第2章 反比例函数（单元自测）2026-2027学年数学新教材苏科版九年级上册

第2章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 3．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 4．同一坐标系中，一次函数与函数的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（ ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．函数与（ ）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（ ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 9．已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 10．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．写出一个反比例函数，使得这个函数的图象在第一、三象限，你写出的是________．（写出一个即可） 12．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是________． 13．反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为________． 14．已知点、在反比例函数的图象上，且，那么________（填“”“”或“”）． 15．已知反比例函数（为常数）． （1）若该函数图象的一支在第四象限，则另一支在第________象限． （2）若该函数图象在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是________ 16．若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为________． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）已知 与x成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 18．（8分）反比例函数（部分）与一次函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点B是反比例函数图像上的一点，过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，交一次函数图像于点C．当时，求线段的长． 19．（8分）已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为． （1）求出一次函数的解析式，并在图中直接画出它的图像； （2）求出点C的坐标，并根据图像写出当时对应自变量x的取值范围； 20．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 21．（8分）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． （1）当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． （2）请比较与的大小关系，并说明理由． 22．（8分）如图，双曲线与直线交于，两点，轴于，且． （1）点的坐标为________，点的坐标为________． （2）当时的取值范围是________；当时，的取值范围是________． （3）求的面积． 23．（8分）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的表达式，并画出该函数图象的草图； （2）该函数图象上横坐标与纵坐标相同的点：________； （3）当时，y的取值范围：________； （4）当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，x的取值范围：________． 24．（8分）如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， （1）当时，求的值； （2）求证：； （3）随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【解析】A、是一次函数，不符合题意； B、是正比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选D． 2．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【解析】∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误．故选C． 3．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得． A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上． D选项：，不在函数图象上．故选D． 4．同一坐标系中，一次函数与函数的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的总和判断，先求出一次函数与y轴交于，据此可判断A；再分当时，当时，两种情况分别判断一次函数和反比例函数图象经过的象限，看是否和所给的函数图象一致，据此可判断B、D． 【解析】∵一次函数解析式为， ∴一次函数与y轴交于，故A、D不符合题意； 当时，一次函数的函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，故B符合题意； 当时，一次函数的函数图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象经过第二、四象限，故D不符合题意； 故选B． 5．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解析】A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误； B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限，故本选项错误； C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限，故本选项正确； D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 6．反比例函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数 的性质，由 的正负确定图象所在的象限 【解析】反比例函数 中 该函数图象位于第一、三象限 观察选项， 只有A选项图象位于第一、三象限.故选A． 7．函数与（ ）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个函数图象经过的象限，分别判断和的符号，看是否一致即可得到答案． 【解析】A、反比例函数的图象经过第一、三象限，则，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，不符合题意； B、反比例函数的图象经过第二、四象限，则，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，不符合题意； C、反比例函数的图象经过第一、三象限，则，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，符合题意； D、反比例函数的图象经过第二、四象限，则，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，不符合题意．故选C． 8．对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（ ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 【答案】A 【解析】对于反比例函数，． A、反比例函数增减性的前提是“在每一象限内”，该选项表述错误． B、， 函数图象经过点，表述正确． C、， 函数图象在第一、三象限，表述正确． D、当时，． 第三象限内随的增大而减小， 当时，，表述正确．故选A． 9．已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分点在第一、三象限两种情况讨论． 【解析】∵ 反比例函数中， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 将代入，得 ． 当点在第一象限时，，此时，满足； 当点在第三象限时，， ∵ ，且第三象限内随增大而减小， ∴ ． 综上，的取值范围是或．故选C． 10．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【解析】∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或.故选A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．写出一个反比例函数，使得这个函数的图象在第一、三象限，你写出的是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象由比例系数的符号决定；当时，图象在第一、三象限；当时，函数图象位于第二、四象限；由此即可得出结果，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴这个反比例函数可以是， 故答案为（答案不唯一）． 12．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是________． 【答案】 （1） 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为．故答案为$(-1,-1)$． 13．反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【解析】由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为（答案不唯一） 14．已知点、在反比例函数的图象上，且，那么________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，结合已知的大小关系即可得到和的大小关系． 【解析】∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大． ∵， ∴．故答案为$<$． 15．已知反比例函数（为常数）． （1）若该函数图象的一支在第四象限，则另一支在第________象限． （2）若该函数图象在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是________ 【答案】 二 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据反比例函数，当时，图像位于一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；时，图像位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大解答即可． 【解析】（1）反比例函数图象的一支在第四象限，则另一支在第二象限， 故答案为二； （2）该函数图象在每个象限内，随的增大而增大， ， 解得 故答案为． 16．若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，指数部分应为，即，再根据函数在每个象限内随的增大而增大，系数，解不等式即可得出答案． 【解析】函数是反比例函数， 则指数部分， 解得：， 又∵在每个象限内，随的增大而增大， ∴系数，即， ∴．故答案为$-2$． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）已知 与x成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 【答案】（1） （2）23 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据与x成反比例，设，再代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，整理得，再代入进行计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵与x成反比例， ∴设， ∵当时， ∴， 解得； ∴； （2）解：由（1）得， ∴当时，， 则， ∴， 则， ∴， 18．（8分）反比例函数（部分）与一次函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点B是反比例函数图像上的一点，过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，交一次函数图像于点C．当时，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出反比例函数解析式． （1）先把代入，求出m的值，然后再将点A代入求出反比例函数解析式即可； （2）先根据题意求出，，然后再求出的值即可． 【解析】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于点， ， ， 即， 反比例函数为； （2）解：根据题意得：轴， ∴轴于点， ， 、的纵坐标为1， 把代入，得，把代入，得， （1），， ． 19．（8分）已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为． （1）求出一次函数的解析式，并在图中直接画出它的图像； （2）求出点C的坐标，并根据图像写出当时对应自变量x的取值范围； 【答案】（1）； 函数图像如图所示： （2）；或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像性质是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）联立反比例函数与一次函数的解析式，求出点C的坐标，再根据图像解答即可． 【解析】（1）解：将B点的横坐标为代入反比例函数得， 则点B的坐标为， 将代入一次函数得 ， 解得， 则一次函数解析式为， 当时，， 则一次函数图像过点、， （2）解：根据题意得， 解得或， 由于点B的坐标为， 则点C的坐标为， 由（1）图像可得，当时对应自变量x的取值范围是或． 20．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 【答案】（1）的值为，的值为 （2）或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【解析】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：． ， 把代入得：． 的值为，的值为； （2）解：当时，． ， 为轴上的一动点， ． ， ， ， ， 或． 21．（8分）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． （1）当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． （2）请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【解析】（1）解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； （2）略 22．（8分）如图，双曲线与直线交于，两点，轴于，且． （1）点的坐标为________，点的坐标为________． （2）当时的取值范围是________；当时，的取值范围是________． （3）求的面积． 【答案】(1)， （2）或；或 （3） 【分析】（1）根据，结合的几何意义得出，联立双曲线和一次函数解析式，解方程组即可求出、两点坐标； （2）根据图象，结合、两点坐标即可得出时的取值范围；求出时的值，结合图象即可得出时，的取值范围； （3）设交轴于，根据一次函数解析式求出，根据即可得出答案． 【解析】（1）解：∵，轴 ∴， 解得， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴，， 联立双曲线和一次函数解析式得，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴由图象可知，时的取值范围是或； 当时，， 解得， ∴当时，的取值范围是或． （3）解：如图，设交轴于， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴． 23．（8分）已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的表达式，并画出该函数图象的草图； （2）该函数图象上横坐标与纵坐标相同的点：________； （3）当时，y的取值范围：________； （4）当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，x的取值范围：________． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据图象进行作答即可； （4）求出两个函数的交点坐标，图象法进行求解即可. 【解析】（1）解：由题意，， ∴； 画图略 （2）解：令，则，解得， ∴横坐标与纵坐标相同的点为； （3）解：当时，， ∴当时，； （4）解：令，解得， 由图象可知，当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，或. 24．（8分）如图已知直线与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线交于点C，过点C作轴于点D，连接，设C点坐标为， （1）当时，求的值； （2）求证：； （3）随着a的变化，的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：∵点在双曲线上， ∴， ∵点C在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）不变， 【分析】（1）先求出点的坐标，进而求出的值，求出两点坐标，根据题意，进行求解即可； （2）根据点为交点，分别代入反比例函数解析式，以及一次函数解析式，进行推导即可； （3）求出点的坐标，进而表示出，结合（2）的结论进行求解即可. 【解析】（1）解：∵点为直线和双曲线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∵轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：不变，理由如下， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，轴于点D， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴，为定值. 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求的面积． 【答案】(1)， （2）或 （3） 【分析】（1）将点坐标代入求得，然后将点坐标代入反比例函数求得； （2）不等式表示一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点），结合图象直接写出解集即可； （3）先求出直线的解析式，确定其与轴的交点的坐标，再根据翻折的对称性，求出点的坐标，设与轴交于点，过点作轴于点，分别表示出相关线段的长，最后由即可求得的面积． 【解析】（1）解：将点代入，得， 解得， ． 将点代入，得． （2）解：由函数图象可知，不等式的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方（含交点）时对应的的取值范围， 结合两个交点和以及反比例函数的两支图象，可得解集为或． （3）解：将，代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数为． 令，则， 一次函数与轴交点的坐标为． 轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处， 点的坐标为． 如图，设与轴交于点，过点作轴于点， 则，，，，． ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $