精品解析：重庆市南渝中学校2026-2027学年八年级上学期数学 阶段考试题一（10月）

2028届初二（上）阶段练习一 （全卷共三道大题，满分150分，时间120分钟） 一．选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各选项中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数以及算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、不是无理数，故本选项不符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 分别根据二次根式的加、减、乘、除运算法则判断即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据平方的性质，任意实数的平方都大于等于0，即， 因此：，即点P的横坐标为正数； 点P的纵坐标为，是负数； 因此，点P的坐标符号为（正，负），符合第四象限内点的坐标符号特征， 所以，点P在第四象限． 4. 在中，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， 在中， ． 5. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用甲给乙10钱后两人钱数相等的关系排除错误选项，再验证倍数关系对应的方程． 【详解】解：由甲给乙10枚后两人钱币数相等，得， 由乙给甲10枚后甲的钱币数是乙的6倍，得， ∴可得方程组为． 6. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，计算得出、的值，代入所求代数式即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 7. 如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式得，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：， ， ， ∵在中，， ， ， ， ∴． 8. 估计的值应在（ ）． A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则以及无理数的估算方法是解题的关键．先根据二次根式的乘法法则化简式子，再估算化简后结果的范围，从而确定答案． 【详解】解： ， 因为，即， 所以，即． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点O逆时针旋转，点A落至点C处，若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换的图形变化与坐标的关系，根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可知点C的横坐标的长度等于，纵坐标的长度等于，然后即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ∵， ∴， 由旋转得, ∴, ∴点的坐标为， 故选：B． 10. 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可知，每个点为一个循环，分别位于第三、二、一、四象限，根据是的倍数，确定位于第四象限且属于第个正方形即可求解． 【详解】解：由图可知，每个点为一组，对应一个正方形，且顺序依次为第三、二、一、四象限， ， 位于第个正方形的第四象限顶点处， 第个正方形的边长为，中心在原点， 第个正方形顶点的横、纵坐标绝对值均为， 第四象限点的符号特征为， 的坐标为． 11. 如图，在中，点为边上一点，连接，过点作交于点，作交于点．若，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，合理作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，的延长线于点，证出平分，由角平分线的性质证出，得到，再通过角的等量代换求解即可． 【详解】解：过点作于点，的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 12. 已知代数式，其中，，，为自然数，n与为正整数，且，则下列说法： ①当时，M的值为0； ②不存在任何一个n，使得满足条件的化简后与为同类二次根式； ③满足条件的化简后只有6种不同的结果． 其中正确的个数是（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据“，，，为自然数，n与为正整数，且”可得，通过列举法即可判断各项的正误．本题考查二次根式． 【详解】解：由题知， ∵，，，为自然数，n与为正整数，且， ∴，且n为整数． 对的取值进行分类讨论： 当时，，，． 当时，．为正整数，为自然数． 若，． 若． 若． 当时，．为正整数，为自然数． 若． 若． 若． 当时，．为正整数，为自然数． 则， ． 综上，化简后共有这6种不同的结果． 据此判断： ①当时，，该说法正确； ②存在使得结果为，是的同类二次根式，故该说法错误； ③满足条件的化简后共有6种不同结果，故该说法正确． 因此，正确的个数是①③，共有2个． 故选：B． 二．填空题（本大题共10个小题，13—20每小题3分，21—22每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 将点向左平移个单位长度得到点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——平移，根据点向左平移个单位长度得到点，得出，从而求解，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 【详解】解：∵点向左平移个单位长度得到点， ∴， 故答案为：． 15. 比较大小：_____（填“>”“=”“<”） 【答案】 【解析】 【分析】先统一两个分数的分母，再通过比较分子的大小得到最终结果． 【详解】解：将通分可得，只需比较分子和的大小， ∵，，， ∴，不等式两边同时减得， ∴． 16. 如果是关于，的二元一次方程，则的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，需满足含的项的次数为1，且含的项的系数不为0，据此求解的值. 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴需同时满足两个条件：含的项的次数为1，含的项的系数不为0， 即且， 由解得， 当时，，满足系数不为0的要求， ∴的值为2． 17. 若方程组的解为，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．将方程组化为，由已知方程组的解可表示出，即可求解． 【详解】解：∵方程组的解为， 由，得， ∵方程组的解为， ， 解得， 故答案为：． 18. 已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握分母有理化的方法以及代数式的变形技巧是解题的关键． 先对、进行分母有理化，再计算和的值，最后将代数式变形为后求值． 【详解】解：，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴、y轴上，点A 的坐标为，点C 的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，的长为________ 【答案】3或6 【解析】 【分析】根据轴对称性质可得：，由为直角三角形，可分类讨论：或或，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴； ∵点O关于直线的对称点为B， ∴， ∴，，，， ∴， 当为直角三角形时，或或． ①若，如图1， ∵， ∴A、B、C三点共线， ∵， ∴， ∵，即， 解得， ∴； ②若，如图2， ∵， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴； ③不存在这种情况． 综上所述，的长为3或6．  20. 如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 21. 如图，在矩形中，，平分，过点作于点，连接，过点作于点，，接接，将沿直线翻折至矩形所在的平面内，得，过点作交于点，则____________；点到的距离为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证，得出，，再证与是等腰直角三角形，在直角中利用勾股定理求出的长，进一步求出的长，过点G作于点K，过点H作的延长线于点M，于点P，推导出四边形是矩形，，继而根据，求出，可根据勾股定理，求出，得到，即可解答． 【详解】解：∵在矩形中，，平分， ，， ， ， 即， ∴（负值已舍去）， 于点F， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， 为等腰直角三角形，且 ∴， 连接，如下图 沿直线翻折得， ， ，， ， 在中， ， ∴， 过点G作于点K，过点H作的延长线于点M，于点P，如图 ∴，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 22. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且满足，则称该四位数为“差十数”．例如，四位数，因为，所以是“差十数”；又如四位数，因为，所以不是“差十数”．则最大的“差十数”为_____；若一个“差十数”的前两个数位上的数字组成的两位数记作，的后两个数位上的数字组成的两位数记作，并规定，若能被整除，则满足条件的四位数的最大值与最小值之差为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】最大的差十数：把差十数用前两位组成的数表示，得，随增大而增大，只需找最大的可行；最大值与最小值的差：由的十位数字为且不为零得；将能否被整除转化为个位数字问题，得的个位数字只能为、、、，再分别取满足条件的最大与最小的，求差即可． 【详解】解：先求最大的差十数．设差十数的前两个数位上的数字组成的两位数，后两个数位上的数字组成的两位数． ∵， ∴，即． ∴． ∴越大，越大，要求最大的差十数，只需取最大的． ∵各数位上的数字都不为零， ∴的十位数字与个位数字都不为零，故最大为． 此时，其十位数字、个位数字均不为零，符合条件． ∴最大的差十数为． 检验：，且的各数位数字、、、均不为零， ∴是差十数． 再求满足条件时最大值与最小值的差．由的十位数字为、个位数字为，且各数位数字都不为零， ∴且，即，故，且的十位数字、个位数字均不为零． ∵， 而是整十数，不影响个位数字， ∴的个位数字与的个位数字相同． ∵能被整除， ∴的个位数字为或，即的个位数字为或， ∴的个位数字为或． 计算～各数字的平方：，，，，，，，，，， 其个位数字依次为，，，，，，，，，， ∴当且仅当的个位数字为、、、时，的个位数字为或，此时能被整除． 取最大：十位数字尽量大取，个位数字在、、、中取最大为， ∴，，此时； 检验：，能被整除，符合条件． 取最小：十位数字尽量小，由取，个位数字在、、、中取最小为， ∴，，此时； 检验：，能被整除，符合条件． ∴满足条件的四位数的最大值与最小值的差为． 三．解答题（本大题共9个小题，23题至27题每题8分，28题至30题每题10分，31题12分，共82分） 23. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方运算、绝对值、立方根、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握这些知识点的运算法则和公式是解题的关键． （1）分别计算乘方、绝对值、立方根，再进行加减运算． （2）分别利用完全平方公式和平方差公式展开式子，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 24. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法（或消元思想）是解题的关键． （1）可通过代入消元法，由第一个方程用含的式子表示，再代入第二个方程求解． （2）先对第二个方程去分母、去括号等整理成标准二元一次方程形式，再结合第一个方程，用代入消元法求解． 【小问1详解】 解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 所以方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由得， 化简得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 所以方程组的解为． 25. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，代入求值的结果为 【解析】 【分析】先用完全平方公式、多项式乘多项式法则化简括号内的式子，合并同类项后做除法化简代数式；再利用平方的非负性与绝对值的非负性求出、的值；最后代入、求值． 【详解】解： ， ，，， ，， ，， 当，时，原式 ． 26. 如图，，射线在内部，点，点分别为射线，上一点，且． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，交射线于点，在射线上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：．（请根据下列证明思路完成填空） 证明：∵， ∴①__________， ∴． ∵， ∴， ∴（②__________）． ∵在和中， ， ∴， ∴④__________， ∴， ∴． 【答案】（1）作图见解析； （2）；角的等量代换；；． 【解析】 【分析】本题考查了垂直作图，全等三角形的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． （1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据全等三角形的判定方法解答即可． 【小问1详解】 解：由题意作图可得： 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（角的等量代换）， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；角的等量代换；；． 27. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年、张伯苓“爱国三问”提出周年，弘扬爱国主义精神和教育家精神，由重庆南开中学出品，携手重庆大学、树人小学联合创排的大型原创话剧《大江东去我西来》在重庆大剧院成功首演．演出结束后，剧社随机抽取了部分观众进行满意度调查（观众只能选择一种选项），调查选项为：非常喜欢，喜欢，比较喜欢，不太喜欢；并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次被调查的观众共有 人，的值为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若到重庆大剧院观看此话剧首演的观众共有人，估计对此话剧首演“非常喜欢”的人数． 【答案】（1）50，20 （2） （3）估计对此话剧首演“非常喜欢”的人数为2160人 【解析】 【分析】（1）根据选择B选项的人数及占被调查观众总人数的百分比即可求出被调查观众的总人数，根据被调查观众的总人数即可求出选择C选项的人数占被调查观众总人数的百分比，从而求出m的值； （2）求出选择D选项和A选项的观众人数，从而补全条形统计图； （3）用5400乘以选择A选项的比例即可求得答案． 【小问1详解】 解：选择B选项的有15人，占被调查观众人数的， ∴被调查观众人数为（人）； 选择C选项的有10人，占被调查观众人数的， ∴； 【小问2详解】 解：选择D选项的有（人）， 选择A选项的有（人）， 图略 【小问3详解】 解：对此话剧首演“非常喜欢”的人数约为（人）． 28. 如图，在中，，于点，的平分线交于点，过点作，分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）11 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，即可得出结论； （2）将的周长转化为的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长. 29. 国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销．某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售束玫瑰和束百合共获利元，销售束玫瑰和束百合共获利元． （1）该花店销售束玫瑰、束百合分别获利多少元？ （2）国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合．国庆假期后天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价元，结果玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长．为了使国庆天假期的总利润达到元，求的值． 【答案】（1）销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元 （2） 【解析】 【分析】（1）根据问题设出未知数，由题中等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）中的结论，分别计算国庆假期前天和后天的获利，由等量关系列出一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元，则 ， 解得， 答：销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元； 【小问2详解】 解：由（1）知销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元，则国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合，获利共计（元）； 国庆假期后天，每束玫瑰降价元，每束百合降价元，则销售束玫瑰获利元，销售束百合获利元；玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长，则此时该花店平均每天售出束玫瑰和束百合，获利共计元， 国庆天假期的总利润达到元， ， 解得． 30. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1） （2）25 （3）x的值为7.2 【解析】 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问2详解】 解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． 【小问3详解】 如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 31. 如图，在中，，，点D，点E分别为边，上一点，，点F为边上一点，连接交线段于点G． （1）如图1，过点D作于点H，若，，求的长； （2）如图2，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，若，求证：； （3）如图3，点M为直线上一动点，连接，以为边向右侧作等边，连接．若，当取得最小值，且最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由勾股定理求得的距离，最后根据线段的等量关系求出的值； （2）分别过点E，D作，，证明出，得到，，根据已知条件得出为等腰直角三角形，过点I作交的延长线于点N，证明出，，再由已知条件得出和均为等腰直角三角形，从而利用线段间的等量关系证明最后的结论； （3）过点G作于点H，作点H关于的对称点，连接，，由题意可得，，在中，，当且仅当D，G，共线时，取最小值，此时，延长到Q，使，连接，得到为等边三角形，证明，得到，此时N的轨迹为所在直线，再令直线交于点P，当时，有最小值，此时，即N，Q重合，M，D重合，设，由题意求得的值，最终求出结果． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，分别过点E，D作，， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴为等腰直角三角形， 过点I作交的延长线于点N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在等腰中，， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点G作于点H，作点H关于的对称点，连接，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴当且仅当D，G，共线时，取最小值， 此时， 延长到Q，使，连接，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴N的轨迹为所在直线， 令直线交于点P， ∴，， 当时，有最小值， 此时， ∴N，Q重合，M，D重合， 设，为等腰三角形，且， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，属几何压轴题型，难度高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届初二（上）阶段练习一 （全卷共三道大题，满分150分，时间120分钟） 一．选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各选项中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在中，，若，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 5. 中国古代数学著作《张邱建算经》中有一个问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？设甲有x枚钱币，乙有y枚钱币，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 8. 估计的值应在（ ）． A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点O逆时针旋转，点A落至点C处，若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，点为边上一点，连接，过点作交于点，作交于点．若，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 12. 已知代数式，其中，，，为自然数，n与为正整数，且，则下列说法： ①当时，M的值为0； ②不存在任何一个n，使得满足条件的化简后与为同类二次根式； ③满足条件的化简后只有6种不同的结果． 其中正确的个数是（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二．填空题（本大题共10个小题，13—20每小题3分，21—22每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 13. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 14. 将点向左平移个单位长度得到点，则的值为______． 15. 比较大小：_____（填“>”“=”“<”） 16. 如果是关于，的二元一次方程，则的值为____________． 17. 若方程组的解为，则方程组的解为______． 18. 已知，，则代数式的值为______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，A，C两点分别在x轴、y轴上，点A 的坐标为，点C 的坐标为，点P为射线上一动点，点O关于直线的对称点为点B，当为直角三角形时，的长为________ 20. 如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 21. 如图，在矩形中，，平分，过点作于点，连接，过点作于点，，接接，将沿直线翻折至矩形所在的平面内，得，过点作交于点，则____________；点到的距离为____________． 22. 对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且满足，则称该四位数为“差十数”．例如，四位数，因为，所以是“差十数”；又如四位数，因为，所以不是“差十数”．则最大的“差十数”为_____；若一个“差十数”的前两个数位上的数字组成的两位数记作，的后两个数位上的数字组成的两位数记作，并规定，若能被整除，则满足条件的四位数的最大值与最小值之差为_____． 三．解答题（本大题共9个小题，23题至27题每题8分，28题至30题每题10分，31题12分，共82分） 23. 计算： （1） （2） 24. 解二元一次方程组： （1） （2） 25. 先化简，再求值：，其中． 26. 如图，，射线在内部，点，点分别为射线，上一点，且． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，交射线于点，在射线上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：．（请根据下列证明思路完成填空） 证明：∵， ∴①__________， ∴． ∵， ∴， ∴（②__________）． ∵在和中， ， ∴， ∴④__________， ∴， ∴． 27. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年、张伯苓“爱国三问”提出周年，弘扬爱国主义精神和教育家精神，由重庆南开中学出品，携手重庆大学、树人小学联合创排的大型原创话剧《大江东去我西来》在重庆大剧院成功首演．演出结束后，剧社随机抽取了部分观众进行满意度调查（观众只能选择一种选项），调查选项为：非常喜欢，喜欢，比较喜欢，不太喜欢；并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次被调查的观众共有 人，的值为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若到重庆大剧院观看此话剧首演的观众共有人，估计对此话剧首演“非常喜欢”的人数． 28. 如图，在中，，于点，的平分线交于点，过点作，分别交、于点F、G． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 29. 国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销．某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售束玫瑰和束百合共获利元，销售束玫瑰和束百合共获利元． （1）该花店销售束玫瑰、束百合分别获利多少元？ （2）国庆假期前天，该花店平均每天售出束玫瑰和束百合．国庆假期后天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价元，结果玫瑰平均每天多卖出束，百合平均每天销量增长．为了使国庆天假期的总利润达到元，求的值． 30. “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题． 素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13． （1）任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． （2）任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． （3）任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 31. 如图，在中，，，点D，点E分别为边，上一点，，点F为边上一点，连接交线段于点G． （1）如图1，过点D作于点H，若，，求的长； （2）如图2，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，若，求证：； （3）如图3，点M为直线上一动点，连接，以为边向右侧作等边，连接．若，当取得最小值，且最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $