三段式与本卷第 17、19、20 题一一对应。 五、附录　本章知识结构与易错清单 本附录供教师在讲评课与单元复习课使用，也可印发给学生作自查表。整理的是本章的概念层级与高频错误，与本卷题目一一对应，括号内标出了对应的题号。 （一）知识结构 1. 树状图与列表。两步试验的等可能结果全部展开；总结果数 = 各步结果数之积。（第 1、9、12、16 题） 2. 放回与不放回。放回各步同构；不放回逐层更新。（第 4、11、13、16、19、22、23 题） 3. 「至少」类事件。对立面翻译：至少一次 = 1 − 一次都没有。（第 7、15、22 题） 4. 复合条件与对称。「和为 k」「x > y」等条件的系统计数；对称事件概率相等。（第 3、8、21、24 题） 5. 频率估计概率。大数次试验频率稳定；无理论公式时用它估计。（第 5、10、14、20 题） 6. 公平性。双方获胜概率相等即公平；可调分值或分组拉平。（第 16、17、19、26 题） 7. 实际决策。概率 × 单件损失 = 期望损失；概率用于选方案。（第 20、25 题） 8. 反直觉问题。三门问题：规则由谁控制决定概率走向。（第 26 题） （二）高频易错清单 错误表现 正确做法 把「和」「积」当基本结果 基本结果是有序对，用 6 × 6 = 36 这类乘积核对 「一正一反」只算一种 （正反）与（反正）是两种结果 不放回第二步概率不变 袋子少了一个球，分母分子都要更新 树状图漏分支 分支总数 = 各步结果数相乘，画完先核对 「至少」逐条硬数 用 1 减对立面，且确认对立面唯一完整 「恰好一个」的对立面漏「全都有」 对立 = 全没有 + 全都有，两个都要减 先摸的人占便宜（错觉） 不放回抽签人人概率相同，可加权证明 频率波动当成概率变化 频率围绕概率波动，理论值不变 公平性看规则顺不顺眼 只看双方获胜概率是否相等 三门问题不审主持人规则 「知情开门」才有 ，随机开门回到 概率超过 1 的计算结果不复查 概率必须在 0 到 1 之间，越界必是算错 设计方案不验算目标概率 设计完必须检验结果比是否恰为目标值 六、命题双向细目表 本表供教师备课与命题分析使用，逐题列出考查内容、能力层级与预估难度。能力层级按「了解—理解—掌握—应用—综合—探究」六级划分，难度分为易、中、难三档。 题号 题型 分值 考查内容 能力层级 难度 1 单选 3 树状图列表的目的 了解 易 2 单选 3 两枚硬币的概率 掌握 易 3 单选 3 两枚骰子积为 6 掌握 中 4 单选 3 不放回摸球 掌握 中 5 单选 3 频率估计概率 掌握 易 6 单选 3 两步转盘独立 掌握 易 7 单选 3 至少一次正面 理解 中 8 单选 3 等可能性的判断 理解 中 9 多选 4 计数原则 理解 中 10 多选 4 频率与概率的深化辨析 理解 中 11 多选 4 放回不放回的结构对比 理解 中 12 填空 4 列表法计算 掌握 易 13 填空 4 不放回摸牌 掌握 中 14 填空 4 频率表估计与预测 应用 中 15 填空 4 三步试验 综合 中 16 解答 8 不放回树状图与公平性 综合 中 17 解答 8 单循环赛的胜负树 综合 难 18 解答 8 双转盘与对立面完整性 综合 中 19 解答 8 游戏公平性与规则修改 综合 中 20 解答 8 频率估计与损失决策 应用 中 21 解答 8 三步 27 支树与系统计数 综合 难 22 附加 4 分步概率与对立面诊断 评价 中 23 附加 4 抽签不分先后的证明 综合 难 24 附加 4 对称事件的省力计数 综合 中 25 附加 4 抽签方案的概率探究 探究 难 26 附加 4 三门问题与规则前提 探究 难 难度分布。易 9 题、中 12 题、难 5 题，难度重心落在基础与中等层次。作为单元整合作业，基础题给足得分面，难题集中在「27 支树」「抽签证明」「三门问题」三处。 知识覆盖。本章八个知识点均被覆盖：树状图与列表（1、9、12、16）、放回与不放回（4、11、13、16、19、22、23）、「至少」类事件（7、15、22）、复合条件与对称（3、8、21、24）、频率估计（5、10、14、20）、公平性（16、17、19、26）、实际决策（20、25）、反直觉问题（26）。计数工具、概念辨析、实际应用三类任务并重，符合本章「会画、会数、会决策」的能力要求。 七、答题卡 本卡供学生作答与教师批改使用，可单独印制。客观题只填结果，解答题需附树状图或列表的描述。 （一）客观题作答栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案                 题号 9 10 11 12 13 14 15 备注 答案                 （二）主观题作答区 第 16 题　得分　　　　 第 17 题　得分　　　　 第 18 题　得分　　　　 第 19 题　得分　　　　 第 20 题　得分　　　　 第 21 题　得分　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $