第二十五章 一元二次方程（单元自测）数学新教材人教版九年级上册

第二十五章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，进行判断即可． 【解析】∵， ∴， ∴方程有两不相等实数根； 故选C． 2．某商品经过两次降价，由每件100元降到每件81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据降价的百分率来表示每次降价后的价格． 【解析】已知商品原价为元，平均每次降价的百分率为， 第一次降价后元， 第二次降价后的价格为元， 所以可列方程为．故选B． 3．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（ ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 【答案】A 【分析】设这个数为 ，根据“平方加3倍等于相反数减4”列出关于 的一元二次方程，求解即可． 【解析】设这个数为， 根据题意得， 移项、合并同类项得， 配方得， 解得， ∴存在这样的数，这个数是．故选A． 4．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确一元二次方程的标准形式及各项要求求解即可． 【解析】∵方程是分式方程， ∴选项A不符合题意， ∵当时，的二次项系数为0， ∴选项B不符合题意， ∵展开化简得，是一元一次方程， ∴选项C不符合题意， ∵方程是一元二次方程， ∴选项D符合题意．故选D． 5．下列关于方程，说法错误的是（ ） A．两个实数根的和为 B．二次项系数为 C．无实数根 D．常数项为 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式，根与系数的关系，根的判别式逐一判断即可． 【解析】、设方程的两个实数根为，，则两个实数根的和为，故此选项说法正确，不符合题意； 、方程中二次项系数为，故此选项说法正确，不符合题意； 、， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项说法错误，符合题意； 、方程中常数项为，故此选项说法正确，不符合题意．故选C． 6．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数以及一元二次方程的定义，因为关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，且，进行计算，即可作答． 【解析】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得 且， 故选D 7．对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（ ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】将各条件转化为与的关系，代入判别式判断符号，不能直接推导的举反例排除． 【解析】一元二次方程（ ）有实数根的条件是， ① 若，则，代入得， ∴方程有实数根，①符合要求； ② 若，取，，，满足，此时，方程无实数根，②不符合要求； ③ 若，则，代入得， ∵， ∴， 又， ∴，方程有实数根，③符合要求； 综上，正确条件为①③．故选B． 8．关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程根的定义，对于说法①，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根；对于说法②，通过已知条件推导、与的关系，再代入目标方程计算判别式；对于说法③，将已知根代入原方程，再验证目标值是否满足新方程． 【解析】对于①，无实数根， ； 方程的判别式， 也无实数根，故①正确； 对于②，， ，代入得，化简得； 将、代入，得； ，两边除以得， 其判别式， 有两个相同的实数根，故②正确； 对于③，是的根， ； 将代入，得， 是的根，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数是3． 故选D． 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可得，由一元二次方程的定义可得，解不等式知m的取值范围． 【解析】∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 又∵， ∴， 故选A． 10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】结合方程的根的定义与一元二次方程二次项系数不为0的条件求解． 【解析】∵ 该方程是一元二次方程． ∴ ，即． 把代入． 得． 解得或． ∵． ∴ ．故选A． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．方程有相等的两个实数根，则________． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据题意得，然后解关于c的方程即可． 【解析】根据题意得， 解得：， 故答案为 12．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0建立关于的方程，求解即可得到的值． 【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得．故答案为$-\frac{1}{8}$． 13．请写出一个关于的一元二次方程，并满足以下两个条件：①二次项系数为（ ）；②方程必须有两个不相等的实数根．这个一元二次方程可以是________． 【答案】（ ）（答案不唯一） 【分析】依据题意，根据方程有两个不相等的实数根，同时满足，从而可得一元二次方程． 【解析】∵方程必须有两个不相等的实数根， ． 又∵二次项系数为， ∴不妨设，，此时， ∴满足条件的一元二次方程可以是（ ）．（答案不唯一）故答案为（ ）（答案不唯一）． 14．若关于的一元二次方程无实数根，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，得到根的判别式小于，求出的取值范围，再选取一个符合条件的值即可． 【解析】∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 将，，代入得 ， 化简得， 解得， 因此可取（答案不唯一）．故答案为2（答案不唯一）． 15．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【解析】∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为．故答案为$-10$． 16．如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 【答案】 【分析】根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可． 【解析】根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 符合题意，不符合题意，舍去， ．故答案为$10$． 17．某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定________元． 【答案】 【分析】设涨价元，表示出每件商品的利润和每星期的销售量，根据总利润列出方程求解，结合顾客得实惠的要求选取符合条件的解，得到销售单价． 【解析】设涨价元，则销售单价为元，每星期销售量为件， 每件商品的利润为元， 总利润等于每件利润乘以销售量， 列方程得，整理方程得， 因式分解得， 解得，， 要让顾客得实惠，需选择更低的销售单价，应取较小的， 取，此时销售单价为元．故答案为$41$． 18．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染________人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一人传染x人，根据两轮传染后总患病人数列出方程求解． 【解析】设每轮传染中平均一人传染x人． 经过第一轮传染后，患病人数为； 经过第二轮传染后，患病人数为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 故每轮传染中平均一人传染11人． 故答案为11． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 【答案】，该方程为 【分析】根据一元二次方程的定义可知，且，求出的值代入即可求得该方程． 【解析】是一元二次方程， 且． 解得． 此一元二次方程为． 【点睛】要注意二次项系数不能为0． 20．（8分）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 【答案】初中组共有支球队参加比赛． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设初中组有支球队参赛，利用比赛总场数参赛球队数参赛球队数，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【解析】设有支球队参赛，则每个队参加场比赛， 则共有场比赛， 由题意得， 整理得： 即 解得：或（舍去） 答：初中组共有支球队参加比赛． 21．（8分）如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 【答案】1小时或小时 【分析】设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意可得，然后解方程即可． 【解析】设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意可得， 整理得， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里． 22．（8分）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；同时，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后，是等腰三角形？ （2）几秒后，P、Q两点相距？ 【答案】（1）秒． （2）10秒后P，Q两点相距． 【分析】（1）设运动时间为秒，用表示出和的长度，根据等腰三角形的定义列方程求解； （2）同样用表示出和的长度，根据勾股定理列方程求解． 【解析】（1）解：设运动时间为秒 则， ， 要使为等腰三角形，需 ，解得 即秒后是等腰三角形． （2）解：∵在中，由勾股定理得， 整理得，解得（舍去） 即秒后、两点相距． 23．（8分）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 【答案】该家庭微信群一共有10人． 【分析】以总收到红包数为等量关系，结合每人发出的红包数比总人数少1，列一元二次方程求解． 【解析】设该家庭微信群一共有人． 每人不能抢自己发的红包，且群内其他微信群成员能收到自己发的红包， 每人发出个红包． 群内共人， 总发出红包数为个． 总收到红包数等于总发出红包数，且总收到90个红包， ． 整理得． 因式分解得， 解得，． 为正整数， 不符合题意，舍去． ． 答：该家庭微信群一共有10人． 24．（8分）某商店销售一款水彩笔，每套的最低售价为12元．若按最低价销售，则每天可卖出30套；若每套的售价提高1元，则日销量将减少2套．要使该商店每天销售这款水彩笔的销售收入为364元，应将售价定为每套多少元？请根据题意列出一元二次方程，并化为一般形式． 【答案】，化为一般形式为． 【分析】设应将售价定为每套元，根据题意表示出日销量，根据销售收入即可列方程． 【解析】设应将售价定为每套元， 根据题意得， 整理得． 25．（9分）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断下列一元二次方程为“C方程”的是________； ①；②；③；④； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”． ①________；（用含有b的代数式表示）②求代数式的最小值． 【答案】（1）①③ （2）① ② 【分析】（1）根据定义，把各方程的常数项 作为 的值代入方程，能使等式成立的就是“C方程”； （2）把 代入 ，整理得 ，由 得 ；再代入 ，用配方法求最小值． 【解析】（1）解：根据定义，把 （即方程中的常数项）代入各方程，看等式是否成立． ①在 中，，把 代入，左边 ，等式成立，是“C方程”； ②在 中，，把 代入，左边 ，等式不成立，不是“C方程”； ③在 中，，把 代入，左边 ，等式成立，是“C方程”； ④在 中，，把 代入，左边 ，等式不成立，不是“C方程”． 故答案为①③． （2）解：①∵方程 是“C方程”， ∴把 代入方程，得 ， 即 ． ∵， ∴， ∴， 即用含 的代数式表示 ； ②把 代入，得 ． ∵， ∴当 时， 取得最小值 ， 此时 ，符合题意， ∴代数式 的最小值为 ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义及配方法求最值．理解“C方程”后，关键是把 代入方程，整理得 ，结合 求出 ；求 的最小值时，关键是将其配方为 ． 26．（9分）如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； （4）如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3） （4） 证明：如图，∵，，过作于， ∴，，D在线段上，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴关于x的一元二次方程必有实数根． 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，再根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． （4）如图，由，，过作于，可得，，D在线段上，利用勾股定理可得，由，再证明即可． 【解析】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）略 （3）当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． （4）略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，配方法的应用，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两不相等实数根 D．无法判断 2．某商品经过两次降价，由每件100元降到每件81元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（ ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 4．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 5．下列关于方程，说法错误的是（ ） A．两个实数根的和为 B．二次项系数为 C．无实数根 D．常数项为 6．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 且 7．对于一元二次方程（，，为常数，且），下列条件：①；②；③．若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（ ） A．① B．①③ C．②③ D．①② 8．关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C． D． 10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A． B． C．或 D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．方程有相等的两个实数根，则________． 12．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13．请写出一个关于的一元二次方程，并满足以下两个条件：①二次项系数为（ ）；②方程必须有两个不相等的实数根．这个一元二次方程可以是________． 14．若关于的一元二次方程无实数根，则的值可以是________（写出一个即可）． 15．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：________． 16．如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 17．某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定________元． 18．秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后，共有144人患支原体肺炎，则每轮传染中平均一人传染________人． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 20．（8分）年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比赛场．试求初中组共有多少支球队参加比赛． 21．（8分）如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 22．（8分）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；同时，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是． （1）几秒后，是等腰三角形？ （2）几秒后，P、Q两点相距？ 23．（8分）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 24．（8分）某商店销售一款水彩笔，每套的最低售价为12元．若按最低价销售，则每天可卖出30套；若每套的售价提高1元，则日销量将减少2套．要使该商店每天销售这款水彩笔的销售收入为364元，应将售价定为每套多少元？请根据题意列出一元二次方程，并化为一般形式． 25．（9分）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断下列一元二次方程为“C方程”的是________； ①；②；③；④； （2）已知关于x的一元二次方程是“C方程”． ①________；（用含有b的代数式表示）②求代数式的最小值． 26．（9分）如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； （4）如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $