第二十三章 旋转（举一反三单元测试·拔尖卷）数学人教版九年级上册

第二十三章 旋转·拔尖卷 【人教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 2．（3分）（24-25九年级上·湖北·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（3分）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 5．（3分）（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（3分）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）（2025·山东济南·模拟预测）已知抛物线，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为m，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（3分）（2025·江苏无锡·一模）如图1，现有长，宽的、两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则、两种卡片各需要的张数可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 °． 12．（3分）（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 13．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为 . 14．（3分）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号） 15．（3分）（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为 16．（3分）如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点为轴上一点，直接写出当最大时，点的坐标． 18．（6分）图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图： (1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上； (2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； (3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； 19．（8分）（24-25八年级下·福建莆田·期中）请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） (1)如图1，在中，为边上一点，在上找点，使得； (2)在平行四边形中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分． 20．（8分）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 21．（10分）如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 22．（10分）（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点在边上． (1)用直尺和圆规作，使与关于点对称（保留作图痕迹，不写作法），判断四边形的形状并说明理由； (2)若，，则当的长为______时，（1）中的四边形是矩形． 23．（12分）在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．    (1)如图①，当时，求与的交点的坐标； (2)如图②，连接，当经过点A时，求的长； (3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 24．（12分）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 旋转·拔尖卷 【人教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 【答案】D 【分析】根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转90°可得右边的阴影部分，此时k=1； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时k=2； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时k=3； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 2．（3分）（24-25九年级上·湖北·阶段练习）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点， 连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心． 故选：C． 3．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，， ∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：A． 4．（3分）如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B．1.75 C．1.5 D．1.25 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为4和正方形的边长为3， ∴正方形的面积为16，正方形的面积为9， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故选B． 5．（3分）（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出两点的坐标，得到，进而求出，即可求出点的坐标，设沿轴正方向平移个单位长度后，得到，由平移的性质得到，结合平行四边形的性质，当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，即可求解． 【详解】解：根据题意当时，则， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设沿轴正方向平移个单位长度后，得到，连接， 则， ∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形， ∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分， ∵的中点为，即， ∴， 解得：． 故选：B． 6．（3分）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绕点逆时针旋转一个角度得到，可得，在中，根据三角形内角和定理，可得，从而算出旋转角的度数． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． ∵，，三点在同一条直线上， ∴在中，， 即， ∴， 解得． ∴旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题的关键． 7．（3分）（2025·山东济南·模拟预测）已知抛物线，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为m，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于原点对称，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．先求出抛物线的解析式为，再根据抛物线的对称轴的位置分三种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线P的顶点坐标为， ∵将抛物线P绕原点旋转得到抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为，开口方向与抛物线P相反， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ①若， 当时，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：， ∴； ②若，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：（舍去）； ③若，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：（舍去）， ∴综上所述，a的取值范围是． 故选：A． 8．（3分）（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，， ， 发现是8次一循环，则余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 9．（3分）如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】如图，由为等边三角形得到，由得到，再根据旋转的性质得，即旋转角等于，，，于是可计算出，则可对①进行判断；由，，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由为等边三角形得，于是可得，则可对③进行判断；根据旋转的性质得，根据等边三角形的性质得，所以，则可对④进行判断． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ，即旋转角等于，，， ，即， 三点共线，所以①正确； ，， 为等边三角形，所以②正确； 为等边三角形， ， ， 平分，所以③正确； 为等边三角形， ， 而点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ， ， ，所以④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 10．（3分）（2025·江苏无锡·一模）如图1，现有长，宽的、两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则、两种卡片各需要的张数可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查图形的拼接，解题的关键是正确理解题意，通过平移、旋转、轴对称或中心对称等方法拼成符合题意的正方形，即可得出答案． 【详解】解：∵用长，宽的、两种卡片各若干张拼成一个的大正方形， ∴每张卡片的面积为：， 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为， 设卡片的数量为，卡片的数量为， ∴， ∴， 为避免对角线相连，将卡片顺时针旋转使对角线为左上到右下（横向），卡片为左上到右下（纵向），如图所示， ​其中卡片（横向）共有张，卡片（纵向）共有张． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 °． 【答案】315或135 【分析】根据A、B的坐标可知，△AOB是等腰直角三角形，由此即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠ABO=∠OAB=45°， ∴ ∴当旋转角为315°（旋转角为360°-∠ABO）或135°（旋转角为 ）时，点A的对应点C落在y轴上， 故答案为：315或135． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的旋转，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 12．（3分）（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 【答案】 【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式及关于原点对称的点的坐标特征，利用判别式，求出的值是关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，判别式，得出关于的方程，求出的值，进而确定点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得， ∴ ∴点 则关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 14．（3分）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号） 【答案】② 【分析】根据中心对称图形的概念解答． 【详解】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形， 这个正方形应该添加区域②处， 故答案为：②． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键． 15．（3分）（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为 【答案】6或9或18 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当时，a为，第二种情况当时，a为，第三种情况，当时，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】解：I．如图，当时，    ，， ， ， ， a为 （秒）， II．如图，当时，    ， ， a为， （秒）， III． 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18 故答案为：6或9或18 16．（3分）如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得根据勾股定理求得，即；当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则根据勾股定理求得，即，进而求出的值 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ， ∴， 当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， 当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点为轴上一点，直接写出当最大时，点的坐标． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2)图见解析，的坐标为 (3) 【分析】本题考查了中心对称、旋转作图、三角形的三边关系、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的定义作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）先根据三角形的三边关系推出当、、三点共线时，有最大值，然后利用一次函数的解析式求解即可． 【详解】（1）解：如图：的坐标为； （2）解：如图：的坐标为； （3）解：如图： 点为轴上一点，由三角形的三边关系可知， 当、、三点共线时，有， 即，当且仅当、、三点共线时，有最大值； 延长交轴于，此时即为所求； 设， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当最大时，点的坐标为． 18．（6分）图①、图②和图③都是的正方形网格，每个小正方形边长均为．按要求分别在图①、图②和图③中画图： (1)在图①中画等腰，使其面积为，并且点在小正方形的顶点上； (2)在图②中画四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； (3)在图③中画四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形，，两点都在小正方形的顶点上； 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）取格点，连接、即可； （2）取格点、，连接、、即可； （3）取格点、，连接、、即可． 【详解】（1）解：取格点，连接、，取格点，连接， ∵图①是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴等腰面积为，且点在小正方形的顶点上， 则即为所作； （2）取格点、，连接、、， ∵图②是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，，， ∴， ∴四边形是梯形， ∵，， ∴， ∴四边形是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形， 则四边形即为所作； （3）取格点、，连接、、即可， ∵图③是的正方形网格，每个小正方形边长均为， ∴，， ∴四边形是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面积等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 19．（8分）（24-25八年级下·福建莆田·期中）请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） (1)如图1，在中，为边上一点，在上找点，使得； (2)在平行四边形中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）连接、，交于点，连接并延长交于点即可； （2）设矩形的对角线交点为点，连接、，交于点，过点、作直线即可． 【详解】（1）解：如图，连接、，交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是平行四边形，对角线、交于点， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， 则点即为所作； （2）如图，设矩形的对角线交点为点，连接、，对角线、相交于点，过点、作直线， 设直线将分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为），直线将矩形分成的两部分的面积分别为、（左边为，右边为）， ∵平行四边形和矩形都是中心对称图形，且直线同时经过和矩形的对角线的交点， ∴，， ∴， ∴直线左边剩余部分的面积等于直线右边剩余部分的面积， 即直线将剩下图形的面积平分， 则直线即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，中心对称图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 20．（8分）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 21．（10分）如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)，证明见解析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证； （2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积； （3）将绕点逆时针旋转 得到，证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图，将绕点逆时针旋转 得到， 则：， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接， 则：，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质综合应用．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 22．（10分）（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点在边上． (1)用直尺和圆规作，使与关于点对称（保留作图痕迹，不写作法），判断四边形的形状并说明理由； (2)若，，则当的长为______时，（1）中的四边形是矩形． 【答案】(1)图见解析，平行四边形 (2) 【分析】本题考查了中心对称图形、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以为对称中心画出对应的、、，顺次连接即可，根据对角线互相平分可以判断形状； （2）过点作交于点，设，根据勾股定理用两种方式表示的长，列出方程求解即可． 【详解】（1）如图： 四边形为平行四边形，理由如下： ∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形． （2）如图，过点作交于点， ∵，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当四边形为矩形时，， 在中，， ∴， 解得：， ∴时，四边形是矩形． 故答案为：． 23．（12分）在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．    (1)如图①，当时，求与的交点的坐标； (2)如图②，连接，当经过点A时，求的长； (3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点D的纵坐标，从而得解； （2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解； （3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为．    ∵点， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形， ∵，轴 ∴． ∴． ∴点的坐标为． （2）解：如图，过点作轴，垂足为．    由旋转得，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． （3） 解：取线段的中点N，连接、，则    ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键． 24．（12分）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $