精品解析：重庆市垫江中学校2026-2027学年八年级上学期第一次定时作业数学试题（贯通班）

2026年秋期初2025级（贯通班）定时作业（1） 数学试题 总分：150分钟 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，平分，，若，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图1，从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的个数为（ ） ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； ②等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合； ③有一个角为的三角形是等边三角形； ④全等三角形对应边上的中线相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，为上一点，过作于点，延长至点，使得，且交于点，连接，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，下列四个结论： ①若为完全平方式，则； ②若，且，则； ③若，则关于的分式方程的解为或； ④若，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 数字0.0000000381用科学记数法表示为_______． 12. 计算：___________． 13. 若，则的值为_______． 14. 若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为_______． 15. 如图，在与中，，点在边上，过点作，交的延长线于点．若，的面积为，则_____；______． 16. 对于任意一个四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，且各数位上的数字互不相等，则称这个数为“和合数”．那么最小的“和合数”是_______；若一个“和合数”，将其千位与十位数字交换，百位与个位数字交换，得到一个新数，记，若是一个完全平方数，则满足条件的M 的最大值为_______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答题每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中的对应位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解 （1）； （2） 19. 我们知道，长方形的面积等于这个长方形的长乘宽，小明想用其验证一个底为，高为的三角形的面积公式为．想法是：以为边作长方形，点在边上，再过点作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空： 用直尺和圆规过点作的垂线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 证明：在和中， ， ， ； ， _____①_____； 又； ．（_____②_____） _____③_____ 同理可得， _____④_____． 20. 如图，在中，，为的中点，过点作交延长线于点，过点作，过点作，且相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 21. 先化简，再求值：，其中，满足． 22. 为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年 月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（ ）（单选）． （A）漆扇摇香 （B）花漾手作 （C）宋韵点茶 （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________； （2）在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； （3）请补全条形统计图； （4）已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 23. 小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． （1）请分别求出平开窗和推拉窗的单价； （2）设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 24. 已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： （1）关于x的方程的解为 ； （2）关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； （3）关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 25. 等边中，点为边上一动点，连接，与关于直线对称，连接． （1）如图1，点恰好落在平分线上，则求_______； （2）过点作交于点，连接交于点． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，，于点，直线交于点，连接，点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期初2025级（贯通班）定时作业（1） 数学试题 总分：150分钟 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此定义可直接得出．题目主要考查轴对称图形的定义，深刻理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得出：左边和右边的符号作为图形成轴对称的是． 故选：C． 2. 若分式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，由，解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0时分式有意义． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D ． 4. 如图，在中，平分，，若，，则等于（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据平分，得到，结合得到，得到继而得到，结合计算，选择即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图1，从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，学会利用面积的关系验证平方差公式是解题的关键．由图1可得剩余部分的面积，由图2可求得长方形的面积，结合两部分面积相等即可求解． 【详解】解：如图1，大正方形的面积为，小正方形的面积为， 剩余部分面积为， 如图2，长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， 结合图1和图2，可得剩余部分面积长方形的面积， ． 故选：C． 6. 下列命题中正确的个数为（ ） ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； ②等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合； ③有一个角为的三角形是等边三角形； ④全等三角形对应边上的中线相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确； ②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合，原命题错误； ③有一个角为的三角形不一定是等边三角形，只有是有一个角为的等腰三角形才是等边三角形，原命题错误； ④全等三角形对应边上的中线相等，正确； 综上，正确的命题共2个． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了规律探索，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形点所在的位置可以得到，，，每4个为一组，据此可以得到在轴正半轴上，纵坐标为0，根据，，坐标规律可得到． 【详解】解：观察图形中点所在的位置可以看出，，，每4个为一组， ， 在轴正半轴上，纵坐标为0， ∵，，， ∴，． 故选：． 8. 每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产 台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系列式．设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器，利用“现在生产台所需时间与原计划生产台机器所需时间相同”列方程即可． 【详解】解：设原计划平均每天生产台机器，则实际平均每天生产台机器， 由题意得：， 故选：A． 9. 如图，正方形中，为上一点，过作于点，延长至点，使得，且交于点，连接，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求角度进行转化，放到另一个三角形中求解即可． 【详解】解：由题意可得为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 已知多项式，下列四个结论： ①若为完全平方式，则； ②若，且，则； ③若，则关于的分式方程的解为或； ④若，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，多项式乘以多项式，负整数指数幂，解分式方程．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 结论①由完全平方式定义推导；结论②由多项式乘法及指数运算验证；结论③通过分式方程转化为二次方程求解；结论④通过多项式除法比较系数得出。 【详解】①∵ 为完全平方式， ∴设 ， ∴ ，， ∴ ，故①正确； ②∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ，故②正确； ③∵ ， ∴ （）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 或 （且，），故③正确； ④∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ，故④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 数字0.0000000381用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：数字0.0000000381用科学记数法表示为． 12. 计算：___________． 【答案】 4 【解析】 【分析】运用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：． 13. 若，则的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】将已知等式通分得到与的等量关系，把所求分式整理为含和的结构，通过整体代入约分化简得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即， 原式． 14. 若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解求参数， 首先解不等式组，得到解集为，由解集非空且至多有3个整数解，可得的取值范围为，再解分式方程，得到，由解为整数且，求出满足条件的整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ，得， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且至多有3个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴能被3整除，且，即， ∵，且为整数， ∴， 即符合题意的整数的值为2， 因此所有满足条件的整数的和为； 故答案为：2． 15. 如图，在与中，，点在边上，过点作，交的延长线于点．若，的面积为，则_____；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用三角形的面积可求出，证明，可得，即得，得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 16. 对于任意一个四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和等于十位数字与个位数字之和，且各数位上的数字互不相等，则称这个数为“和合数”．那么最小的“和合数”是_______；若一个“和合数”，将其千位与十位数字交换，百位与个位数字交换，得到一个新数，记，若是一个完全平方数，则满足条件的M 的最大值为_______． 【答案】 ①. 1203 ②. 9687 【解析】 【分析】本题考查新定义，整式加减的实际应用，二元一次方程的解，熟练掌握新定义是解题的关键．根据新定义，得到当“和合数”最小时，，尝试百位从0开始，满足条件且数字互异的最小数即可；根据新定义推出，得到是完全平方数，得到，再根据最大的“和合数”得到，进行推导即可． 【详解】解：由题意，当时，“和合数”最小，为； ∵为“和合数” ∴， ∴ ， ∴， ∵是一个完全平方数， ∴是完全平方数， ∵各数位上的数字互不相等， ∴， ∵M 最大，则， 当时，， ∵， ∴当，时，最大为； 当时，， ∵， ∴当，时，最大为； 当时，，此时不存在； 综上，最大为； 故答案为：1203，． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答题每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中的对应位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，平方差公式，再计算多项式除以单项式的法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 我们知道，长方形的面积等于这个长方形的长乘宽，小明想用其验证一个底为，高为的三角形的面积公式为．想法是：以为边作长方形，点在边上，再过点作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空： 用直尺和圆规过点作的垂线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 证明：在和中， ， ， ； ， _____①_____； 又； ．（_____②_____） _____③_____ 同理可得， _____④_____． 【答案】 如图，即为所求． ，，，． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，即可证明，同理可得，由此得到结论． 【详解】解：证明：在和中， ， ， ； ， ； 又； ．（） ， 同理可得， ． 故答案为：，，， 20. 如图，在中，，为的中点，过点作交延长线于点，过点作，过点作，且相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余即可得答案； （2）根据平行线的性质得出，利用直角三角形两锐角互余得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， 把，代入得：原式． 22. 为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年 月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（ ）（单选）． （A）漆扇摇香 （B）花漾手作 （C）宋韵点茶 （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________； （2）在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； （3）请补全条形统计图； （4）已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 【答案】（1）50，30 （2）72 （3） 补全条形统计图如下： （4）100 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，根据部分求总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据样本频数估计总体频数，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据部分的实际数据和占比求总数即可，根据部分实际数据和总数求占比即可； （2）用周角度数乘其占比即可求出圆心角度数； （3）求出“B”所对应的人数，再补全条形统计图即可； （4）根据样本频数求出总体频数即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 故答案为：50，30； 【小问2详解】 解：“A”所对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：“B”所对应的人数为（人） 【小问4详解】 解：（人） 该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生有100人． 23. 小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米． （1）请分别求出平开窗和推拉窗的单价； （2）设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？ 【答案】（1）平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； （2）一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元，根据将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米建立方程求解即可； （2）设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米，根据用于推拉窗的资金不低于4000元且总费用不超预算建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元； 【小问2详解】 解：设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为平方米， 由题意得，， 解得， ∵a为整数， ∴a的值可以为25或26， 当时，， 当时，， 答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米． 24. 已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： （1）关于x的方程的解为 ； （2）关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； （3）关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，掌握题干中方程的特征和方程的解是解题的关键： （1）根据题干方法求方程的解即可； （2）由题意可知：，利用完全平方公式变形计算即可； （3）将方程变形为，得到，进而得到，再根据是正整数，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴关于x的方程的解为，； 【小问2详解】 由题意可知：， ∴； 【小问3详解】 ， ， ∵关于x的方程的两个解是， ∴， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴或，是5的约数， ∴或， ∵为整数， ∴或． 25. 等边中，点为边上一动点，连接，与关于直线对称，连接． （1）如图1，点恰好落在平分线上，则求_______； （2）过点作交于点，连接交于点． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，，于点，直线交于点，连接，点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）15 （2）①，理由如下： 如图，延长，交于点， 设， 由对称的性质得：，，，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． ； ②4 【解析】 【分析】（1）根据三线合一的性质可得，则根据对称的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）①延长，交于点，证明为等边三角形，再证明，即可得线段、和之间的数量关系； ②连接，取中点，连接，则当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，即可求得长度． 【小问1详解】 解：设与交于点，如图， 是等边三角形，点E恰好落在平分线上， ，，， ， 由对称性质得：， ， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ②如图，连接，取中点，连接， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即，， ∴， 即， 解得（负值已舍去）， ∴， 是等边三角形，为的中点， ， ，， ， ， 当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，点与点重合， 、分别是、的中点， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $