第五单元 平行四边形和梯形（单元复习课件）数学人教版四年级上册（新教材）

单元复习课件 小学数学·四年级上册·人教版 第五单元 平行四边形和梯形 shuxue 单元知识框架 核心知识梳理 典型例题巩固 历年真题提升 复习总览 单元知识框架 平行四边形和梯形 1.平行和垂直 2.平行四边形和梯形 垂直的定义及特征 画垂线 平行的定义及特征 画平行线 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 点到直线的距离 平行四边形的概念及特点 平行四边形的切拼 梯形的概念及特点 画平行四边形 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 四边形的分类及关系 画梯形 单元知识框架 知识点1 平行的定义及特征 1.定义：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 “同一平面内”是判断平行的前提，不在同一平面的直线即使不相交，也不叫互相平行。 2.符号表示：直线a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。 平行的定义及特征 1 核心知识梳理 3.核心特征 （1）平行线无论怎样延长都不会相交； （2）两条平行线之间的垂直线段长度都相等，即平行线间的距离处处相等； （3）同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行； （4）两条平行线之间可以画无数条垂直线段，这些线段互相平行且长度相等。 4.生活实例： 铁轨轨道、黑板的上下对边、斑马线、双杠横杆等。 平行的定义及特征 1 核心知识梳理 【典型例题1】数一数。 上图中有_________组平行线。 【分析】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；据此解答。 【详解】根据分析如图： 观察发现a与b互相平行，c与d互相平行，c与e互相平行，c与f互相平行，d与e互相平行，d与f互相平行，e与f互相平行，所以图中有7组平行线。 7 典型例题巩固 【历年真题1】（25-26•湖南长沙•期末）两条线段互相平 行，我们说这是一组平行线段。下图中共有( )组平行 线段。 【详解】看图可知，该图是由一个梯形和一个长方形组成。梯形的上底和下底互相平行；长方形的上下两条边互相平行；梯形的上底和长方形的上面那条边互相平行；长方形的左右两条边互相平行； 综上所述，一共有4组平行线段。 4 历年真题提升 知识点2 垂直的定义及特征 1.定义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，两条直线的交点叫做垂足。 2.符号表示：直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 垂直的定义及特征 2 核心知识梳理 3.核心特征 （1）两条直线垂直时，相交形成的4个角都是直角，且只有1个垂足； （2）垂直是相交的特殊情况，判断垂直只看相交是否成直角，与直线的摆放方向无关； （3）一条直线有无数条垂线。 4.生活实例： 墙角的两条棱、课本相邻的两条边、十字路口的道路、桌角的边等。 垂直的定义及特征 2 核心知识梳理 【典型例题2】下列各组直线中，互相平行的是( )，相交的是( )，在相交直线中，互相垂直的是( )。 【分析】在同一个平面内，永不相交的两条直线是平行线； 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。 【详解】由分析，可知如图的4组直线中： 互相平行的是②； 第③组直线延长后相交，所以相交的是①③④； 在相交的直线中，互相垂直的是④。 ② ①③④ ④ 典型例题巩固 【历年真题2】（25-26•贵州贵阳•期末）下列各图中既有互相平行又有互相垂直的线段是选项（ ）。 【分析】平行：两条线段永不相交；垂直：两条线段相交形成直角。 【详解】A．普通五边形，无线段互相垂直，不符合； B．圆由曲线构成，不存在线段，不符合； C．直角三角形，只有互相垂直的两条直角边，没有平行线，不符合； D．直角梯形，上下两条底边互相平行，左侧竖腰与上下底相交成直角，互相垂直，既有平行线又有垂直线。 D 历年真题提升 知识点3 画垂线 1.作图工具：三角尺（利用直角边）、量角器，其中三角尺画法最简便。 2.过直线上一点画垂线 （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线平移三角尺，使三角尺的直角顶点和已知点重合； （3）沿三角尺的另一条直角边画直线，最后标出直角符号。 画垂线 3 核心知识梳理 3.过直线外一点画垂线 （1）把三角尺的一条直角边与已知直线重合； （2）沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点； （3）沿该直角边画直线，最后标出直角符号。 4.结论：过一点（直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直。 画垂线 3 核心知识梳理 【典型例题3】画一条长4厘米的线段AB，然后在线段AB上任选一点C，再过C点画它的垂线。 【答案】 （画法不唯一） 【分析】先把直尺平放在纸上，在直尺0刻度 位置点一个点，标记为A，再找到直尺4厘米的刻度位置点一个点，标记为B，用直线把A、B两点连起来，就得到长4厘米线段AB。 在AB线段上随便选一个点，标记为C。 把三角板的一条直角边紧紧对齐线段AB，慢慢移动三角板，让三角板另一条直角边刚好经过点C，沿着这条经过C直角边画一条直线，这条线就是过C点的AB的垂线。 典型例题巩固 【历年真题3】（25-26•河北邢台•期末）过点C画直线AB的垂线。 【分析】过点C画直线AB的垂线方法：先把三角尺的一条直角边与直线AB重合；沿着直线移动三角尺，使点C在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画 上垂直符号。这条直线就是直线AB的垂线。 【详解】作图如下： 历年真题提升 知识点4 点到直线的距离 1.定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 2.核心结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂直线段最短。 点到直线的距离 4 核心知识梳理 3.实际应用 （1）过马路时，走垂直于斑马线的路线路程最短； （2）从村庄修通往公路的最短水泥路，作垂直线段即可； （3）跳远成绩测量，是测量落脚点到起跳线的垂直线段长度。 点到直线的距离 4 核心知识梳理 【典型例题4】如下图所示，在三角形ABC中， 点C到线段AB最近的距离是线段( )。 【分析】点到直线的所有的连线中，垂直线段最短；据此填空即可。 【详解】据分析可知，在三角形ABC中，点C到线段AB最近的距离是线段CD。 CD 典型例题巩固 【历年真题4】（24-25•上海静安•期末）要从幸福 新村修一条通往公路的水泥路，怎样修路最近呢？ 请把最短的路线画出来。 【答案】 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂 直线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使修路最近，则从幸福新村向公路作垂线，这条垂线即为所求。 历年真题提升 知识点5 画平行线 1.作图工具：直尺或三角尺 2.画法一：沿着直尺两侧画直线或在方格纸上沿横线、竖线画，保证间距相等即可得到平行线。 画平行线 5 核心知识梳理 3. 画法二：用两把三角尺 （1）固定一把三角尺（记为三角尺A），将另一把三角尺（记为三角尺B）的一条直角边紧贴三角尺A的某条边。 （2）沿三角尺B的另一条直角边画一条直线。 （3）保持三角尺A固定，沿三角尺A与三角尺B贴合的边平移三角尺B。 （4）沿三角尺B原来画线的直角边再画一条直线，这两条直线即为平行线。 画平行线 5 核心知识梳理 【典型例题5】过M点分别作AB的垂线和平行线。 【答案】 【分析】把三角尺的一条直角边与图中的直线重合， 沿着直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边与 点M重合，沿着三角尺的另一条直角边画出一条直线，即为过点M作已知直线的垂线； 过直线外一点画已知直线的平行线：一放：放三角板，使三角板的一条直角边与已知直线重合；二靠：把直尺靠在三角板的另一条直角边上；三推：直尺固定不动，沿着直尺推动三角板，使三角板的直角边过点M；四画：沿着三角板的直角边画线。 典型例题巩固 【历年真题5】（24-25•海南省直辖县级单位•期末） 如图，过A点画两条已知直线的平行线。 【答案】 【分析】将三角板的一条直角边与其中一条已知直线 重合，另一条直角边紧靠直尺，平移三角板直至其直 角边经过A点，沿该直角边过A点画直线，即可得到 与该已知直线平行的线；对另一条已知直线重复上述操作，即可画出两条符合要求的平行线。 历年真题提升 知识点6 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 1.作图原理： 长方形对边平行且长度相等，相邻的两条边互相垂直，四个角都是直角；正方形四条边长度都相等，四个角都是直角，是特殊的长方形。 2.长方形的两种画法 方法一：尺规作图法（三角尺+圆规） 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 6 核心知识梳理 （1）用三角尺先画出一个直角，确定长方形邻边的垂直关系； （2）用圆规在直角的两条边上，分别截出对应长度的长和宽，标记出两个端点； （3）分别过这两个端点作垂线，两条垂线相交形成第四个顶点； （4）标注直角符号，完成长方形绘制。 方法二：单三角尺作图法 （1）用三角尺测量出给定线段的长度，确定长方形的长和宽； （2）沿三角尺的两条直角边，画出对应的长和宽，作为长方形的一组邻边； （3）以画出的长和宽为基础，补画出另一组邻边，保证对边平行、四个角均为直角，即可画出长方形。 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 6 核心知识梳理 3.正方形的画法 正方形是特殊的长方形，以上两种画法均适用，只需保证边的长度相等： （1）尺规作图法：画出直角后，在两条直角边上截取长度相等的线段，再分别过端点作垂线相交即可。 （2）单三角尺作图法：沿三角尺直角边画出两条等长的邻边，再补全另外两条等长的边，确保四个角都是直角。 画指定长、宽（边长）的长方形、正方形 6 核心知识梳理 【典型例题6】下图是用圆规和直尺测量长方形的长和宽的过程，把长方形画在方格纸上。 【答案】 【分析】从图中可得：圆规张开 的距离分别对应长方形的长和宽，据此画出长方形。 【详解】左边的圆规，一端在5厘米处，另一端在9厘米处，所以长方形的长为：9－5＝4（厘米）； 右边的圆规，一端在9厘米处，另一端在11厘米处，所以长方形的宽为：11－9＝2（厘米）。 典型例题巩固 【历年真题6】（25-26•安徽合肥•期末）用圆规和直尺，画一个长8厘米，宽5厘米的长方形。（留下作图痕迹） 【答案】 【分析】长方形的四个角都是直角，两组对边分 别相等，作图时要满足这两个特征。 【详解】用直尺画一条长8厘米的线段作为长方形的长，记为线段AB。 用圆规量取5厘米的长度，以A为端点，向线段上方画弧线，将直尺的刻度线跟端点重合，向上画垂线，与弧线交于一点，再将A点与这个交点连线，则这条线段就是长方形的宽。另一条宽同理。 连接两条宽的另外两个端点，得到长方形的另一条长，即可得到符合要求的长方形。 历年真题提升 知识点7 平行四边形 1.平行四边形的概念及特点 （1）定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 （2）核心特点 边：两组对边分别平行，且长度相等； 角：两组对角分别相等，相邻两个角的和为180°，四边形内角和为360°； 稳定性：具有不稳定性（易变形），生活中的伸缩门、升降架、电动折叠门都利用了这一特性。 平行四边形 7 核心知识梳理 2.画平行四边形 方法一：先画一组平行且长度相等的对边，再连接剩余两条边，保证两组对边分别平行； 方法二：在方格纸上作图，横向、纵向格数对应相等，确保对边平行且相等； 平行四边形 7 核心知识梳理 3.平行四边形的切拼 （1）剪一刀得到两个梯形：在平行四边形的一组对边上各取一个非顶点的点，沿不平行于另一组对边的直线剪开，得到的两个图形都只有一组对边平行，均为梯形。 （2）剪一刀得到一个三角形和一个梯形：过平行四边形的一个顶点，向对边上的非顶点处剪开，可得到一个三角形和一个梯形。 （3）剪一刀得到两个平行四边形：沿平行于任意一组对边的直线剪开，得到的两个图形仍满足两组对边分别平行，都是平行四边形。 平行四边形 7 核心知识梳理 【典型例题7】用一根48厘米的铁丝围成一个平行四边形，其中一条边长是11厘米，另外三条边长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米。 【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等，用这个平行四边形的周长除以2，算出平行四边形的一组邻边的长度和，再用一组邻边长度和减去已知的一条边，即可算出这个平行四边形的另一组边的长度。据此解答。 【详解】48÷2－ 11 ＝24－11＝13（厘米） 用一根48厘米的铁丝围成一个平行四边形，其中一条边长是11厘米，另外三条边长分别是11厘米、13厘米、13厘米。 11 13 13 典型例题巩固 【历年真题7】（24-25•全国•期末）画一画。 在下面的点子图中选择一个点D，把它分别与点 A、C连接起来，使四边形ABCD成为一个平行四边形。 【答案】 【分析】平行四边形的对边平行且相等，AB长度是5格，所以从C点出发，与AB平行的方向，向左数5格就是D点，连接CD、AD就是平行四边形。 历年真题提升 知识点8 梯形 1.梯形的概念及特点 （1）定义：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 （2）各部分名称 上底和下底：互相平行的一组对边； 腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰； （3）核心特点：只有一组对边平行；内角和为360°。 梯形 8 核心知识梳理 2.直角梯形和等腰梯形的概念及特点 （1）直角梯形 定义：有直角的梯形叫做直角梯形。 特点：有一条腰与上下底互相垂直，图形中有2个直角。 （2）等腰梯形 定义：两腰长度相等的梯形叫做等腰梯形。 特点：两腰长度相等；同一底上的两个底角相等；是轴对称图形。 3.画梯形 步骤：先画一组平行的线段作为上底和下底，再连接两条腰，保证只有一组对边平行； 梯形 8 核心知识梳理 【典型例题8】下列图形中，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )，是直角梯形的有( )，是等腰梯形的有( )。 （在括号里填序号） 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，长方形是特殊的平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；依此填空即可。 ①、③ ②、⑤、⑥ ⑤ ② 典型例题巩固 【历年真题8】（24-25•河南新乡•期末）下图中四边形ABCD 是一个梯形，其中线段AB与线段CD的位置关系是( )，线 段DC与线段AD的位置关系是( )。 【分析】梯形上底和下底互相平行，线段AB与线段CD分别是梯形的上底和下底，所以两者位置关系是互相平行；线段DC与线段AD夹角是直角符号，所以线段DC与线段AD互相垂直。据此解题。 【详解】下图中四边形ABCD是一个梯形，其中线段AB与线段CD的位置关系是平行，线段DC与线段AD的位置关系是垂直。 平行 垂直 历年真题提升 知识点9 四边形的分类及关系 1.按对边平行情况分类 （1）两组对边分别平行：平行四边形（包含长方形、正方形）； （2）只有一组对边平行：梯形（包含直角梯形、等腰梯形）； （3）没有互相平行的边：一般四边形。 2.从属关系 （1）正方形是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形； （2）长方形是特殊的平行四边形； （3）平行四边形和梯形都属于四边形，二者是并列关系，不存在包含关系。 四边形的分类及关系 9 核心知识梳理 【典型例题9】用下图表示平行四边形、长方形、四边形、正方形的关系，最外面的圈应该表示（ ）。 A．四边形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形 【分析】根据四边形、平行四边形、长方形、正方形的定义和包含关系来确定最外面的圈所代表的图形；据此解答即可。 【详解】四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形；平行四边形是两组对边分别平行的四边形；长方形是四个角都是直角的平行四边形；正方形是四个角都是直角，四条边都相等的长方形。所以四边形包含平行四边形，平行四边形包含长方形，长方形包含正方形。 因为四边形的范围最广，包含其他三种图形，所以最外面的圈应该表示四边形。 A 典型例题巩固 49 【历年真题9】（24-25•天津河北•期末）下面说法正确的是（ ）。 A．平行四边形也是长方形 B．平行四边形是特殊的长方形 C．梯形是特殊的平行四边形 D．梯形是四边形 【分析】长方形：两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫长方形。 平行四边形：在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形叫平行四边形。 梯形：只有一组对边平行的四边形叫梯形。 四边形：在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形叫四边形。 长方形是特殊的平行四边形；梯形是四边形，但是不是平行四边形，据此解答。 D 历年真题提升 同学们加油 $