函数与导数：参变分离法解决导数问题、构造函数法解决导数问题讲义-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：参变分离法解决导数问题、构造函数法解决导数问题复习讲义 考点目录 参变分离法解决导数问题 构造函数法解决导数问题 考点一 参变分离法解决导数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方法本质 将方程或不等式中的参数 与自变量 完全分离到等号/不等号的两侧，转化为“”或“（）”的形式，将原问题等价转化为求函数 的值域或最值问题，无需对参数分类讨论。 1. 核心等价结论 设函数 在区间上的最大值为 ，最小值为 ： · 方程 有解 的取值范围为 的值域； · 不等式 恒成立 ； · 不等式 恒成立 ； · 存在 使得 成立 ； · 存在 使得 成立 。 1. 适用前提 · 参数可完全分离：参数为一次式，可通过移项、系数化 1 整理到一侧； · 分离后另一边的函数 的最值/值域易求，求导后结构不复杂； · 参数的系数符号恒定，或可分区间讨论符号，避免不等号方向混乱。 二、常见题型 1. 已知方程零点个数（有解/无解），求参数取值范围； 1. 不等式恒成立问题，求参数取值范围； 1. 存在性（能成立）问题，求参数取值范围。 三、解题思路 1. 判可分性：观察参数是否为一次，系数符号是否可确定，判断能否分离； 1. 分离参数：通过移项、两边同除系数，将参数单独放在一侧，另一侧为仅含 的函数 ； ⚠️ 若系数正负不确定，需分系数 、、 三类讨论，不等号方向随负号反转； 1. 求函数性质：对 求导，分析单调性、极值、端点极限，确定值域或最值； 1. 等价转化：根据方程解的个数、恒成立/存在性的结论，转化为参数与最值的关系； 1. 验等号：验证端点处、极限处的参数等号是否符合题意，确定开闭区间。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)对任意均有 成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，利用点斜式求出即可. （2）先讨论当时不等式成立，再讨论当时，将化简为，令，通过导函数的相关知识判断的单调性并求出其最小值，再结合不等式恒成立问题求出的取值范围. 【详解】（1）求导得，所以切线斜率， 由点斜式可知切线方程为，即. （2）由已知在上恒成立， 当时，恒成立； 则当时，不等式可化为， 记，则只需， 求导得. 记在时恒成立，则在单调递增； 所以，即， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，故a的取值范围为. 例2．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数． (1)判断并证明的单调性； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)在单调递减，证明如下： 由， 定义域为，求导得， 当时，，因此在单调递减． (2) 【分析】（1）通过导数判断函数的单调性即可； （2）根据单调性以及定义域将转化为，参变分离后转化为最值问题求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知在单调递减，故， 等价于，所以恒成立； 设，则，当时，， 所以在单调递增，则， 设，则在单调递减，所以； 因此，的取值范围为． 例3．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的导函数，因为切线与x轴平行时切线斜率为，所以令求解，再代入原函数得到对应值，即可得到点坐标 （2）先利用导函数分析的单调性，找到的最小值点，因为恒成立等价于的最小值大于等于，所以代入最小值点得到关于的不等式，求解可得的取值范围 【详解】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：， 解得：， 所以，因此点的坐标为 （2），令， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)切线方程为 (3) 【分析】（1）首先确定函数定义域，因为对数函数真数大于，所以定义域为；接着求的导函数，令求解临界点；再根据导函数在临界点两侧的符号判断是极大值还是极小值，代入计算极值. (2)先求得到切线斜率，同时计算得到切点坐标，利用点斜式写出切线方程再整理为一般式. (3)先化简的表达式，确定其定义域为；再求的导函数，对进行分类讨论，分析的单调性，找到最小值点；令最小值等于，建立方程求解的值. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得： 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅有极小值，无极大值. （2）由（1）得：切点为，切线斜率， 因此切线方程为： ， （3）由，得： ， 求导整理得： 令， 易得在单调递增，单调递减，，且恒成立. 当时：恒成立，符号由决定， 在处取最大值，时，不符合最小值为2，排除. 当时，令， 若即：无解，恒成立，在递减，递增， 最小值，得，与矛盾，舍去； 若即：仅有一个解，恒成立， 同理最小值为，符合条件； 若即，存在两个解， 分析得在递减，递增，递减，递增， 极小值为和，且时，时， 令极小值等可验证无解，故排除该情况， 综上，实数的值为. 变式2．（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知函数． (1)求的最大值； (2)对任意，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对求导，判断函数的单调性，从而求的最大值. （2）将问题对任意，转化为对任意恒成立.通过构造函数，利用函数的单调性求解. 【详解】（1）由，则， 令，则，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此在处取得极大值，也是最大值， 所以. （2）不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，问题转化为. ，令，即，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为， 所以. 变式3．（25-26高二下·四川成都·期末）已知函数，曲线在点处的切线为，已知在轴上的截距为. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若函数存在最大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解； （3）分类讨论函数的单调性进行求解． 【详解】（1）求导，得，故.     因为，所以切线的方程为.     令，得在轴上的截距.     由已知，，解得. （2）因为，所以等价于.     设函数，则.     当时，；当时，.     所以在上单调递增，在上单调递减.     故的最大值为.     所以的取值范围是. （3）①当时，因为在上单调递增，所以不存在极大值点（至多存在极小值点），故不存在最大值，不合题意.     ②当时，由（2）知，，所以在上单调递减，故不存在最大值，不合题意.     ③当时，由（2）知，，故. 又，.     由零点存在定理知，存在，， 使得. 且当，或时，； 当时，. 所以在和上单调递减，在上单调递增. 故是的极大值点. 当时，，要使成为最大值， 必有. 由，得. 所以，解得.     由（2）知，. 故，解得.     综上所述，的取值范围是. 考点二 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方法本质 将方程、不等式的所有项移到一侧，或通过变形整理为结构一致的形式，构造一个新的函数 ，将原问题转化为研究 的单调性、极值、最值、零点等性质，是导数问题的通用通法。 1. 三大核心构造类型 （1）直接移项构造（最基础） · 适用场景：参数易合并、式子结构简单的恒成立问题、零点问题。 · 操作：将所有项移到不等号/等号左侧，直接令 左侧表达式，研究 （或 ）即可。 · 优势：思路直接，无需变形；局限性：含参时往往需要分类讨论。 （2）同构构造（难点高频） · 适用场景：指数与对数混合的不等式、恒成立问题，参数与变量交织无法直接分离。 · 原理：将不等式两边整理为结构完全相同的形式，对应同一个单调函数 的两个函数值，利用单调性脱去外层函数，转化为自变量的大小关系。 · 常见同构模型： · 乘积型： 与 ，对应函数 （单调递增）； · 和差型： 与 ，对应函数 ； · 商型： 与 ，对应函数 。 （3）辅助构造（拓展型） · 极值点偏移：构造对称函数 （ 为极值点），证明偏移方向； · 不等式证明：构造差函数 ，证明 ；正值函数也可构造商函数简化运算。 二、解题思路 1. 选构造方式：根据式子特征，选择直接构造、同构或辅助构造； 1. 构新函数：整理式子，写出构造的函数 ，明确定义域； 1. 析性质：对 求导，分析单调性、极值、端点符号/极限，确定函数图像特征； 1. 转结论：将原问题等价为 的零点、最值、符号问题，结合性质求解。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数. (1)若在处取得极小值，求的值； (2)讨论函数在上的单调性. (3)设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)证明：点，， ，切线斜率. 切线点斜式：. ，得 . 要证点在轴下方,即证. 构造函数 ， 则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ， 综上，时，恒有，即点纵坐标小于 0， 故点在轴下方，得证. 【分析】（1）求导，由极小值点处导数为0求出参数，再检验； （2）求导后对参数分类讨论，判断导数正负，得到函数单调性； （3）求出切线方程，得到点纵坐标，构造函数证明纵坐标恒小于 0. 【详解】（1），定义域为，求导得. 因为在处取得极小值，则，，解得. 检验：当时，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故是极小值点，符合题意. （2）. 当时，，故恒成立， 所以在上单调递增. 当时，令，即，解得. 所以时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）略 【点睛】方法归纳：（1）可导函数极值点处导数等于0，但要检验左右导数符号； （2）含参导数问题，按参数范围分类讨论导函数符号； （3）切线交坐标轴问题，代入坐标轴条件求出交点坐标，转化为不等式证明，常用构造函数求最值. 例2．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知函数， (1)过点作曲线的切线，求切线的方程； (2)求函数的单调区间，并求函数在的值域； (3)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为；在上的值域为 (3) 【分析】（1）设切点坐标并利用导数表示斜率，写出切线方程后代入已知的曲线外一点求出切点，进而得到最终的切线方程. （2）通过求导确定函数的极值点并划分单调区间，再通过计算给定闭区间端点及极值点的函数值来确定值域. （3）将方程零点个数问题转化为两函数图象的交点问题，结合极值点单调区间画出函数图象，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，则，设切点坐标为， 则切线方程为， 代入得， 即，解得， 所以切点为，斜率， 则切线方程为，化简得. （2）由（1）得，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为，所以在内单调递增， 所以在区间内，，， 所以在上的值域为. （3）原问题转化为只有一个解，即与的图象只有1个交点， 由（2）得在取极小值，也是最小值， 即，且有， 令，当时，，取，则有， 则原式， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，易得的增长率在上高于的增长率， 所以当时，，由此可得， 综上，满足题意的与如图: 故的取值范围为. 例3．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； (3)证明：函数具有性质的充要条件是． 【答案】(1)具有性质，理由为： 由得，.设，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得，即， 故函数具有性质. (2) (3)证明：由得，，由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值0， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，由函数的性质可得，即， 且当时，，，，则， 则存在满足，即成立，所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则， 由得， 若，则，与已知矛盾. 若，设，则， 即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 先证明， 令，，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾. 综上，函数具有性质的充要条件为. 【分析】（1）利用定义检验即可； （2）利用定义将问题转化成三次函数问题，分离参数，利用函数有三个解即可研究参数的范围； （3）利用定义，结合逻辑关系，从充分性和必要性两个方向出发，结合导数知识即可证明. 【详解】（1）略. （2）解：.由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得 即，即 由已知方程有三个不相等的实数根. 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值0 ↘ 极小值 ↗ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的a的取值范围是. （3）略. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)已知函数， 若，则，， 由于，所以切点为， 切线斜率， 因此切线方程为， 化简得，即， 当，即时，， 因此曲线在点处的切线过定点. (2) 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于的函数即可求解； （2）构造函数，根据题意，得出在上单调递减，利用导数求出单调性即可求解. 【详解】（1）略 （2）已知函数， 则，由于对任意的，且， 恒有，移项得， 构造函数，上述条件等价于对任意的， 且，恒有， 即在上单调递减，则其导数在上恒成立， 由于，， 当时，，所以大于等于的最大值， 令，，令，解得， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 因此在处取最大值，最大值为， 所以，解得，所以的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数． (1)记函数，求的单调区间； (2)设是曲线在点处的切线． （i）当时，证明：除点外曲线在直线的上方； （ii）当时，过点的直线与垂直，，与轴的交点分别为，，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)（i）由题意得，直线的方程为， 即证在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 由（1）知的单调递增区间为和，单调递减区间为， 可得的极大值点是，极小值点是， ①当时，因为，所以， 因为，，所以，可得， 所以，可得，所以在上单调递减， 所以； ②当时，因为，所以在上单调递增， 所以，可得，所以在上单调递增， 所以， 综上可得，，即除点外曲线在直线的上方． （ii） 【分析】（1）根据题意，求得，进而求得函数的单调区间； （2）（i）求得的方程，转化为即在上恒成立，令，求得，分和，两种情况讨论，得到，即可得证； （ii）由（i）求得和得到，令，得到，令，利用导数求得的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 令，解得或；令，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）（i）略； （ii）由（i）知，直线的方程为， 令，可得，即， 直线的斜率为，因为过点的直线与垂直，可得， 则直线的方程为， 令，可得，即 所以， 因为，且， 所以， 令，则， 因为，所以，可得， 令，可得， 所以在上单调递减，可得， 所以的取值范围是． 变式3．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再结合导数分和两类讨论，函数的单调性； （3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立．再构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以. ，所以曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． （2）因为函数，定义域为， 所以， 因为恒成立，所以 当时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由不等式化简得：， 因为，所以对任意恒成立． 令，则， ，，，所以， 所以在上单调递减， 因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：参变分离法解决导数问题、构造函数法解决导数问题复习讲义 考点目录 参变分离法解决导数问题 构造函数法解决导数问题 考点一 参变分离法解决导数问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方法本质 将方程或不等式中的参数 与自变量 完全分离到等号/不等号的两侧，转化为“”或“（）”的形式，将原问题等价转化为求函数 的值域或最值问题，无需对参数分类讨论。 1. 核心等价结论 设函数 在区间上的最大值为 ，最小值为 ： · 方程 有解 的取值范围为 的值域； · 不等式 恒成立 ； · 不等式 恒成立 ； · 存在 使得 成立 ； · 存在 使得 成立 。 1. 适用前提 · 参数可完全分离：参数为一次式，可通过移项、系数化 1 整理到一侧； · 分离后另一边的函数 的最值/值域易求，求导后结构不复杂； · 参数的系数符号恒定，或可分区间讨论符号，避免不等号方向混乱。 二、常见题型 1. 已知方程零点个数（有解/无解），求参数取值范围； 1. 不等式恒成立问题，求参数取值范围； 1. 存在性（能成立）问题，求参数取值范围。 三、解题思路 1. 判可分性：观察参数是否为一次，系数符号是否可确定，判断能否分离； 1. 分离参数：通过移项、两边同除系数，将参数单独放在一侧，另一侧为仅含 的函数 ； ⚠️ 若系数正负不确定，需分系数 、、 三类讨论，不等号方向随负号反转； 1. 求函数性质：对 求导，分析单调性、极值、端点极限，确定值域或最值； 1. 等价转化：根据方程解的个数、恒成立/存在性的结论，转化为参数与最值的关系； 1. 验等号：验证端点处、极限处的参数等号是否符合题意，确定开闭区间。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)对任意均有 成立，求实数的取值范围. 例2．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知函数． (1)判断并证明的单调性； (2)若，，求的取值范围． 例3．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知函数． (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)若函数的最小值为2，求实数的值． 变式2．（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知函数． (1)求的最大值； (2)对任意，求实数a的取值范围． 变式3．（25-26高二下·四川成都·期末）已知函数，曲线在点处的切线为，已知在轴上的截距为. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若函数存在最大值，求的取值范围. 考点二 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 方法本质 将方程、不等式的所有项移到一侧，或通过变形整理为结构一致的形式，构造一个新的函数 ，将原问题转化为研究 的单调性、极值、最值、零点等性质，是导数问题的通用通法。 1. 三大核心构造类型 （1）直接移项构造（最基础） · 适用场景：参数易合并、式子结构简单的恒成立问题、零点问题。 · 操作：将所有项移到不等号/等号左侧，直接令 左侧表达式，研究 （或 ）即可。 · 优势：思路直接，无需变形；局限性：含参时往往需要分类讨论。 （2）同构构造（难点高频） · 适用场景：指数与对数混合的不等式、恒成立问题，参数与变量交织无法直接分离。 · 原理：将不等式两边整理为结构完全相同的形式，对应同一个单调函数 的两个函数值，利用单调性脱去外层函数，转化为自变量的大小关系。 · 常见同构模型： · 乘积型： 与 ，对应函数 （单调递增）； · 和差型： 与 ，对应函数 ； · 商型： 与 ，对应函数 。 （3）辅助构造（拓展型） · 极值点偏移：构造对称函数 （ 为极值点），证明偏移方向； · 不等式证明：构造差函数 ，证明 ；正值函数也可构造商函数简化运算。 二、解题思路 1. 选构造方式：根据式子特征，选择直接构造、同构或辅助构造； 1. 构新函数：整理式子，写出构造的函数 ，明确定义域； 1. 析性质：对 求导，分析单调性、极值、端点符号/极限，确定函数图像特征； 1. 转结论：将原问题等价为 的零点、最值、符号问题，结合性质求解。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数. (1)若在处取得极小值，求的值； (2)讨论函数在上的单调性. (3)设曲线在点处的切线为，直线交轴于点，求证：点在轴下方. 例2．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知函数， (1)过点作曲线的切线，求切线的方程； (2)求函数的单调区间，并求函数在的值域； (3)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围． 例3．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）设函数的定义域为，其导函数为，若存在，使得成立，则称函数具有性质． (1)判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)若函数具有性质，且满足条件的恰有三个，求的取值范围； (3)证明：函数具有性质的充要条件是． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 变式2．（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数． (1)记函数，求的单调区间； (2)设是曲线在点处的切线． （i）当时，证明：除点外曲线在直线的上方； （ii）当时，过点的直线与垂直，，与轴的交点分别为，，求的取值范围． 变式3．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $