第二十八章 旋转（单元自测）数学新教材人教版九年级上册

第二十八章 旋转 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．下列情境属于旋转的是（ ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 3．香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（ ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 4．一款风车，它由两种等腰直角三角形拼成．如图，等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，点所对应的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 5．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．7 6．点关于原点的对称点是点B，点B关于y轴对称的点是点C，则点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 8．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 9．如图，把绕着点A顺时针旋转得到，点C的对应点落在边上，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是________． 12．若点与点关于原点成中心对称，则m的值是________． 13．如图，将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置，点 C 与点 D 对应，当时，则的度数为________． 14．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是________． 15．若用这两个三角形拼四边形，则拼成中心对称图形的有________个． 16．如图，是正方形的对角线，是正方形内一点，，，分别是点关于，，的对称点，连接，，，． （1）关于点成中心对称的两点分别是________． （2）连接，若，则________（用含的代数式表示）． 17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为________； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 18．新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是________．（请化为一般式） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接．若，，求的长． 20．（8分）在中，是线段上的动点．连接，将绕点逆时针旋转至的位置．连接，试按要求解答下列问题： （1）求证：； （2）求的度数； 21．（8分）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出关于坐标原点成中心对称的； （2）若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标________； （3）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为________． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为 ． 23．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O成中心对称的图形； （2）画出绕点B顺时针旋转的图形，并求出点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 24．（8分）如图，的各个顶点的坐标分别是， （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转后的． 25．（9分）综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． 提出问题 （1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示） 解决问题 （3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 26．（9分）如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求的最大值； （4）如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【解析】如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B．故选B． 2．下列情境属于旋转的是（ ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【解析】A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选A． 3．香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（ ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【解析】将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选C． 4．一款风车，它由两种等腰直角三角形拼成．如图，等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，点所对应的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，等腰三角形的性质，先理解题意，记点所对应的点为点，过H作轴，过作轴，结合等腰三角形的性质得，又因为旋转性质得，即可作答． 【解析】记点所对应的点为点，过H作轴，过作轴，如图所示： ∵等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限． ∴， ∵旋转， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为 故选A 5．如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【解析】∵绕点顺时针旋转得到， ， ， .故选C． 6．点关于原点的对称点是点B，点B关于y轴对称的点是点C，则点C的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于原点对称的点坐标规律：横、纵坐标均互为相反数；关于轴对称的点坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可． 【解析】∵点关于原点的对称点是点， ∴， ∵点关于轴对称的点是点， ∴．故选D． 7．如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（ ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，，，再利用等腰三角形和直角三角形的性质分别求出，，最后利用角的和差即可求出的度数． 【解析】由旋转的性质得，，，， ，， ， 的度数为20度．故选C． 8．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，利用勾股定理可计算出，容易证明，则，从而得到点的坐标为．根据题意可知，旋转次等同于旋转，即关于点对称，因此点的对应点的坐标为． 【解析】如图，作轴于点， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 根据题意，每次绕点旋转， ∴每旋转4次为一个循环， ∵， ∴旋转次等同于旋转，即关于点对称， ∴点的对应点的坐标为．故选B． 9．如图，把绕着点A顺时针旋转得到，点C的对应点落在边上，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，根据全等三角形的性质分别判断四个选项即可． 【解析】∵把绕着点A顺时针旋转得到， ∴，故选项C不符合题意， ，故选项A不符合题意 ， 则， ，故选项D不符合题意，选项B符合题意， 故选B． 10．如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得到，故A错误，C错误；得到∠ACD=∠BCE，故D正确；题目无法得到等于，故B错误． 【解析】∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，故A、C错误； 又题目无法得到等于，故B错误． ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，即，故D正确．故选D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【解析】∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是．故答案为$\left(-2,-3\right)$． 12．若点与点关于原点成中心对称，则m的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解析】∵点与点关于原点成中心对称， ∴， 故答案为． 13．如图，将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置，点 C 与点 D 对应，当时，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【解析】 ∵将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 14．如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【解析】∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为． 15．若用这两个三角形拼四边形，则拼成中心对称图形的有________个． 【答案】3 【分析】这两个三角形可以组成的中心对称图形是平行四边形或矩形． 【解析】分别让它们的一组对应边重合，另外两组对应边分别平行，能拼出个平行四边形和个矩形，如图所示： 即满足题意的中心对称图形有个．故答案为3． 16．如图，是正方形的对角线，是正方形内一点，，，分别是点关于，，的对称点，连接，，，． （1）关于点成中心对称的两点分别是________． （2）连接，若，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 和 【分析】（1）根据对称的性质得到，，，，进而得到，即，，三点共线，由此可得结论； （2）根据正方形的性质，结合对称的性质得到，由（1）得，，进而得到，最后根据勾股定理即可求出． 【解析】（1），，分别是点关于，，的对称点， ，，，，，即，，三点共线， ∴关于点成中心对称的两点是和． （2）为正方形的对角线， ， ． 由（1）得，， ， ．故答案为和． 17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为________； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【解析】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求．故答案为① $\frac{\sqrt{205}}{6}$ ② 取格点 C ，连接 $AC$ 并延长交格线于点 D ，取格点 E ，连接 $DE$ 并延长交格线于点 B ，连接 $AO$ 并延长交格线于点 $A'$ ，连接 $BO$ 并延长交格线于点 $B'$ ，则点 $A'$ 和 点 $B'$ 即为所求． 18．新定义：如果两条抛物线的开口大小相同、方向相反，且顶点关于原点对称，则称这两条抛物线互为“原点对称的抛物线”．根据新定义，与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是________．（请化为一般式） 【答案】 【解析】， 与抛物线互为原点对称的抛物线的表达式是。 化为一般式得．故答案为$y=x^{2}+2x-3$． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理得出，根据旋转得出，，，求出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【解析】在中，，，， 由勾股定理得：，           在中，，将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，           在中，由勾股定理得：． 20．（8分）在中，是线段上的动点．连接，将绕点逆时针旋转至的位置．连接，试按要求解答下列问题： （1）求证：； （2）求的度数； 【答案】（1） 证明：绕点逆时针旋转至的位置， ． 又，所以，即． 在和中： ． （2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转性质得到全等条件，再结合等腰直角三角形角度特征求解． （1）利用旋转性质得到边和角的关系，再结合已知条件，根据全等三角形判定定理证明； （2）先由等腰直角三角形性质得和的度数，再根据全等三角形性质得，进而求出度数． 【解析】（1）略 （2）， 是等腰直角三角形． ． 由（1）知， ． ． 的度数为． 21．（8分）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出关于坐标原点成中心对称的； （2）若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标________； （3）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为________． 【答案】（1） 如图所示： （2）； （3） 【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，从图中直接读出的坐标； （3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标． 【解析】（1）略 （2）解：画出绕点顺时针旋转后得到的如图所示： 得到的坐标为； 故答案为； （3）解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示： 旋转中心的坐标为． 故答案为 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为 ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 23．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O成中心对称的图形； （2）画出绕点B顺时针旋转的图形，并求出点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图1，即为所求： （2） 即为所求； 【分析】本题考查了图形旋转变换的作图，弧长公式，勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握旋转的性质以及弧长公式的代值计算． （1）根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可，由勾股定理求解出的长度，再由弧长公式即可计算路径长． 【解析】（1）略 （2）解：∵，且， ∴点A旋转到点所经过的路径长． 24．（8分）如图，的各个顶点的坐标分别是， （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】（1） 即为所求； （2） 如图，即为所求． 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【解析】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线， 25．（9分）综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动． 提出问题 （1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示） 解决问题 （3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积． 【答案】（1）2；（2）；（3）25． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【解析】（1）∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为； （2）过点作，交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∴ 在和中 ∴（ ） ∴ 则的面积为 （3）过点作，交的延长线于点， 过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴ ∵， ∴， 由旋转的性质得：， 在和中 ∴（ ） ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ∴是的中点， ∵ ∴ 则的面积为 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．（9分）如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求的最大值； （4）如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值． 【答案】（1） （2） 不在抛物线上；理由如下： 过点作轴，， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，当时，， ∴不在抛物线上； （3）当时，取最大值，最大值为 (4)，， 【分析】（1）两点式设出解析式，将点代入求出解析式即可； （2）根据旋转的性质，求出的坐标，进行判断即可； （3）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，将转化为二次函数求最值即可； （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点， ∴设抛物线的解析式为， 把，代入，得：， ∴， ∴； （2）略 （3）∵， ∴设直线：，将代入，得：， ∴； 设点坐标为，则点坐标为，点坐标为． ∴，． ∴． 当时，取最大值，最大值为． （4）∵，，， ∴，，， 当是等腰三角形时，分三种情况， ①时，则：， 解得：（舍），（舍），； ②时，则：， 解得：（舍），； ③时，则：， 解得：（舍），（舍），； 综上：，，． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，二次函数的综合应用．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $