第一章 特殊平行四边形（单元自测）数学新教材北师大版九年级上册

第一章 特殊平行四边形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【解析】A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选A． 2．顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（ ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】A 【分析】本题考查中位线，特殊四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握中点四边形的特征是解题的关键．分别画出图形，利用中位线依次证明即可． 【解析】A中，∵如图，四边形是矩形， ∴不一定垂直于， ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵不一定垂直于， ∴不一定垂直于， ∴四边形不一定是矩形； 故选项A符合题意； B中，∵如图，四边形是正方形， ∴， ∵、、、分别为、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 故选项B不符合题意； C中，如图，四边形是菱形，同选项B可得四边形是矩形； 故选项C不符合题意； D中，如图，四边形中，，同选项B可得四边形是矩形； 故选项D不符合题意； 故选A． 3．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【解析】A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选D． 4．下列判断错误的是（ ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】略故选D． 5．如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，证明四边形是菱形；设的交点为O，利用勾股定理，菱形的面积解答即可． 【解析】∵两张等宽度的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴． 过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∵在和中 ∵， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设的交点为O， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， 故纸条的宽度是．故选C． 6．如图，在矩形中，对角线，交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角和的性质，掌握矩形的性质得到，运用三角形外角的性质计算是解题的关键． 根据矩形的性质可得，由等边对等角得到，因为是的外角，所以根据三角形外角和的性质即可求解． 【解析】∵四边形是矩形，对角线，交于点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故选C ． 7．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 【解析】四边形是矩形， ， ， 将矩形沿折叠， ， ， ， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得， ， ．故选B． 8．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，添加一个条件，使得四边形成为矩形（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，逐项判断即可． 【解析】、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形，符合题意； 、不能判定四边形是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，不符合题意．故选B． 9．如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设折叠后点与对角线上的点重合，连接，根据矩形的性质及勾股定理求出，根据折叠性质得出，，，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理，列方程求出的值，即可得出答案． 【解析】如图，设折叠后点与对角线上的点重合，连接， ∵矩形纸片中，，， ∴，， ∵折叠纸片使边与对角线重合，折痕为， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为．故选C． 10．如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件：，，，．上述条件能使菱形是正方形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，根据菱形的性质，正方形的判定逐一判断即可，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键． 【解析】∵四边形是菱形， ∴，故不能判定菱形是正方形； ∵， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； 综上：能判定菱形是正方形， 故选． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【解析】∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为60． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，则菱形的面积为________． 【答案】120 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 利用勾股定理求出，可得的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【解析】∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为120 13．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为________． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，根据翻折的性质得出相等的角和边，然后利用勾股定理求出相关线段的长度，分三种情况进行讨论求解． 【解析】∵四边形为矩形， ∴， 根据翻折的性质可得，，， 由勾股定理得，． ①当时，此时，点落在对角线上， ， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， 即； ②当时，此时，点落在上， ∵， ∴不存在，舍去； ③当时，如图所示， ∵， ∴， 即点在线段上， ∴四边形是矩形， ∴； 综上，的长为或．故答案为或． 14．在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件：①处可填，②处可填，③处可填，④处可填，则其中条件添加错误的是________． 【答案】①③ 【分析】依据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，依次判断①②③④给出的转化条件是否成立，找出错误条件． 【解析】①平行四边形→菱形：平行四边形本身对边就满足，不能判定为菱形；需要一组邻边相等（如），故①错误． ②菱形→正方形：菱形有一个内角是直角即为正方形，，，满足判定，故②正确． ③平行四边形→矩形：平行四边形对角线相等或有一个角为直角才是矩形；是菱形的判定条件，故③错误． ④矩形→正方形：矩形一组邻边相等即为正方形，，满足判定，故④正确． 所以条件添加错误的是．故答案为①③． 15．如图，在菱形中，，对角线，于点E，则的长为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【解析】如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴故答案为$\frac{120}{13}$． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求． 【答案】（1） 解：∵菱形的对角线和交于点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可解决问题； （2）根据菱形的性质和勾股定理可以解决问题． 【解析】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ． 17．（9分）计算、证明： （1）计算：； （2）如图，在矩形中，，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）先算乘方与绝对值，再算加减． （2）证（ ），根据全等三角形的性质，即可得证． 【解析】（1）解：原式 ． （2）略． 18．（9分）如图，四边形是矩形． （1）请用尺规作图法，在矩形的边和上分别找一点E、F使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）已知，．求菱形的面积． 【答案】（1） 菱形即为所求： （2）20 【分析】（1）连接，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、，则菱形即为所求； （2）根据菱形的性质得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用菱形的面积公式即可求解． 【解析】（1）解：如图，连接，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、， 由作图可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴菱形即为所求； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． （1）________，________，________，________（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为________时，能够使四边形成为菱形． 【答案】(1)，，， （2） （3）单位/秒 【分析】（1）根据点的运动速度和即可求出结果． （2）矩形中，即，一组对边平行，只需满足，四边形就是平行四边形． （3）菱形需要两个条件：①首先是平行四边形（ ）；②邻边相等，矩形竖直距离固定，利用勾股定理求出边长等式，联立求解速度． 【解析】（1）解：矩形，，， ，， （5），，． 又动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动， ，，，． （2）解：四边形是矩形， ，即． 则当时，四边形是平行四边形． ， ， ， 当时，四边形是平行四边形． （3）解：设点运动速度为每秒个单位长度， 则，，． 满足平行四边形：，①； 满足邻边相等：，，，由勾股定理： ， 则②； ， ， 解得， 代入①中有， ， 当的速度为单位/秒时，能够使四边形成为菱形． 20．（9分）同学在学习矩形时，发现了矩形的一些神奇性质，如图1，P为矩形内任意一点，之间存在一种特殊的数量关系：，同学们发现勾股定理就可以快速证明出来如图2； （1）若点P在矩形外部，以上结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （2）若如图3，点P在正方形内，若，则________； （3）如图4，中，E为内部一点，且，，且，求的最小值． 【答案】（1） 解：成立，理由如下： 如图， 过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N， ， 由勾股定理得， ，，，， 又 四边形ABCD为矩形， 四边形AMNB、四边形DMNC为矩形， ，， ，， ，仍然成立； （2） （3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）过点P作MN垂直于AD、BC，垂足分别为M、N，又勾股定理得到边之间的关系，再根据四边形、四边形为矩形，等量代换边，进而得到结论； （2）连接，根据题意得，代入相关数据计算得到结论； （3）以为边作矩形，连接，由题意得，，计算得出的值，当O、E、F三点共线时，最小，即最小，计算得出结果即可． 【解析】（1）略 （2）解：连接， 由题意得，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， 以为边作矩形，连接， ， 由题意得，， ∵，，， ， 解得， 当O、E、F三点共线时，最小，即最小， 的最小值的最小值． 21．（10分）阅读材料，并完成相应的任务． 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． （1）任务一： 这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是________（填字母序号即可） A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．公理化思想 （2）任务二： 根据上述材料请你用几何方法求方程的正数解，要求如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． 画出图形： ②根据①所画图形直接写出方程的正数解为________． （3）任务三： 如图2，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．则原矩形最长边的长度为________． 【答案】（1）B （2）①；② （3）6 【分析】（1）利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而确定答案； （2）①由可得，画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形；②仿照题干中的求解方法计算即可； （3）设原矩形最长边的长度为，另一边的长度为，根据正方形的面积公式可得，可推出；根据矩形的面积公式可得，可推出，进而得到，解方程即可得到答案． 【解析】（1）解：由题意得，这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想； （2）解：①见答案； ②图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为4的小正方形面积之和，即； 得新方程． 因为表示边长， 所以，即． （3）解：设原矩形最长边的长度为，另一边的长度为， ∴外围的大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∵大正方形面积与内部小正方形面积之和为104， ∴， ∴， ∴； ∵将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得或（此时n比m大，不符合题意）， ∴原矩形最长边的长度为6． 22．（10分）如图，是正方形的对角线上两点，．连接．    （1）判断四边形的形状，并证明． （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）四边形是菱形， 证明：四边形是正方形，为对角线， ，， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， ， 四边形是菱形； （2）四边形的周长为 【分析】（1）由正方形的性质可得，，通过证明，可得到，即可得到结论； （2）连接与相交于，根据题意可得，根据菱形的性质即可求出，从而即可得到答案． 【解析】（1）略 （2）解：连接与相交于，如图所示：   ，，， ， 四边形是菱形， ，， ， 四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定与性质、三角形全等的与性质是解题的关键． 23．（10分）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．    【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________； 【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长； 【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想； 【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长． 【答案】探索发现：． 特例计算：与的长均为； 推理证明：证明：如图2，作交于点L，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 拓展运用：的长是． 【分析】探索发现：观察图形并且测量线段、的长度，再猜想与的数量关系即可； 特例计算：如图1，连接，求解，，，结合，可得，可得是的中位线，再进一步求解即可； 推理证明：如图2，作交于点L，则，证明，，证明即可； 拓展运用：如图3，连结交于点P，证明垂直平分，连接、，，证明A、E、三点在同一条直线上，四边形是菱形，再进一步解答即可； 【解析】探索发现： 解：观察图形并且测量线段、的长度，得， ∴猜想与的数量关系是， 故答案为． 特例计算： 解：如图1，连接，    ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴与的长均为． 推理证明： 略 拓展运用： 解：如图3，连结交于点P，    ∵点与点G关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接、，， ∵，， ∴， ∴， ∴A、E、三点在同一条直线上， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H到的距离是的2倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 【点睛】本题考查的是四边形的综合题，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，三角形中位线的性质的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 2．顺次连接下面四边形各边的中点，所得的新四边形不是矩形的是（ ） A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 3．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 4．下列判断错误的是（ ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 5．如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（ ） A． B．5 C． D． 6．如图，在矩形中，对角线，交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 8．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，添加一个条件，使得四边形成为矩形（ ） A． B． C． D． 9．如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件：，，，．上述条件能使菱形是正方形的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 12．如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，则菱形的面积为________． 13．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为________． 14．在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件：①处可填，②处可填，③处可填，④处可填，则其中条件添加错误的是________． 15．如图，在菱形中，，对角线，于点E，则的长为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求． 17．（9分）计算、证明： （1）计算：； （2）如图，在矩形中，，求证：． 18．（9分）如图，四边形是矩形． （1）请用尺规作图法，在矩形的边和上分别找一点E、F使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） （2）已知，．求菱形的面积． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． （1）________，________，________，________（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为________时，能够使四边形成为菱形． 20．（9分）同学在学习矩形时，发现了矩形的一些神奇性质，如图1，P为矩形内任意一点，之间存在一种特殊的数量关系：，同学们发现勾股定理就可以快速证明出来如图2； （1）若点P在矩形外部，以上结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （2）若如图3，点P在正方形内，若，则________； （3）如图4，中，E为内部一点，且，，且，求的最小值． 21．（10分）阅读材料，并完成相应的任务． 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． （1）任务一： 这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是________（填字母序号即可） A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．公理化思想 （2）任务二： 根据上述材料请你用几何方法求方程的正数解，要求如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． 画出图形： ②根据①所画图形直接写出方程的正数解为________． （3）任务三： 如图2，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．则原矩形最长边的长度为________． 22．（10分）如图，是正方形的对角线上两点，．连接．    （1）判断四边形的形状，并证明． （2）若，求四边形的周长． 23．（10分）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．    【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________； 【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长； 【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想； 【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $