第二章 一元二次方程（单元自测）数学新教材北师大版九年级上册

第二章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 2．若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（ ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．关于方程的描述，下列说法错误的是（ ） A．它是一元二次方程 B．用因式分解法解此方程最适宜 C．它有两个不相等的实数根 D．解方程时，方程两边先同时除以 5．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 7．小伟和小谦分别解一道关于x的一元二次方程，小伟因把一次项系数看错，解得方程两根为和6，小谦因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程可能是（ ） A． B． C． D． 8．某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润．已知第一年的利润率为x，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率为，这样第二年净得利润112万元，可求得第一年的利润率x为（ ） A．10% B．11% C．12% D．13% 9．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 10．山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶．若设每瓶沙棘汁降价元，且超市想通过销售该种沙棘汁获得630元的销售收入，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．已知1人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为121人，则平均每人每轮感染________人． 12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 13．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 14．已知，，为三角形的三边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是________三角形． 15．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 17．（9分）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ 18．（9分）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 19．（9分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的面积等于? （2）的面积能否等于?说明理由． 20．（9分）已知：实数满足． （1）求证：； （2）若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； （3）若，，，求的值． 21．（10分）某商店销售一款水彩笔，每套的最低售价为12元．若按最低价销售，则每天可卖出30套；若每套的售价提高1元，则日销量将减少2套．要使该商店每天销售这款水彩笔的销售收入为364元，应将售价定为每套多少元？请根据题意列出一元二次方程，并化为一般形式． 22．（10分）若方程是一元二次方程，求m的值． 23．（10分）根据欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 小明同学积极思考其中的原理，并做出如下分析： 在中，，，则 ， ① ． 当时， ② ， 的长就是所求方程的正根． （1）请把所缺的内容补充完整； （2）利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，求的值； （3）如图，利用以上方法解关于的一元二次方程时，过点作矩形，使得点，，分别落在，，上，发现，求与之间的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，进行判断即可． 【解析】∵， ∴， ∴方程有两不相等实数根； 故选C． 2．若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设较小的正偶数为，则较大的为，根据积为列出方程，解一元二次方程求出，再计算两数之和； 【解析】设较小的正偶数为，则较大的为， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴ 两个正偶数为和， ∴ 和为； 故选B 3．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据判别式与的大小关系，即可判断方程根的情况. 【解析】对于一元二次方程， 可得，，， ， 方程有两个不相等的实数根.故选A． 4．关于方程的描述，下列说法错误的是（ ） A．它是一元二次方程 B．用因式分解法解此方程最适宜 C．它有两个不相等的实数根 D．解方程时，方程两边先同时除以 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据相关知识点逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解析】∵将方程整理得， ∴它是一元二次方程，故选项说法正确，不符合题意； ∵方程左右两边都有这个因式， ∴用因式分解法解此方程最适宜，故选项说法正确，不符合题意； ∵在方程中，， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项说法正确，不符合题意； ∵当时，方程两边不能同时除以，否则会漏解，故选项说法错误，符合题意； 故选． 5．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解，本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：掌握根的判别式与一元二次方程的根的关系． 【解析】由，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根，选项符合题意， 故选． 6．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确一元二次方程的标准形式及各项要求求解即可． 【解析】∵方程是分式方程， ∴选项A不符合题意， ∵当时，的二次项系数为0， ∴选项B不符合题意， ∵展开化简得，是一元一次方程， ∴选项C不符合题意， ∵方程是一元二次方程， ∴选项D符合题意．故选D． 7．小伟和小谦分别解一道关于x的一元二次方程，小伟因把一次项系数看错，解得方程两根为和6，小谦因把常数项看错，解得方程两根为3和4，则原方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设原一元二次方程为， ∵小伟仅看错一次项系数，常数项正确， ∴， ∵小谦仅看错常数项，一次项系数正确， ∴，即. ∴原方程为．故选D． 8．某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润．已知第一年的利润率为x，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率为，这样第二年净得利润112万元，可求得第一年的利润率x为（ ） A．10% B．11% C．12% D．13% 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是利用本金×利润率=利润列式解一元二次方程． 第一年的利润率为，则第一年的利润为，第二年的利润率为，由题意列方程即可得出结论． 【解析】根据题意可知：第一年的利润为万元，第二年的利润率为，利润为万元， 则可得方程:， 解得，（舍去） 故选C． 9．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（ ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断①正确；先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断②正确；先根据一元二次方程根的定义可得，再将将代入可得，由此即可判断③正确；根据一元二次方程根的定义可得，则可得或，说法④错误；由此即可得出答案． 【解析】∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程一定有两个不相等的实数根；说法①正确； ∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程没有实数根；说法②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 将代入得：， ∴是方程的一个根；说法③正确； ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，则说法④错误； 综上，正确的是①②③， 故选B． 10．山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶．若设每瓶沙棘汁降价元，且超市想通过销售该种沙棘汁获得630元的销售收入，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列方程解应用题，代数式的表示及对实际问题的理解和分析．先分析降价x元后的售价，再分析降价x元后的销售量，最后根据“销售收入=售价×销售量”列出方程即可． 【解析】设每瓶沙棘汁降价x元，则降价后的售价为元， ∵当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，且售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶， ∴现在每瓶降价x元，则降价的次数为次， 每次多销售5瓶，则多销售的瓶数为瓶， ∴降价x元后的销售量为瓶， ∴根据题意可列方程为， 故选B． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．已知1人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为121人，则平均每人每轮感染________人． 【答案】 【分析】设平均每人每轮感染人，根据传染规律得到两轮传染后总患病人数的表达式，列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【解析】设平均每人每轮感染人， ∵初始有人患病， ∴第一轮传染后，总患病人数为人， 第二轮传染中，每名已患病的人会再感染人，因此第二轮新增名患者， ∴两轮传染后的总患病人数为， 根据题意列方程得 解得，， ∵感染人数不能为负数， ∴舍去， 因此平均每人每轮感染人．故答案为$10$． 12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义和的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【解析】∵关于x的一元二次方程即有两个不相等的实数根， ∴且，即， 解得且， ∴的取值范围为． 故答案为． 13．已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程定义得二次项系数不为0，再结合无实数根的条件，利用根的判别式小于0求解即可． 【解析】∵方程没有实数根， ∴ 解得， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴的取值范围是．故答案为$a> 2$． 14．已知，，为三角形的三边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么这个三角形一定是________三角形． 【答案】等腰 【分析】由一元二次方程的定义可得二次项系数不为，由方程有两个相等的实数根可得判别式等于，整理得到，，的数量关系，据此判断三角形的形状. 【解析】∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴ ， 对判别式整理得： ， 两边同时除以得： ， 合并同类项得： ， 因式分解得： ， 即 ， 因此可得 或 ， 结合 ，可知三角形至少有两边相等， 故这个三角形是等腰三角形. 故答案为等腰． 15．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】4 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，整理变形后即可求出的值． 【解析】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∵， ∴．故答案为4． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． （1）依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； （2）赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】（1）正确 （2）10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【解析】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 17．（9分）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ 【答案】金色纸边的宽应是1分米． 【分析】设金色纸边的宽应是x分米，根据整个挂图的面积是80平方分米列方程求解． 【解析】设金色纸边的宽应是x分米， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去） 答：金色纸边的宽应是1分米． 18．（9分）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 【答案】该家庭微信群一共有10人． 【分析】以总收到红包数为等量关系，结合每人发出的红包数比总人数少1，列一元二次方程求解． 【解析】设该家庭微信群一共有人． 每人不能抢自己发的红包，且群内其他微信群成员能收到自己发的红包， 每人发出个红包． 群内共人， 总发出红包数为个． 总收到红包数等于总发出红包数，且总收到90个红包， ． 整理得． 因式分解得， 解得，． 为正整数， 不符合题意，舍去． ． 答：该家庭微信群一共有10人． 19．（9分）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的面积等于? （2）的面积能否等于?说明理由． 【答案】（1）1 秒，2 秒 （2）不能，理由如下： 的总面积：， 在内部，其面积一定小于或等于，， 面积不可能达到． 【分析】（1）设运动时间为秒，写出与的代数式，利用直角三角形面积公式列出一元二次方程，解方程并检验在范围内，得到 1 秒和 2 秒． （2）先算出大三角形面积只有，小于，说明面积不可能等于． 【解析】（1）解： 从到总时间：秒， ． 运动秒后：，，． ， ． 即 解得 ，． 检验：， 都满足 ，符合题意． 答： 1 秒和 2 秒后，面积等于． （2）略． 20．（9分）已知：实数满足． （1）求证：； （2）若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由； （3）若，，，求的值． 【答案】（1）解：∵实数m满足， ∴关于m的方程有解， ∴， ∴ （2）解：无整数根， 理由如下：假设有整数根，若m为奇数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； 若m为偶数时， ∵a，b都是奇数， ∴为奇数，与相矛盾； ∴假设错误， 综上所述，方程无整数根； （3） 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可得证； （2）利用反证法求解即可； （3）先证明出m、是方程的两根，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，代入计算即可得解． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：若，，则， ∵， ∴， ∴m、是方程的两根，    ∴，， ∴． 21．（10分）某商店销售一款水彩笔，每套的最低售价为12元．若按最低价销售，则每天可卖出30套；若每套的售价提高1元，则日销量将减少2套．要使该商店每天销售这款水彩笔的销售收入为364元，应将售价定为每套多少元？请根据题意列出一元二次方程，并化为一般形式． 【答案】，化为一般形式为． 【分析】设应将售价定为每套元，根据题意表示出日销量，根据销售收入即可列方程． 【解析】设应将售价定为每套元， 根据题意得， 整理得． 22．（10分）若方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】 【解析】∵方程是一元二次方程， ∴且， 解方程得： （舍去），， ∴m的值是3． 23．（10分）根据欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 小明同学积极思考其中的原理，并做出如下分析： 在中，，，则 ， ① ． 当时， ② ， 的长就是所求方程的正根． （1）请把所缺的内容补充完整； （2）利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，求的值； （3）如图，利用以上方法解关于的一元二次方程时，过点作矩形，使得点，，分别落在，，上，发现，求与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2） （3） 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法和勾股定理的应用，解决本题的关键是理解图解法的含义和构造直角三角形， （1）直接代入计算即可， （2） 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． （3）先证明，设，可得，再设，用表示出各线段长，利用勾股定理列方程求出值即可． 【解析】（1）解：在中，，，则， ． 当时， ， 的长就是所求方程的正根． 故答案为；； （2）解：根据题意，构造以和为两直角边长作，再在斜边上截取，如图所示： ， ，即就是的一个正根， ， 解得（负值已舍去）； （3） 解：设，即，即， ∵矩形， ∴，， 又，，， ∴， ∴， 设，则， ， ， ， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， （负值，不合题意舍去)， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $