专题03 概率初步（九大题型）（高效培优期中专项训练）高二数学沪教版必修第三册

专题03 概率初步（九大题型） 考点01 随机现象与样本空间 考点02 计算古典型概率 考点03 有放回与无放回的概率问题 考点04 互斥事件与对立事件 考点05 概率的性质 考点06 频率与概率的关系 考点07 判定事件是否为独立事件 考点08 独立事件的乘法公式 考点09 独立事件的实际应用 考点01 随机现象与样本空间 1．（25-26高二上·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 【答案】C 【分析】根据各选项中的随机试验，分析其样本空间的基本事件组成即可判断. 【详解】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 对于D，设这道5选2的多选题的5个备选答案分别为,则选择的答案组合的样本空间为, 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________． 【答案】{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 【详解】由题意可得样本空间为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 故答案为：{（1点朝上）,（2点朝上）,（3点朝上）,（4点朝上）,（5点朝上）,（6点朝上）}， 3．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 4．（25-26高二上·上海静安·期末）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 【答案】B 【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解． 【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B． 5．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 【答案】(1)样本空间 (2)①；②；③ 【分析】（1）电路中有3个元器件，每个元器件都有正常或失效两种可能，并用1和0分别表示 ，由此得到样本空间. （2）由（1）的信息求出恰好两个元件正常，电路是通路，电路是断路的集合. 【详解】（1）分别用和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示， 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间. （2）“恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，得集合. “电路是通路”等价于，，且中至少有一个是1，得集合. “电路是断路”等价于，，或，得集合. 考点02 计算古典型概率 6．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 【答案】 【分析】利用反比例函数性质得出，再利用列举法计算所求概率即可. 【详解】易知对于反比例函数，当且仅当时，其图象经过第一、三象限，因此本题需满足； 从4个小球中随机摸出2个，所有等可能的基本事件共种，分别为； 其中满足的组合为，共4种； 因此所求概率为. 7．（25-26高二下·上海静安·期末）以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【分析】先求出点的总个数，再列举出满足条件的点，即可得答案. 【详解】由题意可得点共有个， 而满足条件的点有： ，，，，，共6个点， 故所求概率为. 8．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 【答案】/ 【详解】抛掷枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为，共6种， 且每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为，共种， 所以抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为. 9．（2026·上海·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，，、．若在满足的点中等可能地选取一点，则选取的点满足的概率为__________． 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算结合古典概型计算求解. 【详解】因为点，，，、．， 由可得，即， 因、，则只能取等情况. 当时，可取等9种情况； 当时，可取等18种情况； 当时，可取等18种情况； 当时，可取等14种情况； 当时，可取等10种情况，故共有种情况. 由选取的点满足，即得， 当时，，则有共4种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共6种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共7种情况； 当时，，则有共2种情况； 当时，，则有共5种情况； 当时，，则有共1种情况； 当时，，则有共4种情况； 由上分析，满足的整点共有个， 故所求概率为. 10．（25-26高二下·上海·期中）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）列举法写出样本空间； （2）由题意写出，根据古典概型求概率； （3）根据题意写出，根据古典概型求概率. 【详解】（1）从名同学中选取名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 . （2）由事件为“参赛的2名同学都是女同学”知，共1个样本点， 由（1）知样本点个数为，所以. （3）设 “参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共个样本点. 所以. 考点03 有放回与无放回的概率问题 11．（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ，共12种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ，共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率． 12．（24-25高三·上海·课堂例题）三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取． （1）最后一名同学抽到中奖奖券的概率是__________； （2）若已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，则最后一名同学抽到奖券的概率是__________． 【答案】 / 【分析】利用中奖概率和抽取顺序无关，即可求解；第一名同学没有抽到中奖券后剩下2张奖券，1张能中奖，由题意可得中奖概率和抽取顺序无关，即可求解. 【详解】因为三张奖券中只有一张能中奖，且无放回地抽取，第一、二名未能中奖概率分别为，所以最后一名同学抽到中奖奖券的概率是； 又因为第一名同学没有抽到中奖券，则问题变为张奖券，1张能中奖，故最后一名同学抽到中奖券的概率是. 故答案为：，. 13．（23-24高二下·上海青浦·阶段检测）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 14．（24-25高三上·上海·期中）袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________． 【答案】/0.4 【分析】由古典概型概率公式计算即可. 【详解】有两种情况： ①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为：          ②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为：， 故乙摸到红球的概率． 故答案为： 15．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有 8种，其概率为，故D错误． 故选：C 考点04 互斥事件与对立事件 16．（25-26高二下·上海宝山·期中）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（   ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 【答案】A 【分析】根据对立事件的定义判断各选项. 【详解】根据题意， 选项A中事件为互斥事件，不是对立事件； 选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件； 选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 故选：A. 17．（24-25高二下·上海·期中）小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件：______. 【答案】选到一本2024年前出版的中文版的数学书 【分析】根据并事件、交事件、对立事件的定义判断即可； 【详解】因为{选到一本数学书}，{选到一本中文版的书}，{选到一本2024年或2024年以后出版的书}， 所以{选到一本2024年前出版的中文版的数学书}． 故答案为：选到一本2024年前出版的中文版的数学书 18．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 19．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则__________． 【答案】0.8/ 【分析】根据对立事件的性质即可求解. 【详解】事件的对立事件为， ,则． 故答案为：0.8． 20．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A：“甲元件正常”，事件B：“乙元件正常”．（可以用、分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（，）表示这个并联电路的状态：以1表示元件正常，0表示元件失效） (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)写出事件A、B以及它们的对立事件的对应子集； (3)写出事件和事件，并说明它们的含义及关系． 【答案】(1) (2)，，， (3)，， 表示电路工作正常，表示电路工作不正常；和互为对立事件. 【分析】（1）依据题意写出样本空间即可. （2）利用对立事件定义求解即可. （3）依据事件的基本关系求解即可. 【详解】（1）样本空间； （2），， ，； （3）略 考点05 概率的性质 21．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【答案】/ 【详解】由题意知，事件与事件互斥，且，， 可得，所以. 22．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据题意，利用互斥事件的定义和互斥事件的概率加法公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若事件和互斥，且不妨设， 此时，所以A不一定正确； 对于B，由事件和互斥，可得，所以， 因为不一定为，所以与不一定相等，所以B不正确； 对于C，由互斥事件的概率加法公式，若事件和互斥， 可得，所以C正确； 对于D，若事件和互斥，且不妨设， 则，所以D不一定正确； 23．（25-26高二上·上海·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则=________. 【答案】 【分析】根据题意先求，再利用即可求解. 【详解】由题意有：样本空间为，所以， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 24．（2026·上海浦东新·三模）已知随机事件，满足，，．则______________． 【答案】 【详解】由题意得 ，所以. 25．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 考点06 频率与概率的关系 26．（25-26高二上·上海金山·期末）某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人． 【答案】 【分析】利用样本频率估计总体概率，可研究总体分布. 【详解】根据随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余36人持反对态度， 所以持反对态度的人占比有，用此作概率估计， 可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有人， 故答案为： 27．（2025高二·上海·专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 【答案】 【分析】利用独立重复试验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故答案为： 28．（24-25高二下·上海·阶段检测）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个_______． 【答案】7 【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案. 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为：. 29．（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是__________. 【答案】0.51/ 【分析】根据频率公式计算即可. 【详解】由题意，出现正面的频率为. 故答案为：0.51. 30．（24-25高二上·上海浦东新·期末）某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为__________. 【答案】 【分析】计算红色球、蓝色球出现的频率，即为概率，由事件的关系可计算既不是红色也不是蓝色的概率. 【详解】记取到红球为事件A，取到蓝球为事件B，取到的球不是红球也不是蓝球为事件C. 所以，, 由题意，，且互斥， 则. 故答案为： 考点07 判定事件是否为独立事件 31．（25-26高二下·上海青浦·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．既相互独立又相互互斥事件 D．既不相互互斥又不相互独立事件 【答案】A 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义，计算对应概率判断事件关系即可. 【详解】抛掷骰子的样本空间为，共6个等可能样本点. 事件，因此，事件，因此. 事件，不为空集，故不是互斥事件. 则，且，满足，故是相互独立事件. 所以事件与不是互斥事件，但满足，故关系为相互独立事件. 32．（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 【答案】(1)样本空间；事件对应的集合， (2)是相互独立事件，理由如下： 若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为，， 则事件事件同时发生对应的集合， 则. 所以事件A和事件B是相互独立事件. 【分析】（1）根据二次函数零点情况可得事件中参数的范围，利用列举法可得解； （2）根据二次函数单调性可确定事件中参数的范围，进而可确定事件对应的集合，再结合古典概型判断事件的独立性. 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”， 所以事件对应的集合为， 则； （2）略 33．（25-26高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 【答案】(1) (2)相互独立，证明如下： 一次抽取两张共包含6个基本事件， 事件，所以．． 事件所以． 事件所以， 因为，所以事件C和D相互独立． 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可； （2）根据事件独立的定义计算判断即可； 【详解】（1）因为每次抽取都有4种可能，两次抽取相互独立， 共包含个基本事件 其中事件包含3个基本事件． 所以； （2）相互独立，证明略. 34．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． (1)从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2) 由题意， 事件 与 相互独立的充要条件是 即， 化简得 又 均为正整数，且 ，同时需满足 ， 当 时，； 当 时，； 当 时，. 因此，符合条件的 的值为： 【分析】（1）利用古典概型以及对立事件的概率公式可得答案； （2）利用独立事件的判定公式可得答案. 【详解】（1）设事件“抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语”为 ，则其对立事件为“两名志愿者都不会说日语”， 由题意，志愿者总人数为 36，其中会说日语的人数为 ，故不会说日语的人数为 ， 于是 所以，抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率为 . （2）略 35．（25-26高二上·上海·阶段检测）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 【答案】不独立 【分析】根据概率公式求出、、，再由相互独立事件的概率公式判断是否独立． 【详解】答案：，， ， ，所以事件不独立． 考点08 独立事件的乘法公式 36．（25-26高二上·上海宝山·期末）若事件A与事件B是独立的，，，则______． 【答案】/ 【详解】由于事件与事件是独立的，故事件与事件也相互独立， 故， 又，故， 进而可得． 37．（26-27高二上·上海·期中）事件与独立，分别是的对立事件，则下列命题中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率、独立事件的乘法公式及概率加法公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：由于是独立事件，故，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：由于是独立事件，则也是相互独立事件， ，故D正确. 38．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求； (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)已知事件与，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)由题可得， ， ， 即，故与也独立 (3) 【详解】（1）由题可得，故， 则. （2）略 （3）由题可得， ，即， 解得，综上. 39．（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）设、是两个相互独立事件，且，，则__________． 【答案】 【详解】， 因为、两个事件相互独立，则、相互独立，所以， 又，所以，所以. 40．（24-25高二上·上海·期末）已知是同一个样本空间中的独立事件，若，且，则________． 【答案】/ 【分析】利用事件的独立性得，又，进而得，即是方程的两根，利用二次方程的性质即可求解. 【详解】由题意得，又， 所以，所以是方程的两根， 解得或，又，所以. 考点09 独立事件的实际应用 41．（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，理由如下： ， 因为，所以,即. 故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大. 【分析】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，方案一即可表示为，方案二先考虑随机选取两门的概率为，再计算这两门都及格的概率即可. （2）为了比较概率大小，可作差与比较即可. 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为， 则. 应聘者选方案一考试通过的概率 应聘者选方案二考试通过的概率 （2）略 42．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 43．（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【答案】/ 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 44．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为，根据题意列出的所有可能，结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设甲失败的事件为,乙失败的事件为,丙失败的事件为,甲最终获胜事件为， 则甲最终获胜的概率为 . 故选：D. 【点睛】关键点睛：将甲最终获胜事件拆解为互斥事件的和，利用加法公式、乘法公式进一步得解. 45．（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件即可. 【详解】（1）设甲命中为事件，概率为，乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件,则. （2）设甲和乙都不命中为事件，则. （3）甲和乙至少一人命中为事件，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步（九大题型） 考点01 随机现象与样本空间 考点02 计算古典型概率 考点03 有放回与无放回的概率问题 考点04 互斥事件与对立事件 考点05 概率的性质 考点06 频率与概率的关系 考点07 判定事件是否为独立事件 考点08 独立事件的乘法公式 考点09 独立事件的实际应用 考点01 随机现象与样本空间 1．（25-26高二上·上海黄浦·期末）下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 D．做一道5选2的多选题（5个备选答案中只有2个正确答案），观察选择的答案组合 2．（24-25高二上·上海·期末）“抛掷一枚骰子，观察朝上的点数”的样本空间为________． 3．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 4．（25-26高二上·上海静安·期末）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 5．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．    (1)写出随机试验的样本空间； (2)写出下列事件相应的样本空间的子集： ①“恰好两个元件正常”；②“电路是通路”；③“电路是断路”． [提示：这个电路的工作状态可用表示，其中分别用和表示元件A、B和C的可能状态，1表示元件处于“正常”状态，0表示元件处于“失效”状态] 考点02 计算古典型概率 6．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）在一个口袋中装有个完全相同的小球，它们的标号分别为，，，．现从中随机摸出两个小球，将上面的标号分别记为、，则使得反比例函数经过一、三象限的概率为______． 7．（25-26高二下·上海静安·期末）以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（    ） A． B． C． D．. 8．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 9．（2026·上海·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，，、．若在满足的点中等可能地选取一点，则选取的点满足的概率为__________． 10．（25-26高二下·上海·期中）在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学名（记为），女同学名（记为），现从中随机选出名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）. (1)写出这个随机试验的样本空间； (2)设事件为“参赛的名同学都是女同学”，写出事件所对应的子集，并求出事件发生的概率； (3)求事件“参赛的名同学中恰好名男同学和名女同学”发生的概率. 考点03 有放回与无放回的概率问题 11．（25-26高二上·上海金山·期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，求的概率． 12．（24-25高三·上海·课堂例题）三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取． （1）最后一名同学抽到中奖奖券的概率是__________； （2）若已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，则最后一名同学抽到奖券的概率是__________． 13．（23-24高二下·上海青浦·阶段检测）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________. 14．（24-25高三上·上海·期中）袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________． 15．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 考点04 互斥事件与对立事件 16．（25-26高二下·上海宝山·期中）现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（   ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 17．（24-25高二下·上海·期中）小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件：______. 18．（24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 19．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知事件，其对立事件记为，若，则__________． 20．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A：“甲元件正常”，事件B：“乙元件正常”．（可以用、分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（，）表示这个并联电路的状态：以1表示元件正常，0表示元件失效） (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)写出事件A、B以及它们的对立事件的对应子集； (3)写出事件和事件，并说明它们的含义及关系． 考点05 概率的性质 21．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 22．（25-26高二下·上海杨浦·期末）已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（     ） A．； B．； C．； D．． 23．（25-26高二上·上海·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子1次，设“出现的点数为偶数”为事件，“出现的点数大于4”为事件，则=________. 24．（2026·上海浦东新·三模）已知随机事件，满足，，．则______________． 25．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 考点06 频率与概率的关系 26．（25-26高二上·上海金山·期末）某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人． 27．（2025高二·上海·专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 28．（24-25高二下·上海·阶段检测）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个_______． 29．（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是__________. 30．（24-25高二上·上海浦东新·期末）某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为__________. 考点07 判定事件是否为独立事件 31．（25-26高二下·上海青浦·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件：出现偶数点，事件：出现2点或3点，则事件与事件的关系为（    ） A．相互独立事件 B．相互互斥事件 C．既相互独立又相互互斥事件 D．既不相互互斥又不相互独立事件 32．（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 33．（25-26高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 34．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． (1)从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； (2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 35．（25-26高二上·上海·阶段检测）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 考点08 独立事件的乘法公式 36．（25-26高二上·上海宝山·期末）若事件A与事件B是独立的，，，则______． 37．（26-27高二上·上海·期中）事件与独立，分别是的对立事件，则下列命题中不成立的是（ ） A． B． C． D． 38．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）请解决下列问题： (1)已知事件与互斥，，且，求； (2)证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； (3)已知事件与，，，求的取值范围. 39．（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）设、是两个相互独立事件，且，，则__________． 40．（24-25高二上·上海·期末）已知是同一个样本空间中的独立事件，若，且，则________． 考点09 独立事件的实际应用 41．（2024·上海徐汇·一模）某企业招聘员工，指定“英语听说”､“信息技术”､“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过. 假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率和选方案二考试通过的概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由. 42．（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 43．（23-24高二上·上海·期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 44．（23-24高二上·上海长宁·期末）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $