第一章 特殊平行四边形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦特殊平行四边形，精选多地区期末真题，覆盖菱形、矩形、正方形的性质与判定，通过分层设计与真实情境（如石家庄火车站吊灯几何问题）提升几何直观与推理能力，适配九年级上册第一章单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形角度计算、矩形性质应用、正方形综合|结合折叠（题10）、尺规作图（题10）考查空间观念| |填空题|6/18|菱形面积公式、正方形动态问题、矩形折叠|题14以翻折中点为切入点，强化几何直观| |解答题|9/72|菱形判定（题21）、矩形与直角三角形综合（题23）、正方形探究（题24）|题21联系火车站吊灯设计，体现应用意识；题25设置多问探究，发展推理能力与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级下·河南焦作·期末）如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于，于，连接．若，，则的长不可能等于（   ） A．5 B． C． D．6 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知：如图，在中，是中线，的交点，G，H分别是，的中点，连接，，，，． ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是矩形； ③若，则四边形是菱形； ④若，，则四边形是正方形 上述四个结论中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）如图，已知正方形的边长为12，点是边上一点，在边的延长线上取一点，使，连接，，与交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 12．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，分别为，的中点，点在线段上，，，，则的长是_______． 14．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为______． 15．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期末）在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·重庆永川·期末）已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． (1)求的度数； (2)求矩形纸片的面积． 18．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，为矩形一边的中点，垂直平分，分别交，于，两点，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的长． 19．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形： (2)若，求长． 20．（18-19八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，为的中点，，求四边形的周长． 22．（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求的面积． 24．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 25．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，连接、、， 求证：①； ②是等边三角形． (3)若，，，是中点，直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴． 2．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，根据矩形的性质推出，，再结合，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，即，． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得，，，进而求出和的度数，利用等腰三角形性质求出和，最后利用三角形内角和求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 同理， 在中，，， ∴， 同理， ∴，， 在中，． 5．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得点是的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】在菱形中，为对角线与的交点， 是的中点， 为边上的高， ， 在中，是斜边上的中线， ． 6．（25-26八年级下·河南焦作·期末）如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点M作于点E，根据正方形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于点E， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 7．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于，于，连接．若，，则的长不可能等于（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【分析】证明四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到时最短，勾股定理求出的长，等积法求出的最小值，进行判断即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点P为斜边上一动点， ∴当时最短， 由勾股定理，得：， 当时，则：，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长不可能为． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知：如图，在中，是中线，的交点，G，H分别是，的中点，连接，，，，． ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是矩形； ③若，则四边形是菱形； ④若，，则四边形是正方形 上述四个结论中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再结合矩形、菱形、正方形的判定定理，对各个结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∵G，H分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∵是中线，的交点， ∴，， 是中线的一部分， 若，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴（等腰三角形三线合一）， ∵F，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，故②正确； ∵是的中位线， ∴， 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③正确； 若，， 由③可知四边形是菱形， 由②可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故④正确． 综上，正确的结论有4个． 9．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）如图，已知正方形的边长为12，点是边上一点，在边的延长线上取一点，使，连接，，与交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作交于点H，则，证明是等腰直角三角形，设，则，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过E作交于点H，则， 正方形的边长为12， ，，， ∴，是等腰直角三角形，， ， 设，则， ∵， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，垂直平分线的性质，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定及性质，菱形的面积公式以及三角形外角的性质判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，故①正确， 如图，设与交于点，   ， 由题意得垂直平分， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确， ，， ，故③错误， ， ， ，故④正确， 综上所述，①②④正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 【答案】 【分析】利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 12．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 【答案】/25度 【分析】根据菱形的性质求出的度数和，根据正方形的性质求出的度数和，从而得到和的度数，最后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解 ． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，， ． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，分别为，的中点，点在线段上，，，，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线得，继而得到，，然后再利用勾股定理得到，求解即可． 【详解】解：，分别为，的中点， ，， ， ， 为的中点，，， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】由菱形性质可知为等边三角形，且为中点，所以并可算出，设，则，翻折得，又因可得，最后在中利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵点M恰好为边的中点， ∴， 在中，， 设，则， ∵沿翻折得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 15．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】连接，，，先证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，利用等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， ． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期末）在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】由矩形的性质和勾股定理可得，，再分点在上运动和点在上运动两种情况，利用勾股定理表示出的长，再结合的长为整偶数即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵点是折线上的动点(且点不与点重合)， 当点在上运动时，如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整偶数， ∴或， 当时，解得或（不合题意，舍去）； 当时，解得或（不合题意，舍去）； ∴的长为或； 当点在上运动时，如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵的长为整偶数， ∴或， 当时，解得， 当时，点和点重合，此时； 当时，解得或（不合题意，舍去）， 当时，和点重合，此时； 综上，的长是或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·重庆永川·期末）已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． (1)求的度数； (2)求矩形纸片的面积． 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2) 【分析】（1）利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等，结合折叠前后对应角相等的性质，可推导的度数，再利用平角为的性质计算的度数． （2）先在直角三角形中，结合的度数与的长度，利用直角三角形的边角关系求出和的长度．然后根据折叠的性质得到对应边相等，可知与长度相等，再求出的长度，再根据矩形面积公式计算矩形的面积． 【详解】（1）解：∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴． 根据折叠性质，折叠前后对应角相等， ∴． ∴． 在中，． （2）解：∵，，， ∴． 由勾股定理得：​． 根据折叠性质，得， ∴． ∴矩形面积​． 18．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，为矩形一边的中点，垂直平分，分别交，于，两点，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：在矩形中，是的中点， ，，， ， ， 垂直平分， ， ， 为等边三角形； (2) 【分析】（1）根据已知证明，证得，利用垂直平分线的性质证得，即可证得为等边三角形； （2）连接，证明，推出，结合等边三角形的性质、矩形的性质求得，进而证得，根据勾股定理求出，即可得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， 由（1）知，， ， 垂直平分， ，， ， ， ，，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ． 19．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形： (2)若，求长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形． (2)3 【分析】（1）由菱形性质，是的中线，得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到即可得证； （2）取中点，连结，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，，进而得到，再证明，根据全等三角形性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：取中点，连结，如图所示： ∵是的边的中线，则是的中点， 是的中位线， ∴，， ∴， 是的中点， ， 在和中， ， ∴． 20．（18-19八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴，． 在和 中， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为矩形对边平行，所以可得内错角相等，结合已知，可通过证明 和全等，得到． （2）连接，因为等腰三角形 中，所以根据等腰三角形三线合一可得，结合（1）可知，，根据斜边上的中线等于斜边的一半，则有，进而得到 ．结合，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出的度数．最后结合勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴ ，即． 设 ，则， ∴ ， 即， ， ∴ ． ∵四边形是矩形，， ∴，， 由得，即是矩形对角线 的中点， ， ∴ ，即． 在中，，即， 解得，即． ∵， ∴， 由勾股定理得：． 21．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）根据菱形的性质，得到，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据勾股定理求得，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是菱形，， ， 在中，为的中点， ， 在中，， ， 四边形为菱形， 菱形的周长为． 22．（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴． 【分析】（1）由矩形的性质、勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质即可求解； （2）证明得，利用得，利用线段垂直平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵为的中点，， ∴． （2）证明：略． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵在中，，是边的中线， ∴，， ∴， ∵为的外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据矩形的性质求出，进而根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的中线，， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 24．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点作于点，作于点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴（角平分线的性质定理）， 又∵，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，作于点，证出，则，再根据正方形的判定即可得证； （2）先求出，再得出点与点重合，则，然后得出即可； （3）分两种情况：①当线段与正方形的边的夹角是时，即，②当线段与正方形的边的夹角是时，即，利用正方形和矩形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∴， 又∵过点作，交射线于点， ∴如图2，此时点与点重合，则， 由（1）已证：四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：①如图3，当线段与正方形的边的夹角是时，即， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，； ②如图4，当线段与正方形的边的夹角是时，即， 设与交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 即； 综上，的度数为或． 25．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，连接、、， 求证：①； ②是等边三角形． (3)若，，，是中点，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， 由（1）得，四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． (3) 【分析】（1）根据角平分线证明，进而证明四边形平行四边形，进而即可求证； （2）①由（1）得，四边形是菱形，进而判定是等边三角形，即可解答；②根据题意，，进而判定是等边三角形； （3）连接，，，判定四边形是矩形，进而判定四边形是正方形，进而证明，证明是等腰直角三角形，从而求解； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∵平分， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴； 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章特殊平行四边形能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B ⊙ B 0 A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.61 12.25°/25度 13.33 14.4 15.12 16. 27或8或10 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分， 共9小题，共72分) 17. 【详解】(I)解：：四边形ABCD是矩形， .ADIIBC,∠A=90°， ∴.∠2=∠1=60° 根据折叠性质，折叠前后对应角相等， .∠BEF=∠DEF=∠2=60° ∴.∠AEF=180°-∠BEF-∠DEF=180°-60°-60°=60°. 在RteABE中，∠3=90°-∠AEB=90°-60°=30°.3分 (2)解：∠A=90°，∠3=30°，AE=4, .'BE=2AE=8. 由勾股定理得：MB=VBE-AE=V82-伞=4V5 根据折叠性质，得DE=BE=8, 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=AE+DE=4+8=12」 ∴矩形面积S=4B:AD=45x12=485 6分 18. 【详解】(I)证明：在矩形ABCD中，M是AB的中点， .AD=BC,AM=MB,∠DAM=∠CBM=90°， ∴.△ADM≌△BCM(SAS) .DM=CM, :DE垂直平分CM, .DC=DM, .DC=DM=CM, ∴△MCD为等边三角形：3分 (2)解：如图，连接ME, E 四边形 是矩形， B ABCD .DC=AB,∠DCB=90°， 由(1)知，DC=CM, .AB=CM. :DE垂直平分CM, :.MF=1C 2 1，∠MFE=∠MBE=90, :MB=AM=14B 2 .MB=MF, ME=ME,MB=MF,∠MBE=∠MFE=9O°， :.RtAMBES≌Rt△MFE(HL) :BE=EF, 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△MCD为等边三角形， ∴.∠MCD=60° .∴∠ECF=∠DCB-∠MCD=30°， .CE =2EF, .CE =2BE. 1 BE-3BC, 在Rt△BCM中，AB=4, .BM=2,CM=4, .BC=CM2-BM2=42-22=23 E-fc-f 2v3 3.6分 19 【详解】(I)证明：，四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线， ..AD=DC,BD=CD. .'AD=BD=CD .∠DBA=∠DAB,∠DAC=∠DCA ∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°， ∴.∠BAD+∠CAD=90°， 即∠BAC=90°， △ABC是直角三角形.3分 (2)解：取BG中点M,连结MD,如图所示： F M G E D :AD是△ABC的边BC的中线，则D是BC的中点， DM是△BCG的中位线， :DM-1CG-1x6-3 2 2 MD∥CG' 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EAG=∠EDM, E是AD的中点， .AE DE, 在△AGE和△DME中， [∠EAG=∠EDM AE=DE ∠AEG=∠DEM .△AGE≌△DME(ASA) .AG=MD=3.6分 20. 【详解】(I)证明：，四边形ABCD是矩形， .AB‖CD ∴.∠OAE=LOCF,∠OEA=∠OFC 在△AOE和△COF中， ∠OAE=∠OCF AE=CF ∠AEO=∠CFO' △AOE≌ACOF(ASA) .0E=0F.3分 (2)解：如图，连接B0 D F .BE=BF,OE=OF. .BO⊥EF,即∠BOE=90° 设∠BAC=a&,则∠BEF=2C, 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEF=LBAC+∠AOE,即2a=a+∠AOE, .∠AOE=a=∠BAC. .AE=OE :四边形ABCD是矩形，AD=1, .∠ABC=90°，BC=AD=1, 由△AOE≌aCOF得OA=OC,即O是矩形对角线AC的中点， ..BO=OA=OC. .∠BAC=∠ABO=a,即∠OBE=a. 在RtABOE中，∠OBE+∠BEF=90°，即a+2a=90°， 解得a=30°，即∠BAC=30° .∠ABC=90° .AC=2BC=2, 由勾股定理得：4B=√AC2-BC2=V22-平=V5 6分 21. 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD,OA=OC BE=DF, ..OE=OF, 四边形AECF是平行四边形. 四边形ABCD是菱形， AC⊥BD 平行四边形AECF是菱形：4分 (2)解：四边形AECF是菱形，AF=4, ∴.AE=AF=4, 在△ADE中AE⊥AD,F为DE的中点， ..DE=2AF=8. 在Rt△ADE中，AE2+AD=DE2, .AD=V82-42=4V3 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形ABCD为菱形， 小…菱形 BCD 4×4V3=16V5 的周长为 .8分 22. 【详解】(1)解：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠ADC=∠ADE=90° 由勾股定理得AE=VAD+DE=10 ,F为AE的中点，∠ADE=90°， :DF-4c=5.3分 2 (2)证明：证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠ADC=∠BAD=90°， .∠ADE=90°， ,F为AE的中点， ADF=AF号4， ∴.∠FAD=∠FDA, ,四边形ABCD是矩形，∠ADC=∠BAD=90°， .AB=CD .∠BAD+∠FAD=∠ADC+∠FDA. 即∠FDC=∠FAB, 在△FDC与△FAB中， FD=FA ∠FDC=∠FAB CD=AB △FDC≌△FAB(SAS) .∠DFC=∠AFB. .∠BFD=90°，即∠BFC+∠DFC=90°， .∠BFC+∠AFB=90°， 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CFA=90°， ∴CF垂直平分线段AE, AC=CE.8分 23. 【详解】(I)证明：在△ABC中，AB=AC,AD是BC边的中线， ∴AD L BC,BD=∠C4D-CAB, .∠ADB=90°， :AG为△ABC的外角∠BAF的平分线， ZFAE-BAF A∠DME=∠DAB+∠BAG=)∠CAB+∠BAF=90°、 1 BE⊥AG, .∠AEB=90°， .四边形ADBE为矩形.4分 (2)解：，AD是BC边的中线，BC=24, .BD=CD=12. 由(1)得四边形ADBE是矩形， .AB=DE=2A0=15. 在Rt△ABD中，AD=VAB-BD=9, ÷5c-BCxAD-x24x9=108,…8分 2 24. 【详解】(1)证明：证明：如图1，过点E作EP⊥CD于点P,作E0LBC于点O, 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B F 图1 .∠DPE=∠FQE=90° :四边形ABCD为正方形， ∴.∠ACB=∠ACD,BC⊥CD, :.EP=E0(角平分线的性质定理)， 又，BC⊥CD,EP⊥CD,EQ⊥BC, 四边形CPEQ是正方形， ∴.∠PEQ=90 ∠FE0+∠PEF=90°， :四边形DEFG是矩形， .∠DEF=90°， ∴.∠DEP+∠PEF=90°， ∠DEP=∠FEO, 在△DEP和△FEO中， ∠DPE=∠FQE=90° EP=EO ∠DEP=∠FEQ 、△DEP≌△FEQ(ASA) .DE =EF, .矩形DEFG是正方形.4分 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：四边形ABCD为正方形，AB=2, .AD=CD=BC=AB=2,∠B=90°， AC-BC2 CE=2, AE=AC-CE- .AE=CE .DE⊥AC,DE=CE=√2， 由(I)已证：EF=DE, .'.EF=CE, 又，过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F, ∴如图2，此时点F与点C重合，则CG=FG, D B C(F) 图2 由(1)已证：四边形DEFG是正方形， FG=DE-2 .CG- 8分 (3)解：①如图3，当线段DE与正方形ABCD的AD边的夹角是30°时，即∠ADE=30°， D 图3 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形ABCD为正方形， .∠ADC=∠BCD=90° ∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=60°， .EF⊥DE, .∠DEF=90°， ∴.在四边形CDEF中，∠EFC=360°-∠CDE-∠DEF-∠DCF=120°： ②如图4，当线段DE与正方形ABCD的CD边的夹角是30°时，即∠CDE=30°， 设CD与EF交于点O, D F 图4 :四边形ABCD为正方形， .BC⊥CD, .∠DCF=90°. .EF⊥DE, .∠DEF=90°=∠DCF. 由对顶角相等得：∠COF=∠DOE, .180°-∠DCF-∠COF=180°-∠DEF-∠DOE, 即∠EFC=∠CDE=30°： 综上，∠EFC的度数为120°或30°.12分 25. 【详解】(1)证明：，AF平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AB∥DC, .∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE ∴.∠CEF=∠CFE, 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.CE=CF, .四边形ECFG是平行四边形， .平行四边形ECFG是菱形.3分 (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AB∥DC,AB=DC,AD=BC, .∠ABC=120° .∠BCD=60°，∠BCF=120°， 由(1)得，四边形ECFG是菱形， ·CE=GE ∠BCG=1∠BCF=60° ∴.△ECG是等边三角形， .LECG=60°，6分 ②.∠BCD=60°，∠ECG=60° .∠DCG=∠BCD+∠ECG=120°， EG∥DF. .∠BEG=120°， .∠BEG=∠DCG ,AE为∠BAD的角平分线， ∴.∠DAE=∠BAE, :AD‖BC ∴.∠DAE=∠AEB, ∴.∠BAF=∠AEB. .AB=BE, .'DC=BE, :△DGC≌aBGE(SAS) .BG=DG,∠BGE=∠DGC, ∴.∠BGD=∠CGE, .∠CGE=60°， .∠DGB=60°， 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△DGB是等边三角形.9分 (3)解：连接BM,BD,MC, .∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∠BCD=90°， ∠ECF=90°， 四边形ECFG是菱形， .四边形ECFG是正方形， ,AF平分∠BAD ∴.∠BAF=∠DAF=45°， .BE=AB=DC」 ,点M为EF的中点， ∴.∠CEM=∠ECM=45°， ∴.EM=CM,∠BEM=∠DCM=135°， 在△BME和△DMC中 BE=CD ∠BEM=∠DCM EM=CM △BME≌△DMC(SAS) ∴.MB=MD,∠DMC=∠BME. ∴.∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴.△BMD是等腰直角三角形， AB=8,AD=14, 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=2/65 DM-2BD-130 2 :12分 13/13 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 特殊平行四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级下·河南焦作·期末）如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于，于，连接．若，，则的长不可能等于（   ） A．5 B． C． D．6 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知：如图，在中，是中线，的交点，G，H分别是，的中点，连接，，，，． ①四边形是平行四边形； ②若，则四边形是矩形； ③若，则四边形是菱形； ④若，，则四边形是正方形 上述四个结论中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26八年级下·湖北荆门·期末）如图，已知正方形的边长为12，点是边上一点，在边的延长线上取一点，使，连接，，与交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 12．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，，分别为，的中点，点在线段上，，，，则的长是_______． 14．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为______． 15．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期末）在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·重庆永川·期末）已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． (1)求的度数； (2)求矩形纸片的面积． 18．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，为矩形一边的中点，垂直平分，分别交，于，两点，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的长． 19．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． (1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形： (2)若，求长． 20．（18-19八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，为的中点，，求四边形的周长． 22．（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，． (1)若，，求的长度； (2)若，求证：． 23．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求的面积． 24．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 25．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，连接、、， 求证：①； ②是等边三角形． (3)若，，，是中点，直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $