第五单元 平行四边形和梯形（复习课件）数学人教版四年级上册（新教材）

单元复习课件 小学数学·四年级上册·人教版·新教材 第五单元： 平行四边形和梯形 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 单元知识框架 单元知识框架 单元知识框架 知识点1： 平行与垂直 1 平行与垂直 1．在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2．平行 （1）定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）表示方法：直线a平行于直线 记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）核心特征：①两条直线延长后永远不会相交；②平行线之间的距离处处相等。 知识点梳理 3．垂直 （1）定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。 （2）表示方法：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 （3）核心特征：①垂直是相交的一种特殊情况。②判断垂直的依据是夹角是否为90°。 知识点梳理 4．重要性质 （1）从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 （2）两条平行线之间的垂直线段长度都相等，即平行线间的距离处处相等。 （3）应用实例： ①测定跳远成绩时，测量的是落地点到起跳线的垂直距离。 ②修路时，从村庄到公路修一条最短的路，应修垂直于公路的路线。 知识点梳理 5．垂线与平行线的画法 （1）画平行线 ①工具：三角尺、直尺。 ②步骤（过直线外一点画已知直线的平行线） 重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 靠紧：用直尺靠紧三角尺的另一条直角边。 平移：固定直尺，沿直尺方向平移三角尺，直到三角尺的原直角边经过已知点。 画线：沿三角尺的直角边画直线。 知识点梳理 （2）画垂线 ①工具：三角尺、直尺。 ②步骤（过直线上或直线外一点画已知直线的垂线)： 边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； 平移找点：平移三角尺找到直线上的点； 画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 知识点梳理 6．画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 步骤： （1）用三角尺先画一个直角。 （2）用圆规在直角的两条边上截出相应的长和宽。 （3）分别过B点和D点作垂线。 知识点梳理 【易错点】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 知识点梳理 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点梳理 【典型例题1】下面是某区域地图的一部分。请仔细观察后回答问题。 （1）写出两组互相垂直的道路。 （2）写出两组互相平行的道路。 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，据此解答。 【详解】（1）由图可知，人民路和建设路，长安路和永康路，人民路和长安路，建设路和永康路都互相垂直，写出两组即可。 （2）由图可知，长安路和建设路，人民路和永康路都互相平行。 考点01：平行与垂直的特征及性质 重难点题型精讲 【典型例题2】如图，点E、F、G、H分别是长方形ABCD四条边上的中点，点O是图形的中心，EO＝5厘米，OH＝8厘米。 （1）EF与GH互相（ ），EG与FH互相（ ）。 （填“平行”或“垂直”） （2）点A到BC的距离是（ ）厘米，点A到DC的距离是（ ）厘米。 （1）在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。 平行 垂直 重难点题型精讲 【典型例题2】如图，点E、F、G、H分别是长方形ABCD四条边上的中点，点O是图形的中心，EO＝5厘米，OH＝8厘米。 （1）EF与GH互相（ ），EG与FH互相（ ）。 （填“平行”或“垂直”） （2）点A到BC的距离是（ ）厘米，点A到DC的距离是（ ）厘米。 （2）点F是AB的中点，点O是图形的中心，AF＝FB＝EO＝5厘米， 5×2＝10（厘米） ； 点E是AD的中点，点O是图形的中心，AE＝ED＝OH＝8厘米， 8×2＝16（厘米） 。 平行 垂直 10 16 重难点题型精讲 【练习1】我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔画的是（ ）。 A．三 B．小 C．上 D．下 A．“三”的三个横互相平行，没有相交成直角的笔画，只有平行没有垂直，不符合要求。 B．“小”的笔画间既没有互相平行的，也没有互相垂直的，不符合要求。 变式巩固练习 【练习1】我国的汉字博大精深，汉字的笔画中也蕴含着数学知识，有些汉字的笔画存在互相平行或互相垂直的位置关系。下面的汉字中，既有互相平行的笔画，又有互相垂直的笔画的是（ ）。 A．三 B．小 C．上 D．下 C．“上”的两个横互相平行，竖和两个横都互相垂直，既有平行又有垂直，符合要求。 D．“下”的横和竖互相垂直，只有1个横，没有互相平行的笔画，不符合要求。 C 变式巩固练习 【练习2】幸福村要修一条公路与国道连接，如图所示，这样修能使路最近。这里用到的数学知识是（ ）。 A．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 B．平行线之间的距离处处相等。 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 A．图里修的是从幸福村到国道的垂直线段，对应的数学知识是：过直线外一点到这条直线的垂直线段最短，符合题意。 B．平行线之间的距离处处相等。平行线的相关性质，本题没有涉及平行线，不符合题意； 变式巩固练习 【练习2】幸福村要修一条公路与国道连接，如图所示，这样修能使路最近。这里用到的数学知识是（ ）。 A．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 B．平行线之间的距离处处相等。 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短，本题是点到直线的最短距离问题，不是两点间连线，不符合题意； D．两点确定一条直线，是确定直线的规则，和“路最近”的要求无关，不符合题意； A 变式巩固练习 【典型例题】亮亮每周日都去进行游泳训练，一次他游到游泳池的A点后，想要尽快上岸，怎样游的距离是最短的？请你画一画。 【分析】从直线外一点到这条直线的所有连线里，和这条直线垂直的线段长度是最短的。观察图里A点的位置，它离左侧的岸边最近，所以只要从A点向左边的岸边画垂直线段，沿着这条线游上岸，路程就是最短的。 考点02：画平行线、垂线 重难点题型精讲 【练习】点A代表幸福村，直线BC代表幸福村旁边的一条公路。 （1）请设计一条路，使它既经过村子，又与公路平行。 （2）请再设计一条连接幸福村与公路BC最近的路。 变式巩固练习 【典型例题】（1）在方格纸中画一个长5厘米、宽3厘米的长方形。 （2）在方格纸中画一个边长4厘米的正方形。 考点03：画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 重难点题型精讲 【练习】按要求作图。 下面两条直线互相平行，利用它们画一个正方形。 变式巩固练习 知识点2： 平行四边形 2 平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 2．特征 （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 知识点梳理 3．特殊平行四边形： （1）长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； （2）正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 4．画平行四边形：在方格纸上选取四个点，确保对边平行且相等，连线即可。 知识点梳理 【易错点】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满足“两组对边都平行”。 （2）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点梳理 【典型例题】平行四边形的一条边长8厘米，比邻边长3厘米，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 考点04：平行四边形的概念及特点 由题意可知：8厘米的边的邻边的长度是8－3＝5（厘米），依据平行四边形的周长公式＝（一条边＋它的邻边）×2，代入数据即可求解． （8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 26 重难点题型精讲 【练习1】将一个平行四边形分割成2个图形，不可能出现的是（ ）。 A．两个梯形 B．两个平行四边形 C．一个三角形和一个平行四边形 D．两个三角形 A．在平行四边形一组对边之间画一条不平行于另一组对边、也不经过顶点的线段，能得到两个梯形，不符合题意。 B．画一条平行于平行四边形任意一组对边的线段，能得到两个平行四边形，不符合题意。 变式巩固练习 【练习1】将一个平行四边形分割成2个图形，不可能出现的是（ ）。 A．两个梯形 B．两个平行四边形 C．一个三角形和一个平行四边形 D．两个三角形 C．如果要分割出三角形，切割线需要经过平行四边形的1个顶点且和对边相交，剩余的图形是梯形，无法得到平行四边形，不可能出现；符合题意。 D．沿平行四边形的对角线切割，能得到两个三角形，不符合题意。 C 变式巩固练习 【练习2】如下图，从3根8厘米的小棒和3根7厘米长的小棒中选出4根围成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是（ ）厘米。 平行四边形的特点是两组对边分别相等，要选4根小棒的话，需要2根长度一样的小棒当一组对边，再选另外2根长度一样的当另一组对边。 （8＋7）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 这个平行四边形的周长是30厘米。 30 变式巩固练习 知识点3： 梯形 3 梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的一组对边叫做梯形的腰。 3．特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直。 知识点梳理 4．画梯形 步骤： （1）画两条互相平行的线段，长度不等（分别为上底和下底）。 （2）连接两条线段的端点。 （3）若画直角梯形，需保证一条腰与底垂直； 若画等腰梯形，需保证两腰长度相等。 知识点梳理 【易错点】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 知识点梳理 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 知识点梳理 【典型例题】8根小棒交叉摆放（如图），其中，，涂色部分是4个四边形，③是平行四边形，那么①是（ ）。 A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；据此解答即可。 由图可知，，①只有一组对边平行，是梯形。 考点05：梯形的概念及特点 A 重难点题型精讲 【练习1】在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个不可能是（ ）。 A．平行四边形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形 过梯形上底的顶点作腰的平行线剪开，可得到平行四边形和三角形； 过上底中间的点作腰的平行线剪开，可得到平行四边形和梯形（包括直角梯形、等腰梯形）。 梯形只有一组对边平行，剪一刀无法得到两个平行四边形，因此另一个不可能是平行四边形。 综上所述在一张梯形纸上剪一刀，剪下的图形中有一个是平行四边形，另一个不可能是平行四边形。 A 变式巩固练习 【练习2】一个梯形，上底是4厘米，如果上底延长3厘米，这个梯形就变成了正方形。这个梯形的下底是（ ）厘米。 梯形中只有一组对边平行，正方形的两组对边平行，4条边相等。将梯形的上底延长3厘米，变为4+3=7厘米，这个梯形就变成正方形，则正方形的边长为7厘米。这个梯形的下底等于正方形的边长。 7 变式巩固练习 【典型例题】过道两边各有一个等腰梯形的水池（如图），梯形的上底和腰都是6米，下底是10米。如果在两个水池四周围上栏杆，栏杆一共长多少米？ 【分析】根据梯形周长＝上底＋下底＋腰＋腰，求出一个等腰梯形水池的周长，再乘2，求出在两个水池四周围上栏杆的总长度。 考点06：直角梯形和等腰梯形 重难点题型精讲 【典型例题】过道两边各有一个等腰梯形的水池（如图），梯形的上底和腰都是6米，下底是10米。如果在两个水池四周围上栏杆，栏杆一共长多少米？ 【详解】（6＋10＋6＋6）×2 ＝（22＋6）×2 ＝28×2 ＝56（米） 答：栏杆一共长56米。 考点06：直角梯形和等腰梯形 重难点题型精讲 【练习1】一个等腰梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，它的周长是16厘米，那么等腰梯形的一条腰长是多少厘米？ 【分析】梯形的周长等于上底、下底与两条腰的长度之和。根据题意，先用周长减去上底和下底的长度，求出两条腰的总长度，再除以2即可求出一条腰的长度。 【详解】(16-3-5)÷2 =(13-5)÷2 =8÷2 =4（厘米） 答：等腰梯形的一条腰长是4厘米。 变式巩固练习 【练习2】王悦家的菜园是一个平行四边形，如图，则这 块菜园的周长是（ ）米，根据地形，妈妈将菜园扩 建成一个梯形ABCE，扩建后的菜园是个（ ）梯形， 这个梯形的高是（ ）米，平行四边形ABCD中BC边上的高是（ ）米。 平行四边形的周长：（6＋4）×2＝10×2＝20（米） 扩建后的梯形ABCE中，∠CED＝90°，所以这是一个直角梯形。 梯形的高就是两底BC和AE之间的垂直距离，是3米； 平行四边形ABCD中，BC边上的高与梯形的高相同，也是3米。 20 直角 3 3 变式巩固练习 【典型例题】按要求画一画。（小方格的边长均表示1cm） （1）增加一个点D，连接四个点，使四边形ABCD是一个等腰梯形，并标出高。 （2）画一个底长5厘米，高4厘米的平行四边形。 （3）在所画的平行四边形中画一条线，将其分成一个直角梯形和一个三角形。 考点07：画平行四边形、梯形 重难点题型精讲 【练习】下面每个小方格的边长表示1厘米，按要求画出对应图形。 （1）上底2厘米，下底4厘米，高3厘米的梯形。 （2）面积是10平方厘米的平行四边形。 变式巩固练习 知识点4： 四边形的分类和关系 4 四边形的分类和关系 知识点梳理 关键结论： （1）四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； （2）平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； （3）长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； （4）正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 知识点梳理 【易错点】 （1）平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 知识点梳理 【典型例题】奇思把下面7个四边形分成了三类，按这个标准，图形 应该分到第（ ）类。 A．① B．② C．③ D．以上都不符合 ①是没有互相平行的边；②只有一组对边互相平行（梯形）；③有两组对边互相平行（平行四边形，长方形、正方形属于特殊平行四边形）。题中图形是梯形，归入第②类。 考点08：四边形的分类和关系 B 重难点题型精讲 【练习1】下面的包含关系表示错误的是（ ）。 A．四边形包含梯形，梯形包含等腰梯形，这个包含关系是正确的。 B．等边三角形属于特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形，这个图的包含关系画反了，不正确。 C．平行四边形包含长方形，长方形包含正方形，这个包含关系是正确的。 D．梯形和平行四边形，二者是并列关系，都属于四边形，四边形包含平行四边形和梯形，这个包含关系是正确的。 B 变式巩固练习 【练习2】在一个梯形中画一条线段，将这个梯形分成两个图形，这两个图形不可能是（ ）。 A．两个梯形 B．一个三角形和一个梯形 C．一个平行四边形和一个梯形 D．两个平行四边形 A．在梯形上底和下底各取一点（非端点），画一条和两腰都不平行的线段，可得到两个梯形，能实现；不符合题意； B．从梯形上底的一个端点向下底上的某一点（非端点）画线段，可得到一个三角形和一个梯形，能实现；不符合题意； 变式巩固练习 【练习2】在一个梯形中画一条线段，将这个梯形分成两个图形，这两个图形不可能是（ ）。 A．两个梯形 B．一个三角形和一个梯形 C．一个平行四边形和一个梯形 D．两个平行四边形 C．过梯形上底的一个点（非端点）画一条和其中一条腰平行的线段，交下底于一点（非端点），可得到一个平行四边形和一个梯形，能实现；不符合题意； D．梯形只有一组对边平行，要得到两个平行四边形，每个平行四边形都需要两组对边分别平行，无法通过画一条线段实现；符合题意。 D 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $