第二十七章 反比例函数（单元自测）数学新教材人教版九年级上册

第二十七章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【解析】A、是一次函数，不符合题意； B、是正比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选D． 2．溶液中溶质的质量分数．当某溶液中溶质质量一定时，溶质质量分数与溶液质量满足的函数关系是（ ） A．反比例函数关系 B．一次函数关系 C．正比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】A 【分析】根据各种函数关系的定义判断即可． 【解析】设溶质质量为定值（ ），由题意得， ∵为定值， ∴为非零常数， ∴与满足反比例函数关系．故选A． 3．同一坐标系中，一次函数与函数的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的总和判断，先求出一次函数与y轴交于，据此可判断A；再分当时，当时，两种情况分别判断一次函数和反比例函数图象经过的象限，看是否和所给的函数图象一致，据此可判断B、D． 【解析】∵一次函数解析式为， ∴一次函数与y轴交于，故A、D不符合题意； 当时，一次函数的函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，故B符合题意； 当时，一次函数的函数图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象经过第二、四象限，故D不符合题意； 故选B． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】代入验证A，由的符号判断B、D，结合对称性判断C． 【解析】∵ 当时，， ∴ A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴ B错误； ∵ 反比例函数的图象关于原点对称， ∴ C正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小， ∴ D错误．故选C． 5．下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点，都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，其中，根据的符号判断图象所在象限、点的位置、增减性及比较函数值即可． 【解析】A．∵， ∴图象在第一、三象限，故A正确； B．当时，，故点在图象上，故B正确； C．当时，随的增大而减小，故C不正确； D．，， ∴，故D正确． 故选C． 6．如图，反比例函数图象的一个分支为（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】先根据的正负判断图象所在象限排除错误选项，再代入特殊点验证选出正确分支． 【解析】反比例函数中，图象位于第二、四象限，排除第一象限的③和④ 取特殊点验证：当时，，即图象过点 观察网格可知，曲线②恰好经过点，而曲线①经过的是． ∴反比例函数图象的一个分支为②．故选B． 7．已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【解析】反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选A． 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【解析】由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选B． 9．关于反比例函数的图象和性质，下列说法不正确的是（ ） A．图象关于原点中心对称 B．图象经过点(，1) C．当时，y随x的增大而减小 D．若点和都在其图象上，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的对称性可判断A；求出时的函数值可判断B；根据解析式可得函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断C、D． 【解析】A、反比例函数的图象关于原点对称，原说法正确，不符合题意； B、在中，当时，， ∴图象经过点，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴函数图象分布在第二、四象限， ∵点和都在其图象上， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴，原说法正确，不符合题意； 故选C． 10．关于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ） A．点在它的图象上 B．它的图象位于第一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解析】、∵， ∴点在它的图象上，该选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，该选项说法正确，不符合题意； 、反比例函数的图象关于直线对称，该选项说法正确，不符合题意； 、∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小，该选项说法错误，符合题意； 故选． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．写出一个反比例函数，使得这个函数的图象在第一、三象限，你写出的是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象由比例系数的符号决定；当时，图象在第一、三象限；当时，函数图象位于第二、四象限；由此即可得出结果，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【解析】∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴这个反比例函数可以是， 故答案为（答案不唯一）． 12．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是________． 【答案】 （1） 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为．故答案为$(-1,-1)$． 13．反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【解析】由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为（答案不唯一） 14．（1）已知反比例函数，当时，的取值范围是________． （2）已知反比例函数，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键． （1）根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案； （2）根据反比例解析式可知图象在第三象限内，随的增大而减小，求出时自变量的最大值和最小值，即可得到答案． 【解析】（1）反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 在时取得最大值，在时取得最小值． 的取值范围是， 故答案为； （2）反比例函数的图象在第三象限内，随的增大而减小， 当时，；当时，， 自变量的取值范围是， 故答案为． 15．已知反比例函数（为常数）． （1）若该函数图象的一支在第四象限，则另一支在第________象限． （2）若该函数图象在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是________ 【答案】 二 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据反比例函数，当时，图像位于一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；时，图像位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大解答即可． 【解析】（1）反比例函数图象的一支在第四象限，则另一支在第二象限， 故答案为二； （2）该函数图象在每个象限内，随的增大而增大， ， 解得 故答案为． 16．若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，指数部分应为，即，再根据函数在每个象限内随的增大而增大，系数，解不等式即可得出答案． 【解析】函数是反比例函数， 则指数部分， 解得：， 又∵在每个象限内，随的增大而增大， ∴系数，即， ∴．故答案为$-2$． 17．一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为________． 【答案】或 【解析】如图， 当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足； 因此，时，的取值范围为或．故答案为或． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】观察函数图象即可求解． 【解析】观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或．故答案为或． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）已知 与x成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 【答案】（1） （2）23 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据与x成反比例，设，再代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，整理得，再代入进行计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵与x成反比例， ∴设， ∵当时， ∴， 解得； ∴； （2）解：由（1）得， ∴当时，， 则， ∴， 则， ∴， 20．（8分）已知反比例函数． （1）写出这个函数自变量的取值范围； （2）当时，求函数y的值； （3）当时，求自变量x的值． 【答案】（1）自变量的取值范围为 （2）函数y的值为 （3）自变量x的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解析】（1）解：自变量的取值范围为； （2）解：当时，； （3）解：当时， ， 解得． 21．（8分）如图，已知正方形的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积是S．    （1）求点B的坐标； （2）当时，求点P的坐标； （3）写出S关于m的函数解析式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可得到点的坐标； （2）先求出反比例函数解析式，设，分点P位于点B下方和点P位于点B上方两种情况分别讨论解题； （3）用割补法分和求面积． 【解析】（1）∵，且四边形为正方形， ∴， ∴， 所以点B坐标为； （2）由（1）得， ∴反比例函数的解析式为：． 因为矩形和正方形不重合部分的面积是S，且， 设， 当点P位于点B下方时，有， 解得：， ∴P点坐标为：； 当点P位于点B上方时，有， 解得：， ∴P点坐标为：， 综上，P点的坐标为或； （3）用割补法求面积，即可得以下分类讨论： 当时，； 当时，， ∵点P（m，n）在双曲线上， ∴：， 则有； 综上所述，． 【点睛】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论是解题的关键． 22．（8分）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图形，请直接写出不等式的解集； （3）若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为 （2）或 （3） 【分析】（1）将代入，可求出反比例函数表达式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，即可求解； （2）观察图象得到一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围，即可求解； （3）由题意可知，，，，再由，可得 ，即可求解． 【解析】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得：， （2），，两点在的图象上， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； （3）解：由题意可知，，，， ∵， ， 解得，（不合题意）， 经检验，为方程的解， ． 23．（8分）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． （1）当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． （2）请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【解析】（1）解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； （2）略 24．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，已知点C的坐标是，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2） 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数的解析式，根据，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）图象法求不等式的解集即可. 【解析】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为． ， ∴为的中点， ∵点，点在轴上，点在轴上， ． ∵点B，C在的图象上， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知：当时，的解集为． 25．（9分）已知反比例函数图象的一支如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当且时，求自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）将点B坐标代入求解k值即可； （2）先求得时的x值，再根据反比例函数图象以及增减性求解即可． 【解析】（1）解：由图象可知，该函数图象经过点， 将代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：令，即，解得， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，， 当且时，或． 26．（9分）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于点，与坐标轴交于B，C两点，连接，且． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P是反比例函数上一动点，若，求点P的坐标； （3）如图2，设D是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若以D，M，N三点组成的三角形与相似，求点D的坐标． 【答案】(1)，； （2）或； （3）或． 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定、解一元二次方程，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． （1）先求得点A的坐标，根据反比例函数的图象过点A，即可求得k的值． （2）先求得点B的坐标，即可得出的长度，的边上的高h即为点A的纵坐标的数值． （3）根据题意可得以D、N、M三点组成的三角形与相似，则或，①当时，，设，则，则，，把点D代入求出b的值即可；②当时，，设，则，则，，把点D代入求出b的值即可． 【解析】（1）解：作轴，垂足为M， ∴轴， ∵，． ∴， ∴， （8），代入一次函数得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：令中， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ①当P在点A下方时，过点P作轴，交于Q， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； ②当P在点A上方时，过点P作轴，交于Q， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图2， ∵， ∴， ∵轴，点， ∴， ∵，， ∴以D、N、M三点组成的三角形与相似，则或， ①当时， ， 设，则， ， ∴， ∵D在的图象上， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为； ②当时， ， 设，则， ， ∴， ∵D在的图象上， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．溶液中溶质的质量分数．当某溶液中溶质质量一定时，溶质质量分数与溶液质量满足的函数关系是（ ） A．反比例函数关系 B．一次函数关系 C．正比例函数关系 D．二次函数关系 3．同一坐标系中，一次函数与函数的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而增大 5．下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点，都在反比例函数的图象上，则 6．如图，反比例函数图象的一个分支为（ ） A．① B．② C．③ D．④ 7．已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 8．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．关于反比例函数的图象和性质，下列说法不正确的是（ ） A．图象关于原点中心对称 B．图象经过点(，1) C．当时，y随x的增大而减小 D．若点和都在其图象上，则 10．关于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ） A．点在它的图象上 B．它的图象位于第一、三象限 C．图象关于直线对称 D．随的增大而减小 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．写出一个反比例函数，使得这个函数的图象在第一、三象限，你写出的是________．（写出一个即可） 12．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是________． 13．反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为________． 14．（1）已知反比例函数，当时，的取值范围是________． （2）已知反比例函数，当时，的取值范围是________． 15．已知反比例函数（为常数）． （1）若该函数图象的一支在第四象限，则另一支在第________象限． （2）若该函数图象在每个象限内，随的增大而增大，则的取值范围是________ 16．若是反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值为________． 17．一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为________． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）已知 与x成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 20．（8分）已知反比例函数． （1）写出这个函数自变量的取值范围； （2）当时，求函数y的值； （3）当时，求自变量x的值． 21．（8分）如图，已知正方形的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积是S．    （1）求点B的坐标； （2）当时，求点P的坐标； （3）写出S关于m的函数解析式． 22．（8分）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）结合图形，请直接写出不等式的解集； （3）若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 23．（8分）如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． （1）当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． （2）请比较与的大小关系，并说明理由． 24．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，已知点C的坐标是，且． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，的解集． 25．（9分）已知反比例函数图象的一支如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当且时，求自变量的取值范围． 26．（9分）如图1，一次函数与反比例函数的图象交于点，与坐标轴交于B，C两点，连接，且． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）点P是反比例函数上一动点，若，求点P的坐标； （3）如图2，设D是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若以D，M，N三点组成的三角形与相似，求点D的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $