第3章 第3讲 微专题——导数中的函数构造问题(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

第3讲　微专题——导数中的函数构造问题

近几年高考数学客观题多以导数为工具来证明不等式、求不等式的解集或求参数的取值范围作为压轴题，这类试题结构独特、技巧性高、综合性强，而构造函数是解决导数问题的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明．

题型一　通过导数的运算法则构造函数

考向1　利用f(x)与xn构造

[例1] (2026·衡水模拟)若函数f(x)满足 x2f′(x)＋2xf(x)＝1＋ln x，且f()＝，则f(x)的极大值是(　　)

A．     B．     

C．     D．e

【解析】　函数f(x)满足 x2f′(x)＋2xf(x)＝1＋ln x，故令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝1＋ln x，故g(x)＝x ln x＋C，由f()＝得g()＝ef()＝，故ln ＋C＝，则可得C＝0，故g(x)＝x2f(x)＝x ln x，故f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)在(0，e)上单调递增，当x>e时，f′(x)<0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值为f(e)＝.

【答案】　B

【素养小结】　常用的构造形式有xf(x)，xnf(x)，，，这类形式是对uv，型函数的导数运算的推广及应用，具体有以下情形：

(1)如果题目中出现nf(x)＋xf′(x)的形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；

(2)如果题目中出现xf′(x)－nf(x)的形式，构造函数F(x)＝.

考向2　利用f(x)与ex构造

[例2] 设函数y＝f(x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(－x)＝f(x)，f′(x)<f(x)，则下列不等式成立的是(　　)

A．f(0)<e-1f(1)<e2f(2)

B．e2f(2)<f(0)<e-1f(1)

C．e2f(2)<e-1f(1)<f(0)

D．e-1f(1)<f(0)<e2f(2)

【解析】　根据题意，构造函数g(x)＝e－x·f(x)，可得g′(x)＝(e－x)′·f(x)＋e－x·f′(x)＝－e－xf(x)＋e－xf′(x)＝e－x[f′(x)－f(x)]，因为f′(x)<f(x)，

所以g′(x)<0，所以函数g(x)为R上的减函数，所以g(－2)>g(0)>g(1)，

因为g(0)＝e0f(0)＝f(0)，

g(－2)＝e2f(－2)，g(1)＝e-1f(1)，

由f(－x)＝f(x)，

可得g(－2)＝e2f(－2)＝e2f(2)，

所以e-1f(1)<f(0)<e2f(2).

【答案】　D

【素养小结】　常用的构造形式有exf(x)，enxf(x)，，，这类形式一方面是对uv，型函数的导数运算的考察，另外一方面也是对(ex)′＝ex，(enx)′＝nenx的考察．具体有以下情形：

(1)对于f′(x)＋f(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝exf(x)；

(2)对于f′(x)－f(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝；

(3)对于f′(x)＋nf(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝enxf(x)；

(4)对于f′(x)－nf(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝.

考向3　利用f(x)与sin x，cos x构造

[例3] (2026·邵阳模拟)定义在∪上的偶函数f(x)，其导函数为f′(x).若x∈，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0恒成立，则(　　)

A．f>f     

B．f<f

C．f>f     

D．2f<f

【解析】　构造函数F(x)＝f(x)sin x，x∈，则F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)·cos x>0，故函数F(x)在上单调递增，

所以F<F<F<F，

又F＝f，F＝f，

F＝f，F＝f，

所以f<f<f<f，又f(x)是偶函数，

则f＝f<f＝f<f＝f<f，所以f<f，

f<f，

f<f，2f>f.