第二十五章 一元二次方程 能力测评卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十五章一元二次方程能力测评卷 时间：90分钟 满分:120分 一、选择题(本大题共10 小题，每小题3分，共30分) 1.若方程“□-3=4x”是关于x的一元二次方程，则“□”可以是( ) A.2y² B.2x² C. - 2x D.2² 2.方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A.2,3,1 B.2,-3,1 C.2,3,-1 D.2,-3,-1 3.若关于x的一元二次方程 可化成(x+ 的形式，则b的值为( ) A. - 4 B.4 C.-14 D.14 4. x=1是关于x的一元二次方程 的根，则2a-4b的值为( ) A. - 2 B.-1 C.1 D.2 5.在解关于x的一元二次方程 时，佳佳将-k写成了+k，结果有两个相等的实数根，则原方程( ) A.没有实数根 B.无法判断根的情况 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 6.某厂家某年1 ~5月份销售的电车数量如图所示，设从2月份到4月份，该厂家电车销量的平均月增长率为x，根据题意可得方程( ) 7.如图,E为矩形ABCD 对角线AC上的一点,AE =AB =3,AD=4,则方程 的正数解是( ) A.线段AE 的长 B.线段BE的长 C.线段CE的长 D.线段AC的长 8.某小区计划在一个长 16 m，宽9 m 的矩形场地ABCD 上修建若干条同样宽的小路，竖直的与 AB平行，水平的与AD 平行，其余部分种草.已知草坪部分的总面积为112 m²，设小路宽 xm，若x满足方程 则修建的示意图是( ) 9.已知x₁,x₂ 是方程. 的两个实数根，则代数式 的值是( ) A.4 053 B.4052 C.2026 D.1 10.对于一元二次方程 给出下列说法： ①若a+b+c=0,则 ②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根； ③若c是方程 的一个根，则一定有ac+b+1=0成立; ④若x₀是一元二次方程 的根，则 其中正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.请写出一个有一个根为1 的一元二次方程： . 12.关于x的方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 . 13.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边 CD的长是方程 的一个根，则该菱形 ABCD的周长为 . 14.如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm² 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 cm. 15.如图是用“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”. 按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中“○”的个数是“●”个数的3倍. 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16.(12分)解下列方程: (2)2(x-3)=3x(x-3); 17.(6分)用配方法解一元二次方程 小明同学的解题过程如下： 小明同学的解题过程是否正确?若正确，请回答“正确”；若不正确，请写出正确的解题过程. 18.(8分)已知关于x的一元二次方程 1=0. (1)求证：方程总有实数根. (2)设方程的两个根分别为x₁，x₂，求 1)的值. 19.(8分)》新趋势·传统文化对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .某人要装裱一副对联,对联的长为100 cm,宽为30 cm.若要求装裱后的对联面积为6 000 cm²，求边的宽和天头长. 20.(9分)如图,在矩形 ABCD 中,AB =5cm ,BC =6cm,点P 从点A 开始沿边AB 向点 B 以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以2cm /s的速度移动.当点 Q 运动到点 C时，两点停止运动.设运动时间为 t s. (1)BQ= cm,PB = cm.(用含 t的代数式表示) (2)是否存在t的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm²?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 21.(10分)喜迎国庆，实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”——校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是“探趣科学·科技改变未来”.活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI交换功能智能摆件.根据以下素材，探索完成任务. 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60 元，当每个的售价为100元时，平均每天可以售出20 个. 素材2 当每个降价1元时，平均每天就能多售出2 个. 问题解决 任务1 当每个智能摆件降价8元时，求平均每天 销 售智能摆件获得的利润. 任务2 当每天获得的利润达到1 050元，且优惠力度最大时，求每个智能摆件的售价. 任务3 判断每个智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1 200元的利润能否实现.若能，求出每个智能摆件的售价；若不能，请说明理由. 利润率 学科网（北京）股份有限公司 22.(10分)为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，某人决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”组织.假定从一个人开始号召，平均每个人每周能够号召m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”. (1)求m的值. (2)在(1)的条件下，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而且他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人.请分别求出他们三人号召的成功率. 23.(12 分)定义：我们把关于 x 的一元二次方程 与 称为一对“友好方程”.如： 的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程 的“友好方程”: . (2)已知一元二次方程 的两根分别为 它的“友好方程”的两根分别为 根据以上结论，猜想 的两根x₁，x₂与其“友好方程” 的两根x₃,x₄之间存在的一种特殊关系为 ，请证明你的结论. (3)已知关于x的方程： 的两根分别是 请利用(2)中的结论，直接写出关于x的方程 2 026的两根. 第二十五章一元二次方程能力测评卷 时间：90分钟 满分:120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.若方程“□-3=4x”是关于x的一元二次方程，则“□”可以是(B) A.2y² B.2x² C. - 2x D.2² 2.方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(D) A.2,3,1 B.2,-3,1 C.2,3,-1 D.2,-3,-1 3.若关于x的一元二次方程 可化成(x+ 的形式，则b的值为(D) A. - 4 B.4 C.-14 D.14 4. x=1是关于x的一元二次方程 的根，则2a-4b的值为(A) A. - 2 B. - 1 C.1 D.2 5.在解关于x的一元二次方程 时，佳佳将-k写成了+k，结果有两个相等的实数根，则原方程(D) A.没有实数根 B.无法判断根的情况 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 6.某厂家某年1 ~5月份销售的电车数量如图所示，设从2月份到4月份，该厂家电车销量的平均月增长率为x，根据题意可得方程(B) 7.如图,E为矩形ABCD 对角线AC上的一点,AE =AB =3,AD=4,则方程 的正数解是(C) A.线段AE 的长 B.线段BE的长 C.线段 CE 的长 D.线段AC的长 8.某小区计划在一个长 16 m，宽9 m 的矩形场地ABCD 上修建若干条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草.已知草坪部分的总面积为112 m²，设小路宽 x m，若x满足方程 则修建的示意图是(C) 9.已知x₁,x₂ 是方程: 的两个实数根，则代数式 的值是(A) A.4 053 B.4052 C.2026 D.1 10.对于一元二次方程 给出下列说法： ①若a+b+c=0,则 ②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根； ③若c是方程 的一个根，则一定有ac+b+1=0成立; ④若x₀是一元二次方程 的根，则 其中正确的有 (B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.请写出一个有一个根为1 的一元二次方程： (答案不唯一). 12.关于x的方程 有两个不相等的实数根,则a的取值范围是a>-1且a≠3 . 13.若菱形 ABCD 的一条对角线长为8，边 CD 的长是方程 的一个根，则该菱形 ABCD的周长为 24 . 14.如图是一张长 12 cm,宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm² 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 2 cm. 15.如图是用“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”. 按照此规律继续摆下去，第 12 个“小屋子”中“○”的个数是“●”个数的3 倍. 选择题、填空题答题区 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D A D B C C A B (答案不唯一) 12. a>-1且a≠3 13. 24 14. 2 15. 12 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16.(12分)解下列方程: 解:两边直接开平方,得x-1=±2, 所以x-1=2或x-1=-2, 所以 (4分) (2)2(x-3)=3x(x-3); 解:移项,得2(x-3)-3x(x-3)=0, 因式分解,得(x-3)(2-3x)=0, 所以x-3=0或2-3x=0, 所以 (4分) 解：移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 即 所以 所以 (4分) 17.(6分)用配方法解一元二次方程 小明同学的解题过程如下： 解：原方程可化为 小明同学的解题过程是否正确?若正确，请回答“正确”；若不正确，请写出正确的解题过程. 解：小明同学的解题过程不正确. (2分) 正确的解题过程如下： 原方程可化为 移项，得 配方，得 两边直接开平方，得 (4分) 所以 或 所以 (6分) 18.(8分)已知关于x的一元二次方程 1=0. (1)求证：方程总有实数根. (2)设方程的两个根分别为x₁,x₂,求 1)的值. (1)证明:∵ ∴方程总有实数根. (4分) (2)解：∵方程的两个根分别为x₁,x₂, (5分) (8分) 19.(8分)》新趋势·传统文化对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .某人要装裱一副对联,对联的长为100 cm,宽为30 cm.若要求装裱后的对联面积为6 000 cm²，求边的宽和天头长. 解:设天头长为6x cm,则地头长为4x cm,左、右边的宽为 xcm, 根据题意,得(100 +6x+4x) ×(30 +x+x) =6000, 解得 (舍去) ∴6x=6×5=30. 答:边的宽为5cm,天头长为30cm.(8分) 20.(9分)如图,在矩形 ABCD 中,AB =5cm ,BC =6cm,点P 从点A 开始沿边AB 向点 B 以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以2cm /s的速度移动.当点 Q 运动到点 C时，两点停止运动.设运动时间为 ts. (1)BQ = 2t cm,PB = (5-t) cm.(用含 t的代数式表示) (2)是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26 cm²?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 解:(1)2t (5-t)(2分) (2)存在.(4分) 根据题意，得 所以 整理，得 解得 (7分) 因为0≤t≤3,所以t=1, 所以当 t =1 时,五边形 APQCD 的面积等于26 cm².(9分) 21.(10分)喜迎国庆，实验中学开展“摊”玩计划，万市大“集”——校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是“探趣科学·科技改变未来”.活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的AI 交换功能智能摆件.根据以下素材，探索完成任务. 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当每个的售价为100元时，平均每天可以售出20 个. 素材2 当每个降价1元时，平均每天就能多售出2个. 问题解决 任务1 当每个智能摆件降价8元时，求平均每天销售智能摆件获得的利润. 任务2 当每天获得的利润达到1050元，且优惠力度最大时，求每个智能摆件的售价. 任务3 判断每个智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1200元的利润能否实现.若能，求出每个智能摆件的售价；若不能，请说明理由. 利润率 解：任务1 由题意得，平均每天销售智能摆件获得的利润为(100-8-60)×(20+2×8) =1 152(元). 答：平均每天销售智能摆件获得的利润为 1 152元.(2分) 任务2 设每个智能摆件降价x元， 由题意,得(100-x-60)(20+2x) =1050, 解得 ∵优惠力度最大,∴x=25,∴100-25=75(元). 答：每个智能摆件的售价为75 元.(6分) 任务3 每个智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1 200 元的利润不能实现.理由如下：设每个智能摆件降价y元， 由题意，得((100-y-60)(20+2y) =1 200,解得 ∵每个智能摆件的利润率不低于55%， ∴100-y-60≥55%×60,∴y≤7, ∴y的取值不符合要求， ∴每个智能摆件的利润率不低于55%，且企业每天获得1 200元的利润不能实现.(10分) 22.(10分)为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，某人决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”组织.假定从一个人开始号召，平均每个人每周能够号召m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”. (1)求m的值. (2)在(1)的条件下，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而且他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人.请分别求出他们三人号召的成功率. 解：(1)根据题意，得m(m+1) +m+1 =121,即 (3分) ∴m+1 = ±11,解得 舍去).(4分) 答:m的值为10.(5分) (2)根据题意，得小颖号召了n人，小丽号召了(n+2)人,小红号召了[17-(n+2) -n] = (15 -2n)人. 由(1)知m=10，∴小颖的成功率为 小红的成功率为 小丽的成功率为 ∵小红的成功率比小颖的两倍少10%， 解得n=4,(8分) ∴小颖的成功率为 小红的成功率为 小丽的成功率为 (10分) 23.(12 分)定义：我们把关于 x 的一元二次方程 与 称为一对“友好方程”.如 的“友好方程”是 (1)写出一元二次方程 的“友好方程”: (2)已知一元二次方程 的两根分别为 它的“友好方程”的两根分别为 根据以上结论，猜想 的两根x₁，x₂与其“友好方程’ 的两根x₃,x₄之间存在的一种特殊关系为互为倒数，请证明你的结论. (3)已知关于x的方程 的两根分别是 请利用(2)中的结论，直接写出关于x的方程 2 026的两根. 解： (2分) 互为倒数 (6分) 证明：解方程 得x₁=二b+ -4ac,x₂=-b- ²=4ac, 解方程 得 所以 故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数.(8分) (12分) 因为方程 的两根分别是 所以其“友好方程” 2026=0的两根分别为 (x- 即 2026=0,将(x-1)看作整体,则x-1 = -1 或x-1 =2 026,所以 学科网（北京）股份有限公司 $