精品解析：陕西咸阳市渭城区第二初级中学2026-2027学年度第一次阶段性作业九年级数学

渭城区第二初级中学2026～2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 2. 若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（ ） A. 55° B. 75° C. 60° D. 65° 4. 如图，已知，若、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（ ）． A. B. C. D. 6. 对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（ ） A. 或3 B. 或4 C. 1或 D. 1或 7. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点M，交于点O，连接，若，则的长为（ ） 8. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 10. 已知矩形矩形，，，则的长为_________． 11. 我们把宽与长的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为_________．（结果保留根号） 12. 如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为_________． 13. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是_____． 14. 如图，中，为的中点，连接与对角线交于点．若，则的面积为_________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 如图，在中，点D在上，交于点E，，，，求的长． 17. 已知关于x的方程可以化成的形式，求的值． 18. 如图，已知四边形，，，利用尺规作图法作矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．以原点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，使与的相似比为（点的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 20. 某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的进步，今年售价为每台3200元，求该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率． 21. 数学活动课上，老师布置任务如下：让张华同学站在点处去观测外的位于点（即）处的一棵大树，所用工具为一个平面镜（大小忽略不计）和必要的长度测量工具．已知张华同学眼睛到地面的距离，大树高，，，、、在一条直线上，求需要将平面镜放置在距离点多远处，张华站立在处才能从平面镜中观测到大树的顶端． 22. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证：． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 24. 如图，在中，对角线交于点O，点E是的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． （1）商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ （2）商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 26. 解答下列问题 【问题提出】 （1）如图1，在中，是的中线，是的中线，且三等分，若，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某公园的一处绿植观赏区，现要在该观赏区内的点处修一座凉亭，沿修两条小路，再从点向小路的中点修一条小路，最后从点向的中点铺设一条石子小路，为使得游客体验效果更好，要求石子小路的长度尽可能大．已知，求石子小路长度的最大值．（凉亭的大小与小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭城区第二初级中学2026～2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程中，解关于字母a的一元一次方程即可解题． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得． 2. 若长度分别为2，3，x，6的四条线段依次成比例，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的定义列出比例式，再求出解即可． 【详解】解：∵2，3，，6是依次成比例的线段， ∴， ∴， 解得． 3. 如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（ ） A. 55° B. 75° C. 60° D. 65° 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， ， ， ， ， ． 4. 如图，已知，若、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴，， ， ∴ ， ∴ ． 5. 如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知四边形是平行四边形，且对角线，根据菱形的判定定理可得四边形为菱形，根据既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，补充矩形的判定定理，即“有一个内角为直角”或“对角线相等”的条件即可证明结论． 【详解】解：选项：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为菱形， ∴， ∴已知，无法得出四边形是正方形， 故选项不符合题意； 选项：∵四边形为菱形， ∴对角线平分，即， ∴已知，无法得出四边形是正方形， 故选项不符合题意； 选项：∵四边形为菱形，， ∴四边形为正方形，故选项符合题意； 选项：∵四边形为菱形， ∴，若，则为等边三角形，， 故无法得出四边形为正方形，选项不符合题意． 6. 对于任意实数a、b定义一种新运算：，例如，若，则x的值为（ ） A. 或3 B. 或4 C. 1或 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】依据新运算定义，将等式转化为一元二次方程求解． 【详解】解：根据新运算定义，， 移项得， 因式分解得， 解得或． 7. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点M，交于点O，连接，若，则的长为（ ） 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质可得，，再由勾股定理可得，的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质说明，可得，再根据一元二次方程根的判别式得出答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴，． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理，得． 关于x的方程中， ∴方程有两个相等的实数根． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若关于x的方程是一元二次方程，则a的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意满足的数均可） 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，推导得到a的取值范围，选取一个符合条件的数作答即可． 【详解】解：∵ 关于的方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数不为0，即 解得. 因此任意不等于6的数都符合题意，例如取． 10. 已知矩形矩形，，，则的长为_________． 【答案】 3 【解析】 【分析】利用相似多边形对应边成比例的性质，结合已知的对应边数量关系建立比例式，求解未知边长． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴两个矩形的对应边成比例，即 ∵ ∴ 将代入上述比例式，得 解得． 11. 我们把宽与长的比值等于黄金比的矩形称为黄金矩形．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为_________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比值为，已知书的长为，代入比值关系即可计算得到宽的长度． 【详解】解：∵ 书的宽与长之比为黄金比，黄金比为，书的长为． ∴ 书的宽为． 12. 如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 13. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是_____． 【答案】3＜m≤5． 【解析】 【详解】分析：根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围． 详解：依题意得：， 解得3＜m≤5． 故答案是：3＜m≤5． 点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 14. 如图，中，为的中点，连接与对角线交于点．若，则的面积为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质和对顶角相等证明，从而推出和 ，结合已知条件即可求出，再利用等高时，边长比等于面积比即可求出，从而求出，即可求出面积． 【详解】解：在中，为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 16. 如图，在中，点D在上，交于点E，，，，求的长． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． 17. 已知关于x的方程可以化成的形式，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法解方程，再求代数式的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得， 故． 18. 如图，已知四边形，，，利用尺规作图法作矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】所作图形如下： 【解析】 【分析】过点A作，由，可得，然后可得，进而根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．以原点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，使与的相似比为（点的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 【答案】如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为． 【解析】 【分析】根据相似比找到点、、的位置，再连接各点画出，然后根据图形写成点的坐标即可． 【详解】略 20. 某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的进步，今年售价为每台3200元，求该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率． 【答案】 该智能无人机每台售价的年平均下降率为． 【解析】 【分析】以两年的售价为等量关系，设年平均下降率为，列一元二次方程求解，结合实际意义取舍根． 【详解】解：设该智能无人机每台售价的年平均下降率为， 根据题意，得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该智能无人机每台售价的年平均下降率为． 21. 数学活动课上，老师布置任务如下：让张华同学站在点处去观测外的位于点（即）处的一棵大树，所用工具为一个平面镜（大小忽略不计）和必要的长度测量工具．已知张华同学眼睛到地面的距离，大树高，，，、、在一条直线上，求需要将平面镜放置在距离点多远处，张华站立在处才能从平面镜中观测到大树的顶端． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得， ∵，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∴需要将平面镜放置在距离点处，张华站立在处才能从平面镜中观测到大树的顶端． 22. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； 【解析】 【分析】先证明，得出，再证明，即可证明结论． 【详解】略 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 24. 如图，在中，对角线交于点O，点E是的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即点是中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， 又， ， 平行四边形是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）平行四边形对角线互相平分，得到是中点；为中点，所以是的中位线，结合已知条件，可推出平行四边形一组邻边相等，依据菱形判定定理完成证明； （2）由四边形为菱形，菱形对角线互相垂直且平分，利用三角形中位线求出长，在直角三角形中用勾股定理求出，再求得即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， 是中位线，， 在中， ， ， 答：的长为． 25. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． （1）商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ （2）商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 【答案】（1）售价应定为65元 （2） 解：不能，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∵ ∴该一元二次方程没有实数根 ∴商场不能获得10000元的利润． 【解析】 【分析】（1）设每个售价提高x元，根据题意列出一元二次方程求解； （2）根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断． 【小问1详解】 解：设每个售价提高x元， 由题意得， 解得， ∵尽量兼顾顾客的利益 ∴ ∴（元） ∴售价应定为65元； 【小问2详解】 略 26. 解答下列问题 【问题提出】 （1）如图1，在中，是的中线，是的中线，且三等分，若，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某公园的一处绿植观赏区，现要在该观赏区内的点处修一座凉亭，沿修两条小路，再从点向小路的中点修一条小路，最后从点向的中点铺设一条石子小路，为使得游客体验效果更好，要求石子小路的长度尽可能大．已知，求石子小路长度的最大值．（凉亭的大小与小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为三等分，且，所以可先确定三个等分角的度数．因为是斜边的中线，根据直角三角形斜边中线定理，可得到与的数量关系，结合角的度数判断的形状．因为是的中线，可知E是中点，结合已知的长度可得长度，进而得到长度，再在中利用三角函数或角对边性质计算． （2）连接交于点O，取的中点N，连接，得点O是的中点，由中点性质得是的中位线，是的中位线，，，点M在以点N为圆心以的长为半径的圆弧上运动，由角的正切值得，结合，得是等边三角形，由等边三角形性质得，结合勾股定理求出。当点M在延长线上时，取得最大值． 【小问1详解】 答案： 解：∵，三等分， ∴三个角均为，即． ∵在中，是斜边的中线， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∵是等边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形边长． ∵在中，，，​， ∴． 【小问2详解】 解：连接交于点O，取的中点N，连接． 则点O是的中点． ∵是的中点，， ∴． ∵点M是的中点， ∴． ∴点M在以点N为圆心以的长为半径的圆弧上运动． ∵矩形中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∴． 当点M在延长线上时，取得最大值， 此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $