第二章 一元二次方程（单元自测卷·深圳专用）数学新教材北师大版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第二章 一元二次方程 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 6．深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．关于的方程有实数根，则满足（    ） A． B．且 C．且 D． 8．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若将一元二次方程化成的形式，则的值为______． 10．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为________． 11．已知一元二次方程的两个根为m和n，则的值为____ ． 12．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 13．若，其中为实数且，，则____________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解：第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴  第二步 ∴ 第三步 即， 第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 15．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 16．（9分）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 17．（8分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 18．（8分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 19．（12分）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 20．（12分）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试卷 第5页（共6页） 试卷 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（深圳专用） 第二章一元二次方程（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.5 10,13或913或9 11.2024 12.15 13.3 三、解答题（共7小题，共61分） 14.(6分)【详解】(1)一，一；…2分 (2)解：选甲的方程： .(x+1)=2(x+) :(x+1-2(x+1)=0 :6x+16x+1-2）=0 即x+1x-1)=0 3分 .x+1=0或x-1=0, :51专=1 ;6分 选乙的方程： 2x2+3x=-1, .2x2+3x+1=0, 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a=2,b=3,C=1,3分 △=32-4×2×1=1>0， -3±Vf-3±1 x= 2×24, 1 X=-1,=-2,6分 15.(6分)【详解】(1)证明：由题意可得： △=[-(k+4)]了-4×1×(2k+4) =k2+8k+16-8k-16 =k2 1分 .k2≥0 △≥0 .该方程总有两个实数根；3分 X x2 (2)解：，该方程的两个实数根为， :+5=+45=2k+4 .4分 :(G-2-2) =xx2-2x-2x2+4 =x2-2(x+x2)+4 =2k+4-2(k+4)+4 =2k+4-2k-8+4 =0.6分 16.(9分)【详解】解：(1)①：可建围墙（不包括门）的总长为52米，且AB边长为x米， .BC边长为： 52+2-3x=(54-3x)m 2分 2/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②根据题意得：(54-3)=240,3分 整理得：x2-18x+80=0, 解得： x1=8,x2=10 4分 答：饲养室总占地面积能为240平方米，此时AB的长为8米或10米；5分 (2)设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x1+)只鸡被 传染，依题意得： 1+x+x1+x)=64,7分 整理得： 1+x)2=64 x1=7,x2=-9 解得： (不符合题意，舍去)， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡.9分 17.(8分)【详解1Q)解：4=-8x+9=-8x+16-16+9=(-4-7,…1分 .(x-4)}≥0 (x-4-7≥-7 当=4时，(-4-7有最小值，最小值为-7，即4的最小值为-7.…2分 (2)3x2-2x+5>2x2+4x-6,理由如下： 3x2-2x+5-(2r2+4x-6)=2-6x+11=(c-3}+2 ,3分 .(x-3)}'≥0 :x-3+2≥2>0 .3x2-2x+5>2x2+4x-6.4分 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：由题意得：CM=4-t,CN=2t, :5-32×4-）=+=-6-2+4,5分 .(-2}'≥0 :(-2}s0 :(-2}+4s4 7分 :当=2时，--2+4有最大值，最大值为4.即：当t的值为2时，△MCV的面积最大，最大值为 4cm2.8分 18.(8分)【详解】③.1分 (3)2,3,1或3.8分 19.(12分)【详解】(1)①③.2分 x-2)x+n)=0 (2)解：解方程 0得：=2名=- ,3分 该方程是“邻根方程”， 2-（←0）=l或n-2=1,4分 解得：n=-1或n=-3.5分 (3)解：·一元二次方程ax2+br+c=0为“邻根方程”， b2-4ac>0,6分 :设方程a2+b饭+c=0的两个根为专则+巧=合，与与 a’k-x=1,8分 :(-x)}= ，9分 6-矿-6+-(8誓 a a 4/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b2-4ac=a2.12分 20.(12分)【详解】(1)1.5，-2.5：2分 4 ②3；4分 (2)解：实数m、n、t满足：m2-4m=11+t,n2-4n=11+t .∴.mn 2-4x-11-t=0 ,是方程 的解，6分 .m+n=4,mn=-11-t,7分 ∴.(m+1D(n+1)=mn+m+n+1=-t-6 8分 :0<m<n, △=16-4x1×-H1-0>0,mm=-11-1>0,…9分 解得-15<t<-11,10分 5<-t-6<9, .5<(m+1)(n+1)<9 12分 5/5 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第二章 一元二次方程 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合； ，当时，不是一元二次方程，故B不符合； 一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合； 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程， 故选：D． 2．关于x的一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：原方程整理为标准形式：. 其中，二次项为，一次项为，常数项为. 故选：C． 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【详解】解：方程的判别式为， 则方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 故选：C. 5．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【详解】解：关于的一元二次方程的解是，， 关于的方程的解为或， 解得：或， 关于的方程的解为或2． 故选：C． 6．深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：空地的宽为x米，则长为米，铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米， 根据题意，得． 故选：A． 7．关于的方程有实数根，则满足（    ） A． B．且 C．且 D． 【详解】解：分类讨论： ①当，即时，方程变为，此时方程为一元一次方程，一定有实数根； ②当，即时，此时方程为一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得． ∴的取值范围为． 故选：A． 8．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若将一元二次方程化成的形式，则的值为______． 【详解】解：原方程， 配方得， 即， 与形式对比， 得，， ∴． 故答案为：5． 10．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为________． 【详解】解： 解得， 当为的两直角边时，第三条边长为； 当为的一条直角边和一条斜边时，第三条边长为； 故答案为：13或． 11．已知一元二次方程的两个根为m和n，则的值为____ ． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∴ ； 故答案为：2024． 12．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 【详解】解：设储藏个星期再出售这批农产品可获利122000元，由题意得 农产品的成本：(元/吨)， ， 整理得：， 解得：； 故答案为：15． 13．若，其中为实数且，，则____________． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解：第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴  第二步 ∴ 第三步 即， 第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 【详解】（1）解：甲同学第一步开始出现错误，漏了的情况；乙同学第一步开始出现错误，没有把方程转化为一般式，误得到， 故答案为：一，一； （2）解：选甲的方程： ∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 选乙的方程： ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 15．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 16．（9分）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：饲养室总占地面积能为240平方米，此时的长为8米或10米； （2）设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染，依题意得： ， 整理得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 17．（8分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2），理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 18．（8分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【详解】（1）解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． （2）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． （3）解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 19．（12分）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 20．（12分）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(深圳专用) 第二章 一元二次方程 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 6．深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．关于的方程有实数根，则满足（    ） A． B．且 C．且 D． 8．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若将一元二次方程化成的形式，则的值为______． 10．已知方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为________． 11．已知一元二次方程的两个根为m和n，则的值为____ ． 12．一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 13．若，其中为实数且，，则____________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14．（6分）下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解：第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴  第二步 ∴ 第三步 即， 第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 15．（6分）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 16．（9分）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 17．（8分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 18．（8分）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 19．（12分）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 20．（12分）材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $