2026-2027学年人教版上学期八年级数学期中复习卷

八年级数学周末作业姓名： 班级： 考生号： 座位号： 密 封 线 内 不 要 答 题 八年级数学周末作业姓名： 班级： 考生号： 座位号： 密 封 线 内 不 要 答 题 2026-2027学年度第一学期八年级数学期中复习卷 （姓名： 班级： 家长签字： ） 1、 选择题（本大题共 10 小题，每小题4 分，共 40 分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．4，4，8 C．5，6，12 D．9，9，16 2．点P（﹣2，6）关于x轴对称点的坐标是（　　） A．（2，6） B．（﹣2，﹣6） C．（2，﹣6） D．（6，﹣2） 3．下列图形中，是轴对称图形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 （第4题图） （第5题图） （第7题图） （第8题图） 5．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD 6．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：6，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 7．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 8．如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝10m，PB＝5m，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．4m B．9m C．11m D．14m 9．已知点A（3，b）与B（a，4）关于x轴对称，则a，b分别为（　　） A．3，﹣4 B．﹣3，﹣4 C．3，4 D．﹣3，4 10． 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 2、 填空题（本大题共 6 小题，每小题4 分，共 24分） 11．若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是 _______ cm． 12．点P（﹣1，﹣2）关于x轴的对称点P′的坐标为 ． 13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ． （第13题图） （第14题图） （第15题图） （第16题图） 14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，△ABD的周长为14，则△ABC的周长为 _______ ． 15．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件：____________________ （写出一个即可），使△ABC≌△DEF． 16．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝25，DE＝18，则BE＝___ __ ． 三、解答题（本大题共 56 分） 17．如图，在△ABC中，DF垂直平分AB，交BC于点D，交AB于点F，AE⊥BC，垂足为E，且DE＝CE，连接AD． （1）求证：AC＝BD； （2）若AF+BE＝16，求△ABC的周长． 18．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°．求∠AEC和∠DAE的度数． 19．如图，AB平分∠CAD，AC＝AD，求证：BC＝BD． 20．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A、B、C三点． （1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′； （2）写出点B′和点C′的坐标． （3）求△ABC的面积． 21．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AF＝DE． 22．已知，如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过A的一条直线，BE⊥l于E，CD⊥l于D． （1）求证：BE＝AD；（2）若BE＝5，CD＝7，求DE的长． 23．（1）若等腰三角形的两边长分别是4和9，求它的周长． （2）如图，已知AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE．求证：BC＝EF． 24. 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1) 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，直线m 经过点A ，BD 丄 直线m ， CE 丄直线m ，垂足分别为D ，E ．求证：DE = BD + CE ． (2)如图，将（1）中的条件改为： AB = AC ，A ，E ，D 三点都在直线m 上，且 有∠BDF = ∠DEC = ∠BAC = β , 其中β 为任意锐角．那么试猜想DE 、BD 、CE之间的关系? 并说明理由． 参考答案与试题解析 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．4，4，8 C．5，6，12 D．9，9，16 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，分别计算各选项的两边之和与第三边比较即可判断． 【解答】解：对于选项A：因为2+3＝5，等于第三边5，故不能组成三角形，不符合题意； 对于选项B：因为4+4＝8，等于第三边8，故不能组成三角形，不符合题意； 对于选项C：因为5+6＝11＜12，故不能组成三角形，不符合题意； 对于选项D：因为9+9＝18＞16，9+16＝25＞9，16+9＝25＞9，故能组成三角形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 2．点P（﹣2，6）关于x轴对称点的坐标是（　　） A．（2，6） B．（﹣2，﹣6） C．（2，﹣6） D．（6，﹣2） 【分析】根据“关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【解答】解：P（﹣2，6）关于x轴对称点的坐标是（﹣2，﹣6）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 3．下列图形中，是轴对称图形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此进行逐个分析，即可作答． 【解答】解：依题意，第一、第三和第五个图形都是轴对称图形， ∴是轴对称图形的有3个， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】作DE⊥AB于E，由角平分线的性质定理可得DE＝CD＝4，即可得解． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，CD＝4，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝4， ∴点D到AB的距离为4， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，点到直线的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 5．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD 【分析】根据已知可以得到∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得△ABC≌△BAD即可． 【解答】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA， ∴若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（AsA），故选项A不符合题意； 若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAs），故选项B不符合题意； 若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（sAs），故选项C不符合题意； 若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：sss、sAs、AsA、AAs． 6．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：6，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 【分析】根据各角之间的关系，求出∠C的度数，由∠C是钝角，可得出△ABC是钝角三角形． 【解答】解：在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：6，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C180°＝108°＞90°， ∴∠C是钝角， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据各角之间的关系，求出△ABC中最大角的度数是解题的关键． 7．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意； B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意； C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 8．如图，为了估计池塘两岸A，B之间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝10m，PB＝5m，那么A，B间的距离不可能是（　　） A．4m B．9m C．11m D．14m 【分析】根据三角形的三边关系求出AB的范围，判断即可． 【解答】解：在△APB中，PA﹣PB＜AB＜PA+PB， 则5m＜AB＜15m， ∴A，B间的距离不可能是4m， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 9．已知点A（3，b）与B（a，4）关于x轴对称，则a，b分别为（　　） A．3，﹣4 B．﹣3，﹣4 C．3，4 D．﹣3，4 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵点A（3，b）与B（a，4）关于x轴对称， ∴a＝3，b＝﹣4， 故选：A． 【点评】本题考查的是关于x轴的对称点的坐标特点，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2） 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可． 【解答】解：∵对△ABC进行循环往复的轴对称变换，点A坐标是（1，2）， ∴点A第一次关于y轴对称后在第二象限， 第二次关于x轴对称后在第三象限， 第三次关于y轴对称后在第四象限， 第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， ∴每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2025÷4＝506……1， ∴经过第2025次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，规律型：点的坐标，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共21分） 11．若等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则这个等腰三角形的周长是 　15　 cm． 【分析】等腰三角形两边的长为3cm和6cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【解答】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况： （1）当边长为3cm的边为腰时， 则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，3cm，6cm， ∵3+3＝6， ∴不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形； （2）当边长为6cm的边为腰时， 则这个等腰三角形的三边长分别为3cm，6cm，6cm，满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为3+6+6＝15（cm）； 综上，这个等腰三角形的周长为15cm， 故答案为：15． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12．点P（﹣1，﹣2）关于x轴的对称点P′的坐标为　（﹣1，2）　 ． 【分析】根据关于x轴对称的两个点的坐标的特征，即关于x轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数进行解答即可． 【解答】解：由关于x轴对称的点的坐标的特征可得，点P（﹣1，﹣2）关于x轴的对称点P′的坐标为（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）． 【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握关于x轴对称的两个点的坐标之间的关系是正确解答的关键． 13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　1　 ． 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝1， ∵AC＝2， ∴S△ACDAC•DF 2×1 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4，△ABD的周长为14，则△ABC的周长为 　22　 ． 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝8，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝8， ∵△ABD的周长为14， ∴BC+BD+CD＝14， ∴BC+BD+DA＝BC+AB＝14， ∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝14+8＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件：　∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）　 （写出一个即可），使△ABC≌△DEF． 【分析】在已知条件中有一对角相等和一组边相等，根据全等三角形的判定方法可以补充∠B和∠DEF的另一边相等，也可补充另一组角相等． 【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE， ∴可再补充∠A＝∠D，利用ASA可以判定△ABC≌△DEF， 也可以补充∠ACB＝∠DFE，利用AAS； 也可补充BC＝EF，利用SAS； 也可补充BE＝CF，从而可得到BC＝EF，利用SAS， 故答案为：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键． 16．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝25，DE＝18，则BE＝　7　 ． 【分析】根据题意可证△BCE≌△CAD（AAS），可得BE＝CD，CE＝AD＝25，再根据CD＝CE﹣DE，由此即可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ECA＝90°， ∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ECA+∠CAD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△BCE和△CAD中， ， ∴△BCE≌△CAD（AAS）， ∴BE＝CD，CE＝AD＝25， ∴BE＝CD＝CE﹣DE＝25﹣18＝7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其相关知识点的性质是解题的关键． 三、解答题 17．如图，在△ABC中，DF垂直平分AB，交BC于点D，交AB于点F，AE⊥BC，垂足为E，且DE＝CE，连接AD． （1）求证：AC＝BD； （2）若AF+BE＝16，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据AE⊥BC，且DE＝CE，可得AE垂直平分CD，则AD＝AC，根据DF垂直平分AB，可得AD＝BD，据此证明AC＝BD； （2）根据线段垂直平分线的定义得到AB＝2AF，根据DE＝CE，得到BC＝2DE+BD，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（AF+BE）＝32． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，且DE＝CE， ∴AD＝AC． ∵DF是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴AC＝BD； （2）解：∵DF是线段AB的垂直平分线， ∴AB＝2AF． ∵DE＝CE，AF+BE＝16， ∴BC＝2DE+BD， 由（1）得AC＝BD， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2AF+2DE+BD+BD＝2（AF+BE）＝32． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 18．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°．求∠AEC和∠DAE的度数． 【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC． 【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°， ∵AE是角平分线， ∴∠EAC∠BAC＝36°． ∵AD是高，∠C＝70°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°， ∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝36°﹣20°＝16°， ∠AEC＝90°﹣16°＝74°． 【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 19．如图，AB平分∠CAD，AC＝AD，求证：BC＝BD． 【分析】根据SAS证明△ACB和△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵AB平分∠CAD， ∴∠CAB＝∠DAB． 在△ACB和△ADB中， ， ∴△ACB≌△ADB（SAS）， ∴BC＝BD． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A、B、C三点． （1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′； （2）写出点B′和点C′的坐标． 【分析】（1）分别找出△ABC中三个顶点关于y轴的对称点，然后连接即可； （2）根据点在直角坐标系中的位置，写出坐标即可． 【解答】解：（1）如图， （2）B′（﹣3，﹣1），C′（﹣2，1）． 【点评】本题考查了直角坐标系、图形的轴对称等知识点，熟悉轴对称的性质是解题关键． 21．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AF＝DE． 【分析】利用AAS定理证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AF＝DE． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22．已知，如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过A的一条直线，BE⊥l于E，CD⊥l于D． （1）求证：BE＝AD； （2）若BE＝5，CD＝7，求DE的长． 【分析】（1）先根据∠BAC＝90°得出∠BAE+∠CAD＝90°，再根据BE⊥AE可知∠BAE+∠ABE＝90°，故可得出∠CAD＝∠ABE，根据AAS定理可得出△ABE≌△CAD，由此得出结论； （2）根据（1）中△ABE≌△CAD可得出AE及AD的长，进而得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝90°． ∵BE⊥AE， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠CAD＝∠ABE， 在△ABE与△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（AAS）． ∴BE＝AD； （2）解：∵由（1）知△ABE≌△CAD， ∴BE＝AD＝5，AE＝CD＝7， ∴DE＝AE﹣AD＝7﹣5＝2． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定定理，熟知AAS、ASA、SAS、SSS定理是解答此题的关键． 23．（1）若等腰三角形的两边长分别是4和9，求它的周长． （2）如图，已知AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE．求证：BC＝EF． 【分析】（1）依题意有以下两种情况：①当该等腰三角形的腰长为4时，则底边长为9，此时该等腰三角形的三边为4，4，9，不满足构成三角形的条件，此种情况不存在；②当该等腰三角形的腰长为9时，则底边长为4，此时该等腰三角形的三边为9，9，4，满足构成三角形的条件，进而再求出该等腰三角形的周长即可； （2）根据AB∥DE，BC∥EF得∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，再根据AB＝DE即可由“AAS”判定△ABC≌△DEF全等，然后再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）解：∵等腰三角形的两边长分别是4和9， ∴有以下两种情况： ①当该等腰三角形的腰长为4时，则底边长为9， 此时该等腰三角形的三边为：4，4，9， ∵4+4＜9，不满足构成三角形的条件， ∴此种情况不存在； ②当该等腰三角形的腰长为9时，则底边长为4， 此时该等腰三角形的三边为：9，9，4， ∵4+9＞9，满足构成三角形的条件， 此时该等腰三角形的周长为：4+9+9＝22； （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝EF． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 24.三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，直线m 经过点A ，BD 丄 直线m ， CE 丄直线m ，垂足分别为D ，E ．求证：DE = BD + CE ． (2)如图，将（1）中的条件改为： AB = AC ，A ，E ，D 三点都在直线m 上，且 有∠BDF = ∠DEC = ∠BAC = β , 其中β 为任意锐角．那么试猜想DE 、BD 、CE之间的关系? 并说明理由． （1）证明： ∵ BD⊥直线m，CE⊥直线m ∴ ∠BDA=∠AEC=90° ∴ ∠BAD+∠ABD=90° ∵ ∠BAC=90° ∴ ∠BAD+∠CAE=90° ∴ ∠ABD=∠CAE 在△ADB和△CEA中 { ∠BDA=∠AEC ∠ABD=∠CAE AB=CA } ∴ △ADB≌△CEA（AAS） ∴ BD=AE，AD=CE ∴ DE=AE+AD=BD+CE （2）猜想：DE=CE−BD 理由： ∵ ∠BDF=∠DEC=β ∴ ∠BDA=∠AEC ∵ ∠BDF=∠DBA+∠BAD，∠BAC=∠EAC+∠BAD，∠BDF=∠BAC=β ∴ ∠DBA=∠EAC 在△ADB和△CEA中 { ∠DBA=∠EAC ∠BDA=∠AEC AB=CA } ∴ △ADB≌△CEA（AAS） ∴ BD=AE，AD=CE ∵ DE=AD−AE ∴ DE=CE−BD 第3页/共6页 第4页/共6页 第5页/（共6页） 第6页/（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $