2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中易错题型训练

三角形 实数的初步认识 勾股定理 教师详解版 八年级数学上册期中易错题型汇编 2026—2027学年 苏科版 教师详解版 一、选择题（共24题，每题只有一个正确选项。） 1．下列各式中，值等于的是（　　）。 A． B． C． D． 答案 C 解析 ，，，。因此选C。 2．的值是（　　）。 A． B． C． D． 答案 A 解析 因为，所以。负数的立方根是负数。因此选A。 3．下列各数中，是无理数的是（　　）。 A． B． C． D． 答案 D 解析 ，，是分数，这三个数都是有理⁠数⁠；是无理数。因此选D。 4．若有意义，则下列等式一定成立的是（　　）。 A． B． C． D． 答案 C 解析 由且，得。因此，有。 不一定等于或；且，故，不是。因此选C。 5．将，，按从小到大的顺序排列，正确的是（　　）。 A． B． C． D． 答案 B 解析 因为，所以，从而。又，故。因此选B。 6．一个数按四舍五入法精确到十分位的结果为。这个数可能是（　　）。 A． B． C． D． 答案 B 解析 能四舍五入为的数应满足。四个选项中只有符合。因此选B。 7．如图，数轴上的点，，分别表示，，。点表示，则点（　　）。 A．在线段上，且距点较近 B．在线段上，且距点较近 C．在线段上，且距点较近 D．在线段上，且距点较近 答案 A 解析 由，得，所以点在线段上。 因为，所以，从而。点在中点的右侧，距点较⁠近⁠。 因此选A。 8．一个正方体的体积为立方米，它的棱长为（　　）。 A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 答案 D 解析 因为，所以正方体棱长为米，即厘米。因此选D。 9．一个三角形的两边长分别为和，第三边长为整数，且周长为奇数。第三边长共有（　　）种可⁠能⁠。 A． B． C． D． 答案 C 解析 设第三边长为。由三角形三边关系，，即。 周长为，它是奇数，所以整数必须是偶数。符合条件的为、、、，共种。 10．如图，已知，。下列条件中，能保证的是（　　）。 A． B． C． D． 答案 C 解析 已知两组对应边分别相等，若再有它们的夹角相等，即，可由“SAS”判定两三角形全⁠等⁠。 选项A、B给的是非夹角，属于一般不能判定全等的“两边及其中一边的对角”；选项D没有给出第三组对应边相等，均不⁠足⁠。 11．如图，将绕点逆时针旋转，得到，其中点与点对应，点与点对应。若，，则等于（　　）。 A． B． C． D． 答案 D 解析 在中，。 旋转保持角度不变，且点对应点，所以。是旋转角，并不是所求三角形内⁠角⁠。 12．一个等腰三角形有一个外角等于，则这个等腰三角形的顶角可能是（　　）。 A． B． C．或 D．或 答案 D 解析 与该外角相邻的内角为。 若这个角是顶角，则顶角为；若它是底角，则顶角为。两种情况均成⁠立⁠。 13．如图，在等腰三角形中，，。点在边上，且，则为（　　）。 A． B． C． D． 答案 A 解析 由，得，所以。 在直角三角形中，。是腰上的高，不能把它当作顶角平分线或底角平分⁠线⁠。 14．如图，点在内部，，，垂足分别为、。若，，则等于（　　）。 A． B． C． D． 答案 B 解析 、分别是点到角两边的距离，且二者相等，所以点在的平分线⁠上⁠。 因此，。 15．如图，、分别是线段、的垂直平分线，点位于外部。下列等式一定成立的是（　　）。 A． B． C． D． 答案 A 解析 点在线段的垂直平分线上，所以；又在线段的垂直平分线上，所以。 故。垂直平分线的等距性质与点在三角形内部还是外部无关，也不能据此推出三角形本身等⁠腰⁠。 16．如图，在中，，，。，垂足为， 则的长为（　　）。 A． B． C． D． 答案 C 解析 在直角三角形中，角所对的边为，故。 ，所以在直角三角形中，，。 点在边上，因此。 17．下列各组数作为三角形的三边长时，能构成直角三角形的是（　　）。 A．，， B．，， C．，， D．，， 答案 B 解析 判断时先找最长边。选项B中最长边为，且，由勾股定理的逆定理可知是直角三角⁠形⁠。 其余三组选项中，两条较短边的平方和依次为、、，最长边的平方依次为、、，都不相⁠等⁠。 18．一个三角形的三边长分别是、、，则这个三角形的面积是（　　）。 A． B． C． D． 答案 C 解析 先统一单位：，。三边为、、。 因为，所以三角形是直角三角形，且两条直角边为和。 面积为。 19．如图，与关于过点的直线对称，点与点对应，点与点对应。若，，则的度数为（　　）。 A． B． C． D． 答案 C 解析 。 轴对称保持角度不变。点对应点，所以，不是顶点处的⁠角⁠。 20．如图，。下列条件中，不能保证（按所写顶点顺序对应）的是（　　）。 A． B． C． D． 答案 D 解析 两个直角三角形有公共斜边。若或，都有一组按题设顺序对应的直角边相等，可用“HL”判定，故A、B足⁠够⁠。 若，再结合两个直角相等及公共边，可用“AAS”判定，故C足⁠够⁠。 把不同位置的直角边配在一起，只能保证另一种对应顺序下的全等，不能保证本题要求的对应关系，故选D。例如取、、、。 21．一个等腰三角形的周长为，其中一条边长为，则它的底边长为（　　）。 A． B． C． D．或 答案 A 解析 若长为的边是底边，则两腰各为，三边为、、，能构成三角⁠形⁠。 若长为的边是腰，则底边长为，但，不能构成三角⁠形⁠。 因此只有第一种情况成立，底边长为。 22．如图，是的中线，点在上。若，，则为（　　）。 A． B． C． D． 答案 B 解析 由是中点，可得。与等底等高，所以。 于是。 与也是等底等高，故。 23．如图，在中，，。线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于（　　）。 A． B． C． D． 答案 C 解析 点在的垂直平分线上，所以，因此。 由于点在边上，射线位于内部，所以。 24．如图，，。沿折叠，使点落在边上的点处，其中在边上，则等于（　　）。 A． B． C． D． 答案 A 解析 由，得。折叠使射线与射线重合，因此平分，。 在中，。折叠又给。 点、、共线，故。 二、填空题（共24题，请将答案填写在横线上。） 25．已知是的平方根，是的立方根，则________。 答案 或 解析 的平方根为和，所以或；。 当时，；当时，。故填或。 26．若是整数，，且也是整数，则的所有可能值为________。 答案 ，， 解析 因为为整数，所以是完全平方⁠数⁠。，，，，。 因此符合条件的为，，。 27．已知是两位小数，且，则的所有可能值为________。 答案 或 解析 因为，且三者均为正数，所以，即。 又是两位小数，故符合条件的只有，。其中，，两侧相邻的两位小数均不符合条⁠件⁠。 28．小于的最大整数与大于的最小整数的积为________。 答案 解析 ，所以，且。 小于的最大整数是，大于的最小整数是，两者的积为。 29．已知，则________。 答案 解析 由，得，所以。 因此。 30．正数的两个平方根分别为，，且，则________。 答案 解析 正数的两个平方根互为相反数，所以。又，得，。 因此，故。 31．一个数的立方根是，则这个数的相反数的平方根为________。 答案 解析 这个数为，它的相反数是。的平方根为。 32．一个两位小数按四舍五入法精确到十分位后为，这个两位小数的最大值为________。 答案 解析 设这个数为。由四舍五入得。 因为是两位小数，所以它的最大值是，不能取会舍入为的。 33．如图，延长至点，平分。若，，则________。 答案 解析 是的外角，所以。 平分，故。 34．如图，，，，的面积为，则腰长________。 答案 解析 由面积公式得。 等腰三角形底边上的高也是中线，所以。 在直角三角形中，。边长为正，因此，不能把当作边⁠长⁠。 35．如图，，，。点在直线上（图中未画出），且，则的长为________。 答案 或 解析 由勾股定理，。 直线上距点为的点有两个：若在从经过的方向上，则越过，；若在相反方向上，则。 题目限定的是“直线”，不是“射线”或“线段”，所以两种情况都要保⁠留⁠。 36．如图，是边长为的等边三角形，，垂足为，则________， ________。 答案 解析 等边三角形有，所以从顶点到底边的高同时是中线和角平分⁠线⁠。 因此，且。 37．如图，平分，点在边上，，。若，，，则________。 答案 解析 点在的平分线上，故。设。 把分成和，有。 解得，所以。这里等的是两段垂距，不是与。 38．如图，是线段的垂直平分线，，，则________。 答案 解析 因为垂直平分，所以，且。 在直角三角形中，。 39．一个直角三角形的两条边长分别为和，则第三条边长为________。 答案 或 解析 若和都是直角边，则第三边为斜边，长度为。 若是斜边，则第三边为直角边，长度为。 小于已知边，不可能是斜边，所以没有第三种情⁠况⁠。 40．如图，是等边三角形，延长至点，使，连接，则________。 答案 解析 等边三角形中，，。由得。 ，所以等腰三角形的底角。 因此。 41．如图，线段、交于点，且分别是、的中点。若，，，则的周长为________。 答案 解析 由中点条件得，，又（对顶角相等）。 在和中，，所以（SAS）。 因此，所求周长为。 42．如图，，垂足在的延长线上。若，，， 则的面积为________。 答案 解析 在直角三角形中，。 按点的顺序、、，有，不能把两段相⁠加⁠。 虽然高的垂足在三角形外部，面积公式仍为。 43．如图，每个小正方形的边长均为，、、都是格点，则的面积为________。 答案 解析 利用网格中的直角三角形可得，，。 因为，由勾股定理的逆定理得；又。 所以。不能把图上水平或竖直的格数直接当作斜边长⁠度⁠。 44．如图，、、依次在同一直线上，点、位于该直线两侧，，，，。若，，则________。 答案 解析 由，得；由，得，故。 在和中，，所以（AAS）， 从而，。 点、、依次共线，所以。这里应根据垂足的顺序取差，不能把两条投影线段相⁠加⁠。 45．如图，，点在射线上，。点是射线上的动点（允许与点重合），则的最小值为________。 答案 解析 过点作直线，垂足为。因为，所以在射线的反向延长线⁠上⁠。 对射线上的任意点，有。由勾股定理，，因此。 当与重合时等号成立，所以最小值为。垂足不在允许的射线上，不能把当作最小⁠值⁠。 46．如图，是边长为的等边三角形，点在线段内部，过点作交于点，过点作交于点，则________。 答案 解析 等边三角形的各内角均为。由，得，。 所以是等边三角形，。 由，得；又，所以是等边三角形，。 点在边上，因此。 47．如图，在中，，，。将纸片折叠，使点与点重合，折痕所在直线与的延长线交于点，则________。 答案 解析 折痕上的点到折叠前后对应点的距离相等，所以。设，由点的顺序、、，得。 在直角三角形中，，所以。 展开得，即，解得。该值为正，与在延长线上的位置一⁠致⁠。 48．如图，在直角三角形中，，点是斜边的中点。若，，则的周长为________。 答案 解析 点是斜边的中点，所以。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故。 因此的周长为。这里所求是小三角形周长，不需要先求。 三、解答题（共34题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 49．计算： （1）。 （2）。 答案 （1）。 （2）。 解析 （1），。 原式。 （2）由，得，故。 又，，所以原式。 50．一张正方形纸片的面积为平方分米。现从中剪出一张边长为整厘米数的正方形纸片，不计剪裁损⁠耗⁠。 （1）原纸片的边长在哪两个相邻的整分米数之⁠间⁠？ （2）剪出的正方形纸片的边长最大为多少厘⁠米⁠？ （3）按（2）中的最大边长剪裁后，剩余纸片的面积是多少平方厘⁠米⁠？ 答案 （1）在分米与分米之⁠间⁠。 （2）厘⁠米⁠。 （3）平方厘⁠米⁠。 解析 （1）设原纸片边长为分米，则。因为，所以。 （2）平方分米平方厘米。因为，所以原纸片边长在厘米与厘米之⁠间⁠。 沿原纸片的一组邻边可剪出边长为厘米的正方形；边长为厘米的正方形面积已大于原纸片面积，无法剪出。因此最大边长为厘⁠米⁠。 （3）剩余纸片面积为平方厘⁠米⁠。 51．已知实数，满足，是的平方⁠根⁠。 （1）求，的⁠值⁠。 （2）求的所有可能⁠值⁠。 （3）求的所有可能⁠值⁠。 答案 （1），。 （2）或。 （3）或。 解析 （1）算术平方根和绝对值都非负，它们的和为，故，。因此，。 （2）因为是的平方根，所以或。当时，；当时，。 （3）当时，；当时，。故所求值为或。 52．已知是的整数部分，是的小数部⁠分⁠。 （1）求，并用含根号的式子表示。 （2）求的⁠值⁠。 （3）比较与的大⁠小⁠。 答案 （1），。 （2）。 （3）。 解析 （1）因为，所以。因此，，且。 （2）由，得。又，故。 因此原式。 （3）因为，且两数都为正，所以。于是。 53．正整数不大于。 （1）当时，分别求与的整数部⁠分⁠。 （2）若与的整数部分相同，求的所有可能⁠值⁠。 （3）在（2）的结果中，使这两个算术平方根都是无理数的共有多少⁠个⁠？ 答案 （1）都是。 （2），，，，，，，，，，，。 （3）个。 解析 （1）当时，且，所以与的整数部分都是。 （2）设两个算术平方根的整数部分都为非负整数，则且，即。 要存在这样的，必须有，即，所以。又，故。 当时，，得，；当时，，得，，，；当时，，得，，，，，。这些值均不大于，且代入均满足条⁠件⁠。 （3）（2）中共有个值，其中，，时，为整数，应排除。其余个值都不是完全平方⁠数⁠。 对（2）中的任一值，，所以不是完全平方数，一定是无理数。故两个算术平方根都是无理数的共有个。 54．若与都是整数，求实数的所有可能⁠值⁠。 答案 或。 解析 令，则是非负整数，，所以也必须是一个整数的平⁠方⁠。 当时，，故。两个相邻整数的平方之间没有完全平方数，因此时不符合条⁠件⁠。 所以只需检查，，，，，，，，，，。此时依次为，，，，，，，，，，。 其中只有和是完全平方数，分别对应和。所以或。 检验：当时，两个算术平方根为和；当时，两个算术平方根为和，均为整数。故的所有可能值为，。 55．如图，在中，。点、分别在线段、内部，且，与相交于点。 （1）求证：。 （2）求证：。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）因为，所以。又因为在上，在上，所以。 在和中，，所以（SAS），故。 （2）由（1）的全等关系，得。因为在线段、上，所以，从而。 所以。 56．如图，中，，，。平分，交于点，点在线段内部，且。过点分别作、，垂足为、。 （1）求证：。 （2）求。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）因为平分，所以。 在和中，，所以（AAS），故。 （2）在直角三角形中，，所以，故。 因此。 57．如图，，点是的中点，的周长为，的周长为。 （1）求的⁠长⁠。 （2）求的⁠长⁠。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）因为，，所以。 由，得。 （2）等腰三角形底边上的中线也是高，所以。设，则。 在直角三角形中，由勾股定理得，即，解得。所以。 58．如图，中，，。、的垂直平分线分别交直线于点、，其中点、、、依次在同一直线上。连接、，求的度⁠数⁠。 答案 。 解析 由三角形内角和，得。 因为在的垂直平分线上，所以。在中，，故。 因为在的垂直平分线上，所以。在中，。 所以。 59．如图，中，。延长至点，平分，平分外角，两条平分线相交于点。的内角平分线交线段于点。 （1）求的度⁠数⁠。 （2）求的度⁠数⁠。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）因为，所以。 在中，。 （2）因为、分别平分及其外角，所以。 点、、依次共线，故。在中，。 60．如图，点、在直线的两侧，，且。 （1）求证：射线平分。 （2）若，求的度⁠数⁠。 答案 （1）射线平分；（2）。 解析 （1）在直角三角形和中，，所以（HL）。 因此，即射线平分。 （2）由（1），得。两个直角三角形中，。 所以。 61．如图，是等边三角形，点、分别在线段、内部，且，与相交于点。 （1）求证：。 （2）求的度⁠数⁠。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）因为是等边三角形，所以，。 在和中，，所以（SAS），故。 （2）由全等可得。设，则，。 因此在中，。 62．如图，，点是的中点。连接、、。已知，的周长为，。 （1）求的⁠长⁠。 （2）求的面⁠积⁠。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）因为是两个直角三角形公共斜边的中点，所以。 由，得，所以。 （2）在直角三角形中，。 因此。 63．如图，，，，垂足为。过点作直线的垂线，垂足在的延长线上。求的⁠长⁠。 答案 。 解析 因为，，所以。 在直角三角形中，。 以为底，。 点虽在的延长线上，仍是在底边上对应的高，所以， 解得。 64．如图，，，。延长至点，使，连接。求的⁠长⁠。 答案 。 解析 因为，由勾股定理的逆定理，得。 点在线段上，所以，且。 在直角三角形中，。 65．如图，墙面与地面垂直，一架长分米的梯子最初斜靠在墙上，顶端为，底端为，此时分米。将梯子底端沿地面向远离墙面的方向移动分米至点，顶端沿墙面下滑至点，梯子长度不变。求顶端下滑的距离。 答案 分⁠米⁠。 解析 在直角三角形中，（分米）。 梯子底端向远离墙面的方向移动，所以（分米）。 在直角三角形中，（分米）。 因此（分米）。 66．如图，中，，，。沿折痕折叠，使点与线段内部的点重合，其中、分别在线段、内部。已知，求的⁠长⁠。 答案 。 解析 折叠后点与点重合，折痕上的点不动，所以。 设，则，从而。 在直角三角形中，由勾股定理得，即，解得。 所得，符合点在线段内部的条件。因此。 67．如图，，。点、、依次在同一直线上，点、在直线的同侧，且，。已知，。 （1）求的⁠长⁠。 （2）求的面⁠积⁠。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）因为，且、、共线，所以。又因为，所以，从而。 在和中，，所以（AAS）。 故，。点在线段上，所以。 （2）在直角三角形中，。因为且，所以。 68．如图，点、分别是、的中点，与相交于点，连接。 已知的面积为。 （1）求的面⁠积⁠。 （2）求的面⁠积⁠。 答案 （1）；（2）。 解析 （1）连接。因为，所以，。两式相减，得。 因为，所以，。两式相减，得。 因此。 （2）由中点条件与等高面积关系，，。 同理，。 因此。 69．在中，。过点作直线，垂足为，且。下图示意两种可能的位⁠置⁠。 （1）求的所有可能⁠值⁠。 （2）分别求两种情况下的，并比较两个三角形的面⁠积⁠。 答案 （1）或。 （2）分别为、；面积均为。 解析 （1）在直角三角形中，。若在射线上，则；若在射线的反向延长线上，则。这已包括垂足在直线上的全部可能位⁠置⁠。 （2）由及，得。由勾股定理，。当时，等腰三角形为等边三角形，所以。 当时，点的顺序为，故。在直角三角形中，，所以。两种情况下，以为底的高均为，故面积均为。 70．如图，，，。点在上，将沿翻折，使点落在射线上的点处。 （1）求，判断点在线段上还是在的延长线⁠上⁠。 （2）求。 （3）求翻折后的与原重叠部分的面⁠积⁠。 答案 （1），在经过的延长线⁠上⁠。 （2）。 （3）重叠部分面积为。 解析 （1）由勾股定理，。翻折保持长度不变，故。因为，且在射线上，所以点的顺序为，。 （2）设，则。翻折得。由于，在直角三角形中，，即，解得。此时，符合在上的要⁠求⁠。 （3）与在直线的两侧，且在线段上，因此被分为与。前者在内，后者在外，重叠部分恰为。其面积为。 71．如图，，，点在线段内部。将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、。 （1）证明：，且。 （2）当为等腰三角形时，确定点的位置，并求的面⁠积⁠。 答案 （1），。 （2）为的中点，面积为。 解析 （1）旋转得，。由于，扣去公共的，得。在与中，，所以（SAS），从而，。 且，故。于是。射线与分居直线两侧，故，即。 （2）在处为直角，严格大于两条直角边，因此等腰只能是。 由（1），得，故为的中点；反过来，为中点时也确有。 由勾股定理，。因此。 72．如图，，，、在直线同侧，，。点在经过的延长线⁠上⁠。 （1）点在直线上运动，求的最小值，并确定取到最小值时的位⁠置⁠。 （2）若点只能在射线上运动，求的最小值及对应的的位⁠置⁠。 答案 （1）最小值为，为的中⁠点⁠。 （2）最小值为，。 解析 （1）作点关于直线的对称点，则，且对任意都有。由两点之间线段最短，，当且仅当在线段上时取等⁠号⁠。 设与交于。在与中，，故两三角形全等（AAS），所以，。从而。交点确在直线上，故最小值能够取⁠到⁠。 （2）当在射线上时，。由垂线段最短，；由勾股定理，，故。两处等号同时成立恰在时，所以此时最小值为。不能沿用（1）的取等点，因为中点不在射线上。 73．在中，，。过点分别作直线、直线， 垂足为、。 （1）求的面⁠积⁠。 （2）当在线段内部时，求。 （3）当在经过的延长线上，且时，求。 答案 （1）。 （2）。 （3）。 解析 （1）作于。由等腰三角形三线合一，，故。于是。 （2）连接。在内部，故。分别以、为底，得到，即。 （3）此时在线段上，故。因此，即。代入，得。点在线段内部时用面积和，移到延长线后应改为面积⁠差⁠。 74．如图，，，。点与点在直线的两侧，。过作于，作直线于，其中在线段内部。连接、。 （1）证明：。 （2）若的面积为，求和。 答案 （1）。 （2），。 解析 （1）由于与在两侧，垂足在经过的延长线上，故，。在与中，，所以两三角形全等（AAS），从而。 （2）设。，，。由图中三角形的分割关系，，故，解得。这里两条距离相等，但对应的面积应一加一减，不能把直接等于。 在直角三角形中，，所以。由勾股定理，。且，符合在线段内部的条⁠件⁠。 75．如图，每个小方格的边长均为，点、是给定的格点。点只能取图中方格网的格点，且、、必须能构成三角⁠形⁠。 （1）在图中标出所有满足的点，并写出个⁠数⁠。 （2）在图中补出其余使为等腰三角形的点，求所有符合要求的点的总⁠数⁠。 答案 （1）个，位于垂直平分线上的格点，但不包括中⁠点⁠。 （2）另有个，总共个，位置见解析图中的空心⁠圆⁠。 解析 （1）。满足的点在的垂直平分线上，即经过图中正中央一列格点的竖直线上。该直线上共个格点，其中中点与、共线，不能构成三角形，故剩个。 （2）还要分别考虑和。 设两格点之间横向、竖向所跨的格数为非负整数，则长度为必须满足。在中，只有能组成，因此两点必须在同一水平线或同一竖直线上，相隔格。 以为一端，图内相距的格点为和正上方格的⁠点⁠；不能作为第三顶点，只新增上方点。以为一端，同理只新增正上方格的点。这两点不在前述垂直平分线上，互不重复。因此总数为，三种相等边关系已全部检⁠查⁠。 76．如图，，，在上，在上，，。点从出发沿运动，点同时从出发沿运动，速度均为每秒个单位长度。运动时间为秒，。 （1）当时，求，判断与是否全⁠等⁠。 （2）求使这两个三角形全等的所有值，并分别写出正确的顶点对应顺⁠序⁠。 答案 （1），两三角形不全⁠等⁠。 （2）时；时。 解析 （1），。当时，，，故。而。两个直角三角形的斜边不相等，所以不全⁠等⁠。 （2）两个三角形均只有处为直角，因此全等时直角顶点必须对应，两个直角边的对应有且只有两种：一是、，得；二是、，得。 、均在内。分别由两边及其夹角相等（SAS），可得、。不能只按图中字母的书写次序保留第一种对应，也不能将直角边与斜边配⁠对⁠。 77．在中，，，。过作直线于。 （1）求和。 （2）求的所有可能值，以及各自对应的的面⁠积⁠。 答案 （1），。 （2）或；对应面积为或。 解析 （1）由于为锐角，垂足在射线上。在直角三角形中，。由勾股定理，。 （2）在直角三角形中，。当在、之间时，；当在射线上且越过时，。 因为，所以，第一种位置也确实位于射线上，两种位置均成立。面积分别为，以及。仅给两边及其中一边的对角，不能直接认定只有一种三角⁠形⁠。 78．如图，在中，，平分，交于。 （1）若，证明：。 （2）反过来，若，证明：。 答案 （1）。 （2）。 解析 （1）在上取点，使，连接。由于，在线段内部。在与中，，所以（SAS），故，。 共线，是在处的外角，所以。由及，得，从而。故。 （2）仍在上取并连接。同样由SAS，得，。由已知，可得，因此。 再用三角形外角性质，。这说明在题设的角平分线和边长大小条件下，两个结论可以相互推⁠出⁠。 79．如图，。在的外侧，分别以、为边作等边三角形、。连接、，两线段交于点。 （1）证明：。 （2）求。 答案 （1）。 （2）。 解析 （1）由等边三角形，得，，。两等边三角形均作在原三角形外侧，所以，。 在与中，，故（SAS），从而，。 （2）设。由图中射线次序及为等边三角形，，。在中，。 点共线，且在内部，因此。这里是，不是题目所求的。 80．如图，，，为的中点。过作两条互相垂直的直线，分别交、的内部于、，连接、。 （1）证明：，并写出由此得到的与的关⁠系⁠。 （2）求。 （3）小明认为。判断这个结论是否正确，并比较与的大⁠小⁠。 答案 （1），。 （2）面积和恒为。 （3）不正确，。 解析 （1）等腰三角形的三线合一得，且。又由直角三角形斜边上的中线性质，。于是。 因为、，所以与都与互余，从而。在与中，，故两三角形全等（ASA），从而，且两三角形面积相⁠等⁠。 （2）由（1），，所以。由于为中点，。 （3）由，得。由于、分别在两条边内部，确为三角形。由三角形两边之和大于第三边，。长度和等于不能改成连接两端点的线段长等于。 81．如图，，，。点从出发，先沿到达，再沿到达，速度始终为每秒个单位长度。设运动时间为秒，。过作于。 （1）求、和。 （2）当在线段上时，求使为等腰三角形的所有值。 （3）求整个运动过程中，同时满足为等腰三角形且的所有值。 答案 （1），，。 （2）、、。 （3）只有秒。 解析 （1）。由三角形面积的两种表示，，得。在直角三角形中，，故。 （2）第一段运动中，。分三种相等边关系：①时，。②时，为以为底的等腰三角形，是底边上的高，故，，即。 ③时，不论在的哪一侧，都有。由勾股定理，。展开并消去，得，所以。三值互不相同，均在内，代入各分支均成⁠立⁠。 （3），题设面积要求为。第一段运动中，与以、为底时高相同，所以。令，得。由（2），这个时刻也满足等腰条⁠件⁠。 第二段运动中，，，且。由面积要求，， 得、。此时两条直角边分别为和，不相等；斜边又严格大于每条直角边，所以不是等腰三角形，应排除。故整个运动过程中同时满足两项要求的时刻只有秒。 82．如图，，，为的中点。点、分别在线段、上，且，为的中⁠点⁠。 （1）证明：。 （2）求的最小值，确定此时、的长度，并求的面⁠积⁠。 （3）若再增加限制，第（2）问中的最小值还能取到⁠吗⁠？ 答案 （1）。 （2）最小值为；；面积为。 （3）不能取到，因为取等必须有。 解析 （1）由勾股定理，。两个直角三角形分别应用斜边中线性质，得，。因为，故。由线段长度关系，得。 （2）取等必须且只需共线，且在线段上。由于，平分。若取等，到直线、的距离相等，设为。又为中点，；分别以、为底，得。，故。 由，得。因为，所以，两点确在线段、内部。反过来按此取点，等腰三角形的中线平分，与在同一射线上；又，故在上，确能取到上述下⁠界⁠。 因此最小值为，面积为。 （3）取到第（2）问的值必须有，而，所以，不符合新增限制。因此该值不能取到。新增条件并非没有可行图形，例如、时，且，但此时严格大于。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $三角形 实数的初步认识 勾股定理 学生版 八年级数学上册期中易错题型汇编 2026—2027学年 苏科版 学生版 班级：_______________ 姓名：_______________ 一、选择题（共24题，每题只有一个正确选项。） 1．下列各式中，值等于的是（　　）。 A． B． C． D． 2．的值是（　　）。 A． B． C． D． 3．下列各数中，是无理数的是（　　）。 A． B． C． D． 4．若有意义，则下列等式一定成立的是（　　）。 A． B． C． D． 5．将，，按从小到大的顺序排列，正确的是（　　）。 A． B． C． D． 6．一个数按四舍五入法精确到十分位的结果为。这个数可能是（　　）。 A． B． C． D． 7．如图，数轴上的点，，分别表示，，。点表示，则点（　　）。 A．在线段上，且距点较近 B．在线段上，且距点较近 C．在线段上，且距点较近 D．在线段上，且距点较近 8．一个正方体的体积为立方米，它的棱长为（　　）。 A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 9．一个三角形的两边长分别为和，第三边长为整数，且周长为奇数。第三边长共有（　　）种可⁠能⁠。 A． B． C． D．     10．如图，已知，。下列条件中，能保证的是（　　）。 A． B． C． D．     11．如图，将绕点逆时针旋转，得到，其中点与点对应，点与点对应。若，，则等于（　　）。 A． B． C． D．     12．一个等腰三角形有一个外角等于，则这个等腰三角形的顶角可能是（　　）。 A． B． C．或 D．或     13．如图，在等腰三角形中，，。点在边上，且，则为（　　）。 A． B． C． D．     14．如图，点在内部，，，垂足分别为、。若，，则等于（　　）。 A． B． C． D．     15．如图，、分别是线段、的垂直平分线，点位于外部。下列等式一定成立的是（　　）。 A． B． C． D．     16．如图，在中，，，。，垂足为， 则的长为（　　）。 A． B． C． D．     17．下列各组数作为三角形的三边长时，能构成直角三角形的是（　　）。 A．，， B．，， C．，， D．，，     18．一个三角形的三边长分别是、、，则这个三角形的面积是（　　）。 A． B． C． D．     19．如图，与关于过点的直线对称，点与点对应，点与点对应。若，，则的度数为（　　）。 A． B． C． D．     20．如图，。下列条件中，不能保证（按所写顶点顺序对应）的是（　　）。 A． B． C． D．     21．一个等腰三角形的周长为，其中一条边长为，则它的底边长为（　　）。 A． B． C． D．或     22．如图，是的中线，点在上。若，，则为（　　）。 A． B． C． D．     23．如图，在中，，。线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于（　　）。 A． B． C． D．     24．如图，，。沿折叠，使点落在边上的点处，其中在边上，则等于（　　）。 A． B． C． D．     二、填空题（共24题，请将答案填写在横线上。） 25．已知是的平方根，是的立方根，则________。   26．若是整数，，且也是整数，则的所有可能值为________。   27．已知是两位小数，且，则的所有可能值为________。   28．小于的最大整数与大于的最小整数的积为________。   29．已知，则________。   30．正数的两个平方根分别为，，且，则________。   31．一个数的立方根是，则这个数的相反数的平方根为________。   32．一个两位小数按四舍五入法精确到十分位后为，这个两位小数的最大值为________。   33．如图，延长至点，平分。若，，则________。       34．如图，，，，的面积为，则腰长________。       35．如图，，，。点在直线上（图中未画出），且，则的长为________。       36．如图，是边长为的等边三角形，，垂足为，则________， ________。       37．如图，平分，点在边上，，。若，，，则________。       38．如图，是线段的垂直平分线，，，则________。       39．一个直角三角形的两条边长分别为和，则第三条边长为________。       40．如图，是等边三角形，延长至点，使，连接，则________。       41．如图，线段、交于点，且分别是、的中点。若，，，则的周长为________。       42．如图，，垂足在的延长线上。若，，， 则的面积为________。       43．如图，每个小正方形的边长均为，、、都是格点，则的面积为________。       44．如图，、、依次在同一直线上，点、位于该直线两侧，，，，。若，，则________。       45．如图，，点在射线上，。点是射线上的动点（允许与点重合），则的最小值为________。       46．如图，是边长为的等边三角形，点在线段内部，过点作交于点，过点作交于点，则________。       47．如图，在中，，，。将纸片折叠，使点与点重合，折痕所在直线与的延长线交于点，则________。       48．如图，在直角三角形中，，点是斜边的中点。若，，则的周长为________。       三、解答题（共34题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 49．计算： （1）。             （2）。               50．一张正方形纸片的面积为平方分米。现从中剪出一张边长为整厘米数的正方形纸片，不计剪裁损⁠耗⁠。 （1）原纸片的边长在哪两个相邻的整分米数之⁠间⁠？       （2）剪出的正方形纸片的边长最大为多少厘⁠米⁠？             （3）按（2）中的最大边长剪裁后，剩余纸片的面积是多少平方厘⁠米⁠？         51．已知实数，满足，是的平方⁠根⁠。 （1）求，的⁠值⁠。         （2）求的所有可能⁠值⁠。           （3）求的所有可能⁠值⁠。           52．已知是的整数部分，是的小数部⁠分⁠。 （1）求，并用含根号的式子表示。       （2）求的⁠值⁠。             （3）比较与的大⁠小⁠。           53．正整数不大于。 （1）当时，分别求与的整数部⁠分⁠。       （2）若与的整数部分相同，求的所有可能⁠值⁠。                     （3）在（2）的结果中，使这两个算术平方根都是无理数的共有多少⁠个⁠？           54．若与都是整数，求实数的所有可能⁠值⁠。                                     55．如图，在中，。点、分别在线段、内部，且，与相交于点。 （1）求证：。 （2）求证：。                       56．如图，中，，，。平分，交于点，点在线段内部，且。过点分别作、，垂足为、。 （1）求证：。 （2）求。                         57．如图，，点是的中点，的周长为，的周长为。 （1）求的⁠长⁠。 （2）求的⁠长⁠。                         58．如图，中，，。、的垂直平分线分别交直线于点、，其中点、、、依次在同一直线上。连接、，求的度⁠数⁠。                     59．如图，中，。延长至点，平分，平分外角，两条平分线相交于点。的内角平分线交线段于点。 （1）求的度⁠数⁠。 （2）求的度⁠数⁠。                     60．如图，点、在直线的两侧，，且。 （1）求证：射线平分。 （2）若，求的度⁠数⁠。                     61．如图，是等边三角形，点、分别在线段、内部，且，与相交于点。 （1）求证：。 （2）求的度⁠数⁠。                       62．如图，，点是的中点。连接、、。已知，的周长为，。 （1）求的⁠长⁠。 （2）求的面⁠积⁠。                     63．如图，，，，垂足为。过点作直线的垂线，垂足在的延长线上。求的⁠长⁠。                     64．如图，，，。延长至点，使，连接。求的⁠长⁠。                   65．如图，墙面与地面垂直，一架长分米的梯子最初斜靠在墙上，顶端为，底端为，此时分米。将梯子底端沿地面向远离墙面的方向移动分米至点，顶端沿墙面下滑至点，梯子长度不变。求顶端下滑的距离。                     66．如图，中，，，。沿折痕折叠，使点与线段内部的点重合，其中、分别在线段、内部。已知，求的⁠长⁠。                       67．如图，，。点、、依次在同一直线上，点、在直线的同侧，且，。已知，。 （1）求的⁠长⁠。 （2）求的面⁠积⁠。                           68．如图，点、分别是、的中点，与相交于点，连接。 已知的面积为。 （1）求的面⁠积⁠。 （2）求的面⁠积⁠。                             69．在中，。过点作直线，垂足为，且。下图示意两种可能的位⁠置⁠。 （1）求的所有可能⁠值⁠。                   （2）分别求两种情况下的，并比较两个三角形的面⁠积⁠。                   70．如图，，，。点在上，将沿翻折，使点落在射线上的点处。 （1）求，判断点在线段上还是在的延长线⁠上⁠。             （2）求。             （3）求翻折后的与原重叠部分的面⁠积⁠。             71．如图，，，点在线段内部。将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、。 （1）证明：，且。                   （2）当为等腰三角形时，确定点的位置，并求的面⁠积⁠。                   72．如图，，，、在直线同侧，，。点在经过的延长线⁠上⁠。 （1）点在直线上运动，求的最小值，并确定取到最小值时的位⁠置⁠。                   （2）若点只能在射线上运动，求的最小值及对应的的位⁠置⁠。                   73．在中，，。过点分别作直线、直线， 垂足为、。 （1）求的面⁠积⁠。             （2）当在线段内部时，求。             （3）当在经过的延长线上，且时，求。             74．如图，，，。点与点在直线的两侧，。过作于，作直线于，其中在线段内部。连接、。 （1）证明：。                   （2）若的面积为，求和。                   75．如图，每个小方格的边长均为，点、是给定的格点。点只能取图中方格网的格点，且、、必须能构成三角⁠形⁠。 （1）在图中标出所有满足的点，并写出个⁠数⁠。                 （2）在图中补出其余使为等腰三角形的点，求所有符合要求的点的总⁠数⁠。                 76．如图，，，在上，在上，，。点从出发沿运动，点同时从出发沿运动，速度均为每秒个单位长度。运动时间为秒，。 （1）当时，求，判断与是否全⁠等⁠。                 （2）求使这两个三角形全等的所有值，并分别写出正确的顶点对应顺⁠序⁠。                 77．在中，，，。过作直线于。 （1）求和。                   （2）求的所有可能值，以及各自对应的的面⁠积⁠。                   78．如图，在中，，平分，交于。 （1）若，证明：。                   （2）反过来，若，证明：。                   79．如图，。在的外侧，分别以、为边作等边三角形、。连接、，两线段交于点。 （1）证明：。                   （2）求。                   80．如图，，，为的中点。过作两条互相垂直的直线，分别交、的内部于、，连接、。 （1）证明：，并写出由此得到的与的关⁠系⁠。             （2）求。             （3）小明认为。判断这个结论是否正确，并比较与的大⁠小⁠。             81．如图，，，。点从出发，先沿到达，再沿到达，速度始终为每秒个单位长度。设运动时间为秒，。过作于。 （1）求、和。               （2）当在线段上时，求使为等腰三角形的所有值。               （3）求整个运动过程中，同时满足为等腰三角形且的所有值。               82．如图，，，为的中点。点、分别在线段、上，且，为的中⁠点⁠。 （1）证明：。               （2）求的最小值，确定此时、的长度，并求的面⁠积⁠。               （3）若再增加限制，第（2）问中的最小值还能取到⁠吗⁠？               第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $三角形实数的初步认识勾股定理学生版 八年级数学上册期中易错题型汇编 2026一2027学年苏科版 学生版 班级： 姓名： 一、选择题（共24题，每题只有一个正确选项。） 1.下列各式中，值等于-4的是（)。 A.V16 B.V-4月 C.-V16 D.64 2.-0.000216的值是（）。 A.-0.06 B.-0.6 C.0.06 D.±0.06 3.下列各数中，是无理数的是()。 A.V0.04 B.-/9 c D.2 4.若Va-2+V5-a有意义，则下列等式一定成立的是（)。 A.a=2 B.a=5 C.|a-6=6-a D.a=-a 5.将-√11，-3.3，-3按从小到大的顺序排列，正确的是（)。 A.-3<-3.3<-V11 B.-V11<-3.3<-3 C.-3.3<-V11<-3 D.-V11<-3<-3.3 6.一个数按四舍五入法精确到十分位的结果为3.0。这个数可能是（)。 A.2.94 B.2.95 C.3.05 D.3.06 7.如图，数轴上的点A,B,C分别表示-4，-3，-2。点P表示-V10,则点P（)。 A B C 0 -4 -3 -2 -1 0 1 A.在线段AB上，且距点B较近 B.在线段AB上，且距点A较近 C.在线段BC上，且距点B较近 D.在线段BC上，且距点C较近 8.一个正方体的体积为0.125立方米，它的棱长为（)。 A.5厘米 B.12.5厘米 C.25厘米 D.50厘米 第1页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 9.一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，且周长为奇数。第三边长共有（)种 可能。 A.2 B.3 C.4 D.5 10.如图，已知AB=DE,AC=DF。下列条件中，能保证△ABC兰△DEF的是（)。 A A.∠ABC=∠DEF B.∠ACB=∠DFE C.∠BAC=∠EDF D.BC=DE 11.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60，得到△ADE,其中点B与点D对应，点C与点E对应。 若∠BAC=40,∠ABC=50,则∠AED等于（)。 D E B A.40 B.50 C.60 D.90 第2页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 12.一个等腰三角形有一个外角等于110°，则这个等腰三角形的顶角可能是（)。 A.40 B.70 C.55或70 D.40°或70 13.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠ABC=52°。点D在边AC上，且BD⊥AC,则 ∠ABD为（）。 A B A.14 B.26 C.38° D.52 14.如图，点P在∠AOB内部，PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M、N。若PM=PN, ∠POM=28,则∠AOB等于（）。 B N 0 A M A.28 B.56 C.62 D.124 第3页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 15.如图，PM、PN分别是线段AB、AC的垂直平分线，点P位于△ABC外部。下列等式一定成立 的是（）。 B A.PA=PB=PC B.PB=PC=BC C.AB=AC D.PM=PN 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90,∠A=30,BC=4。CD⊥AB,垂足为D, 则AD的长为()。 A.2 B.4 C.6 D.8 17.下列各组数作为三角形的三边长时，能构成直角三角形的是（)。 A.5,6,8 B.V6,4,V10 C.3,6,7 D.V3,5,3 第4页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 18.一个三角形的三边长分别是0.5m、12dm、130cm,则这个三角形的面积是（）。 A.3dm2 B.6dm2 C.30dm2 D.60 dm2 19.如图，△ABC与△DEC关于过点C的直线对称，点A与点D对应，点B与点E对应。若 ∠ABC=35,∠ACB=65,则∠CDE的度数为（)。 A E A.35 B.65° C.80 D.100 20.如图，∠ACB=∠ADB=90。下列条件中，不能保证△ACB兰△ADB(按所写顶点顺序对 应)的是(）。 O A.AC=AD B.BC=BD C.∠CAB=∠DAB D.AC=BD 21.一个等腰三角形的周长为18，其中一条边长为4，则它的底边长为（）。 A.4 B.7 C.10 D.4或10 第5页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 22.如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上。若S△ABE=6,S△cDE=4,则S△ABC为（）。 A E ◇ 0 A.12 B.20 C.24 D.40 23.如图，在△ABC中，∠BAC=90,∠B=28。线段AB的垂直平分线交AB于M,交BC于P, 连接AP,则∠PAC等于（)。 A 42 ◇ P A.28 B.56 C.62 D.124 第6页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 24.如图，AB=AC,∠ABC=65°。沿BD折叠△BCD,使点C落在边AB上的点E处，其中D在边 AC上，则∠ADE等于（）。 A ◇ D A.15 B.25 C.32.5 D.50 二、填空题（共24题，请将答案填写在横线上。） 25.已知a是9的平方根，b是-8的立方根，则a+b= 26.若n是整数，20<n<50,且Vn也是整数，则n的所有可能值为. 27.已知a是两位小数，且0.93<Va<0.94,则a的所有可能值为」 28.小于√43的最大整数与大于-√43的最小整数的积为 29.已知a=13-3,则a-1+|a=一。 30.正数a的两个平方根分别为b,C,且b-c=8,则a+b+c= 31.一个数的立方根是-4，则这个数的相反数的平方根为一。 32.一个两位小数按四舍五入法精确到十分位后为6.8，这个两位小数的最大值为 第7页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 33.如图，延长BC至点D,CE平分∠ACD。若∠A=70,∠B=48,则∠ACE=一。 B 34.如图，AB=AC,AD⊥BC,BC=10,△ABC的面积为30，则腰长AB=。 A B O 35.如图，∠ACB=90°，AB=13,AC=5。点D在直线BC上（图中未画出），且BD=15,则CD 的长为一。 A B 第8页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 36.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD1AC,垂足为D,则CD=一 ∠ABD=—。 D B C 37.如图，AD平分∠BAC,点D在边BC上，DM⊥AB,DN⊥AC。若AB=7,AC=9, S△ABC=28,则DM=一。 N D A M B 38.如图，PM是线段AB的垂直平分线，AB=8,PM=3,则PA= A M 第9页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 39.一个直角三角形的两条边长分别为5和12，则第三条边长为. 40.如图，△ABC是等边三角形，延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,则∠BAD=一。 41.如图，线段AB、CD交于点O,且O分别是AB、CD的中点。若OA=3,OC=5,AC=4,则 △BOD的周长为 0 B D 第10页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 42.如图，AD⊥BC,垂足D在CB的延长线上。若AB=5,BD=3,CD=6, 则△ABC的面积为一。 B 43.如图，每个小正方形的边长均为1，A、B、C都是格点，则△ABC的面积为」 ◇ 第11页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 44.如图，A、C、E依次在同一直线上，点B、D位于该直线两侧，BC⊥AE,DE⊥AE, AB=AD,∠BAD=90'。若BC=5,DE=2,则CE=—。 B ◇ 45.如图，∠AOB=120,点P在射线OB上，OP=6。点M是射线OA上的动点（允许与点O重 合)，则PM的最小值为. B P M 第12页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 46.如图，△ABC是边长为12的等边三角形，点D在线段AB内部，过点D作DE‖BC交AC于点E, 过点E作EF‖AB交BC于点F,则DE+EF=一。 习 B ◇ 47.如图，在△ABC中，∠ABC=90,AB=6,BC=8。将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕所 在直线与AB的延长线交于点D,则BD=」 A B 第13页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 48.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90,点M是斜边AB的中点。若AB=10,BC=8,则 △BMC的周长为一 A M 三、解答题（共34题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 49.计算： 49 ,327 (1)V4+8° (2）V(-62-11-4+-1。 50.一张正方形纸片的面积为30平方分米。现从中剪出一张边长为整厘米数的正方形纸片，不计剪 裁损耗。 (1)原纸片的边长在哪两个相邻的整分米数之间？ 第14页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 (2）剪出的正方形纸片的边长最大为多少厘米？ (③)按(2)中的最大边长剪裁后，剩余纸片的面积是多少平方厘米？ 51.已知实数a,b满足√a-2+b+1=0,c是9的平方根。 (1)求a,b的值。 (2)求a+b+c的所有可能值。 (3)求V(b-c2的所有可能值。 52.已知a是V26的整数部分，b是V26的小数部分。 (1)求a,并用含根号的式子表示b。 第15页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 (2)求b-1+V(a-√26}2的值。 (3)比较b与0的大小。 53.正整数a不大于60。 (1)当a=26时，分别求√a与Va+9的整数部分。 (2）若Va与Va+9的整数部分相同，求a的所有可能值。 (3)在(2)的结果中，使这两个算术平方根都是无理数的a共有多少个？ 第16页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 54.若Va-1与Va+20都是整数，求实数a的所有可能值。 第17页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 55.如图，在△ABC中，AB=AC。点D、E分别在线段AB、AC内部，且BD=CE,BE与CD相交 于点P。 A E P B C (1)求证：CD=BE。 (2）求证：PD=PE。 第18页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 56.如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=12,AC=15。AD平分∠BAC,交BC于点D,点P在线 段AD内部，且AP=10。过点P分别作PE⊥AB、PF⊥AC,垂足为E、F。 D B P E F A (1)求证：PE=PF。 (2）求S△ABP+S△ACP 第19页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 57.如图，AB=AC,点D是BC的中点，△ABC的周长为36，△ABD的周长为30。 B 0 C (1)求AD的长。 (2）求BC的长。 第20页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 58.如图，△ABC中，∠ABC=70,∠ACB=60°。AB、AC的垂直平分线分别交直线BC于点D、 E,其中点E、B、C、D依次在同一直线上。连接AD、AE,求∠DAE的度数。 y E B C 第21页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 59.如图，△ABC中，∠BAC=68。延长BC至点D,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACD,两条 平分线相交于点P。∠ACB的内角平分线交线段BP于点O。 0 A B C D (1)求∠BOC的度数。 (2）求∠BPC的度数。 第22页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 60.如图，点C、D在直线AB的两侧，∠ACB=∠ADB=90,且AC=AD。 C A D (1)求证：射线AB平分∠CAD。 (2）若∠CAD=54,求∠CBD的度数。 第23页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 61.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在线段BC、CA内部，且BD=CE,AD与BE相交于 点P。 A E P B D C (1)求证：AD=BE。 (2）求∠APB的度数。 第24页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 62.如图，∠ABC=∠ADC=90,点O是AC的中点。连接OB、OD、BD。已知BD=6,△BOD的 周长为16，AB=6。 0 (1)求AC的长。 (2）求△ABC的面积。 第25页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 63.如图，AB=AC=10,BC=16,AD⊥BC,垂足为D。过点B作直线AC的垂线BE,垂足E在 CA的延长线上。求BE的长。 E A B D 第26页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 64.如图，AB=9,BC=12,AC=15。延长AB至点D,使AD=14,连接CD。求CD的长。 A B C D 第27页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 65,如图，墙面与地面垂直，一架长25分米的梯子最初斜靠在墙上，顶端为A,底端为B,此时 OB=7分米。将梯子底端沿地面向远离墙面的方向移动8分米至点D,顶端沿墙面下滑至点C,梯子 长度不变。求顶端下滑的距离AC。 A ◇ D 第28页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 66.如图，△ABC中，∠ABC=90,AB=6,BC=8。沿折痕EF折叠，使点C与线段AB内部的点 D重合，其中E、F分别在线段BC、AC内部。已知BD=2,求BE的长。 A D B E 第29页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 67.如图，AB=AC,∠BAC=90。点E、A、D依次在同一直线上，点B、C在直线ED的同侧，且 BD⊥ED,CE⊥ED。已知BD=3,CE=5。 B A (1)求DE的长。 (2）求△ABC的面积。 第30页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 68.如图，点D、E分别是BC、CA的中点，AD与BE相交于点P,连接DE。 已知△ABP的面积为12。 A E 0 B D (1)求△ABC的面积。 (2）求△PDE的面积。 第31页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 69.在△ABC中，AB=AC=6。过点B作BD⊥直线AC,垂足为D,且∠ABD=30。下图示意两种 可能的位置。 D A D (1)求∠BAC的所有可能值。 (2）分别求两种情况下的BC,并比较两个三角形的面积。 第32页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 70.如图，∠BAC=90,AB=6,AC=8。点E在AC上，将△BCE沿BE翻折，使点C落在射线BA 上的点D处。 C D A (1)求BD,判断点D在线段BA上还是在BA的延长线上。 (2）求AE。 (3)求翻折后的△BDE与原△ABC重叠部分的面积。 第33页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 71.如图，AB=AC=6,∠BAC=90,点D在线段BC内部。将线段AD绕点A逆时针旋转90，得 到线段AE,连接CE、DE。 E (1)证明：BD=CE,且CD⊥CE。 (2）当△CDE为等腰三角形时，确定点D的位置，并求△CDE的面积。 第34页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 72.如图，AC⊥CD,BD⊥CD,A、B在直线CD同侧，AC=BD=4,CD=6。点E在DC经过C的 延长线上。 A & E (1)点P在直线CD上运动，求PA+PB的最小值，并确定取到最小值时P的位置。 (2）若点P只能在射线CE上运动，求PA+PB的最小值及对应的P的位置。 第35页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 73.在△ABC中，AB=AC=10,BC=12。过点P分别作PE⊥直线AB、PF⊥直线AC, 垂足为E、F。 A A (1)求△ABC的面积。 (2)当P在线段BC内部时，求PE+PF。 (③)当P在BC经过C的延长线上，且PF-号时，宋PE。 第36页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 74.如图，∠BAC=90,AB=6,AC=8。点D与点C在直线AB的两侧，∠BAD=45。过D作 DE⊥AB于E,作DF⊥直线AC于F,其中E在线段AB内部。连接BD、CD。 C A B F 0 (1)证明：DE=DF。 (2）若△BCD的面积为20，求DE和AD。 第37页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 75.如图，每个小方格的边长均为1，点A、B是给定的格点。点P只能取图中方格网的格点，且A、 B、P必须能构成三角形。 A B (1)在图中标出所有满足PA=PB的点P,并写出个数。 (2）在图中补出其余使△ABP为等腰三角形的点P,求所有符合要求的点的总数。 第38页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 76.如图，AB⊥AC,AB=AC=7,D在AB上，E在AC上，AD=3,AE=4。点P从A出发沿AB运 动，点Q同时从C出发沿CA运动，速度均为每秒1个单位长度。运动时间为t秒，0<t<7。 C Q A (1)当t=2时，求PQ,判断△APQ与△ADE是否全等。 (2）求使这两个三角形全等的所有t值，并分别写出正确的顶点对应顺序。 第39页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 77.在△ABC中，AB=8,AC=5,∠ABC=30。过A作AH⊥直线BC于H。 A A B H C C (1)求AH和BH。 (2）求BC的所有可能值，以及各自对应的△ABC的面积。 第40页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 78.如图，在△ABC中，AB<AC,AE平分∠BAC,交BC于E。 A B C E (1)若∠ABC=2∠ACB,证明：AB+BE=AC。 (2）反过来，若AB+BE=AC,证明：∠ABC=2∠ACB。 第41页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 79.如图，∠BAC=90。在△ABC的外侧，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD、ACE。连接 CD、BE,两线段交于点P。 C P A B D (1)证明：CD=BE。 (2）求∠CPB。 第42页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 80.如图，AB=AC=6,∠BAC=90,D为BC的中点。过D作两条互相垂直的直线，分别交AB、 AC的内部于E、F,连接AD、EF。 C D A B E (1)证明：△BDE三△ADF,并写出由此得到的BE与AF的关系。 (2）求SABDE+S△CDFO (3)小明认为EF=6。判断这个结论是否正确，并比较EF与6的大小。 第43页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 81.如图，∠BAC=90,AB=5,AC=12。点P从B出发，先沿BC到达C,再沿CA到达A,速度始 终为每秒1个单位长度。设运动时间为t秒，0<t<25。过A作AH⊥BC于H。 c H Q (1)求BC、AH和BH。 (2）当P在线段BC上时，求使△ABP为等腰三角形的所有t值。 (3)求整个运动过程中，同时满足△ABP为等腰三角形且S。8eS。Am的所有r值。 第44页共45页 三角形实数的初步认识勾股定理学生版 82.如图，∠ACB=90°，CA=CB=8,M为AB的中点。点D、E分别在线段CA、CB上，且 DE=10,N为DE的中点。 A D M N (1)证明：MN≥4V2-5。 (2）求MN的最小值，确定此时CD、CE的长度，并求△CDE的面积。 (3)若再增加限制CD≤7，第(2)问中的最小值还能取到吗？ 第45页共45页三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 八年级数学上册期中易错题型汇编 2026一2027学年苏科版 教师详解版 一、选择题（共24题，每题只有一个正确选项。） 1.下列各式中，值等于-4的是（)。 A.V16 B.√-4)2 C.-V16 D.64 答案C 解析V16=4,V-4=V16=4,-V16=-4,64=4。因此选C。 2.-0.000216的值是（）。 A.-0.06 B.-0.6 C.0.06 D.±0.06 答案A 解析因为(-0.063=-0.000216，所以-0.000216=-0.06。负数的立方根是负数。因此选A。 3.下列各数中，是无理数的是（)。 A.V0.04 7 B.-V9 C. D.2 答案D 解析0.04=02,9=-3.7是分数这三个数都是有理数：2是无理数。因此选D。 4.若√a-2+V5-a有意义，则下列等式一定成立的是（)。 A.a=2 B.a=5 C.1a-6=6-a D.a=-a 答案C 解析由a-2≥0且5-a≥0，得2≤a≤5。因此a-6<0,有|a-6=6-a。 a不一定等于2或5；且a>0,故a=a,不是-a。因此选C。 5.将-√11，-3.3，-3按从小到大的顺序排列，正确的是（）。 A.-3<-3.3<-V11 B.-V11<-3.3<-3 C.-3.3<-V11<-3 D.-V11<-3<-3.3 答案B 解析因为3.3=10.89<11，所以3.3<11，从而-V11<-3.3。又-3.3<-3，故-V11<-3.3<-3。因此 选B。 6.一个数按四舍五入法精确到十分位的结果为30。这个数可能是（)。 A.2.94 B.2.95 C.3.05 D.3.06 答案B 解析能四舍五入为3.0的数应满足2.95≤x<3.05。四个选项中只有2.95符合。因此选B。 第1页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 7.如图，数轴上的点A,B,C分别表示-4，-3，-2。点P表示-V10,则点P()。 A B C 0 -4 -3 -2 -1 0 A.在线段AB上，且距点B较近 B.在线段AB上，且距点A较近 C.在线段BC上，且距点B较近 D.在线段BC上，且距点C较近 答案A 解析由32<10<4，得-4<-V10<-3,所以点P在线段AB上。 因为3.52=12.25>10，所以V10<3.5,从而-√10>-3.5。点P在AB中点的右侧，距点B较近。 因此选A。 8.一个正方体的体积为0.125立方米，它的棱长为（)。 A.5厘米 B.12.5厘米 C.25厘米 D.50厘米 答案D 解析因为0.5=0.125，所以正方体棱长为0.5米，即50厘米。因此选D。 9.一个三角形的两边长分别为4和7，第三边长为整数，且周长为奇数。第三边长共有（)种 可能。 A.2 B.3 C.4 D.5 答案C 解析设第三边长为X。由三角形三边关系，7-4<x<7+4,即3<x<11。 周长为11+x,它是奇数，所以整数x必须是偶数。符合条件的x为4、6、8、10，共4种。 10.如图，已知AB=DE,AC=DF。下列条件中，能保证△ABC兰△DEF的是（)。 A.∠ABC=∠DEF B.∠ACB=∠DFE C.∠BAC=∠EDF D.BC=DE 答案C 解析已知两组对应边分别相等，若再有它们的夹角相等，即∠BAC=∠EDF,可由“SAS”判定两三 角形全等。 选项A、B给的是非夹角，属于一般不能判定全等的“两边及其中一边的对角”；选项D没有给出第三 组对应边相等，均不足。 第2页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 11.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60，得到△ADE,其中点B与点D对应，点C与点E对应。 若∠BAC=40,∠ABC=50°，则∠AED等于（)。 D E B A.40 B.50 C.60 D.90 答案D 解析在△ABC中，∠ACB=180°-40-50=90。 旋转保持角度不变，且点C对应点E,所以∠AED=∠ACB=90.60是旋转角，并不是所求三角形 内角。 12.一个等腰三角形有一个外角等于110°，则这个等腰三角形的顶角可能是（)。 A.40 B.70 C.55或70 D.40或70 答案D 解析与该外角相邻的内角为180-110=70。 若这个70角是顶角，则顶角为70；若它是底角，则顶角为180-2×70=40。两种情况均成立。 第3页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 13.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠ABC=52。点D在边AC上，且BD⊥AC,则 ∠ABD为()。 A D A.14° B.26 C.38 D.52 答案A 解析由AB=AC,得∠ACB=52,所以∠BAC=180-2×52=76。 在直角三角形ABD中，∠ABD=90°-76=14。BD是腰AC上的高，不能把它当作顶角平分线或底 角平分线。 14.如图，点P在∠AOB内部，PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M、N。若PM=PN, ∠POM=28,则∠AOB等于()。 B O A M A.28 B.56 C.62 D.124 答案B 解析PM、PN分别是点P到角两边的距离，且二者相等，所以点P在∠AOB的平分线上。 因此∠AOP=∠POB=28,∠AOB=2×28=56。 第4页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 15.如图，PM、PN分别是线段AB、AC的垂直平分线，点P位于△ABC外部。下列等式一定成立 的是(）。 A M N A.PA=PB=PC B.PB=PC=BC C.AB=AC D.PM=PN 答案A 解析点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA=PB;又在线段AC的垂直平分线上，所以PA=PC。 故PA=PB=PC。垂直平分线的等距性质与点在三角形内部还是外部无关，也不能据此推出三角形本 身等腰。 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90,∠A=30,BC=4。CD⊥AB,垂足为D, 则AD的长为()。 A D A.2 B.4 C.6 D.8 答案C 解析在直角三角形ABC中，30角所对的边为BC,故AB=2BC=8。 ∠B=60,所以在直角三角形BCD中，∠BCD=30,BD=BC=2。 点D在边AB上，因此AD=AB-BD=8-2=6。 第5页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 17.下列各组数作为三角形的三边长时，能构成直角三角形的是（）。 A.5,6,8 B.V6,4,V10 C.3,6,7 D.V3,5,3 答案B 解析判断时先找最长边。选项B中最长边为4，且(V62+(V10)2=6+10=16=42,由勾股定理的逆 定理可知是直角三角形。 其余三组选项中，两条较短边的平方和依次为61、45、8，最长边的平方依次为64、49、9，都不 相等。 18.一个三角形的三边长分别是0.5m、12dm、130cm,则这个三角形的面积是（)。 A.3dm2 B.6dm2 C.30dm2 D.60 dm2 答案C 解析先统-单位：0.5m=5dm,130cm=13dm。三边为5dm、12dm、13dm。 因为52+122=132，所以三角形是直角三角形，且两条直角边为5dm和12dm。 面积为2×5×12=30dm2。 19.如图，△ABC与△DEC关于过点C的直线对称，点A与点D对应，点B与点E对应。若 ∠ABC=35,∠ACB=65,则∠CDE的度数为（)。 B E A.35 B.65 C.80 D.100 答案C 解析∠BAC=180°-35°-65°=80。 轴对称保持角度不变。点A对应点D,所以∠CDE=∠CAB=80,不是顶点C处的角。 第6页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 20.如图，∠ACB=∠ADB=90。下列条件中，不能保证△ACB兰△ADB(按所写顶点顺序对 应)的是（）。 A.AC=AD B.BC=BD C.∠CAB=∠DAB D.AC=BD 答案D 解析两个直角三角形有公共斜边AB。若AC=AD或BC=BD,都有一组按题设顺序对应的直角边相 等，可用“HL”判定，故A、B足够。 若∠CAB=∠DAB,再结合两个直角相等及公共边AB,可用“AAS”判定，故C足够。 AC=BD把不同位置的直角边配在一起，只能保证另一种对应顺序下的全等，不能保证本题要求的对 应关系，故选D。例如取AC=3、BC=4、AD=4、BD=3。 21.一个等腰三角形的周长为18，其中一条边长为4，则它的底边长为（）。 A.4 B.7 C.10 D.4或10 答案A 解析若长为4的边是底边，则两腰各为(18-4)÷2=7，三边为7、7、4，能构成三角形。 若长为4的边是腰，则底边长为18-4-4=10，但4+4<10，不能构成三角形。 因此只有第一种情况成立，底边长为4。 第7页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 22.如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上。若S△ABE=6,SACDE=4,则SAABC为（）。 B D C A.12 B.20 C.24 D.40 答案B 解析由D是BC中点，可得BD=CD。△BDE与△CDE等底等高，所以SADE=4。 于是S△ABD=SAABE+SABDE=6+4=10。 △ABD与△ACD也是等底等高，故SAABC=2×10=20。 23.如图，在△ABC中，∠BAC=90,∠B=28。线段AB的垂直平分线交AB于M,交BC于P, 连接AP,则∠PAC等于（)。 A M B A.28 B.56 C.62 D.124 答案C 解析点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB,因此∠PAB=∠ABP=28。 由于点P在边BC上，射线AP位于∠BAC内部，所以∠PAC=90-28=62。 第8页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 24.如图，AB=AC,∠ABC=65。沿BD折叠△BCD,使点C落在边AB上的点E处，其中D在边 AC上，则∠ADE等于（)。 A A.15 B.25 C.32.5 D.50 答案A 解析由AB=AC,得∠BCA=65°。折叠使射线BC与射线BE重合，因此BD平分∠ABC, ∠CBD=32.5。 在△BCD中，∠BDC=180°-65-32.5=82.5。折叠又给∠BDE=82.5。 点A、D、C共线，故∠ADE=180°-∠BDC-∠BDE=15。 二、填空题（共24题，请将答案填写在横线上。） 25.已知a是9的平方根，b是-8的立方根，则a+b=。 答案1或-5 解析9的平方根为3和-3，所以a=3或a=-3;b=-8=-2。 当a=3时，a+b=1;当a=-3时，a+b=-5。故填1或-5。 26.若n是整数，20<n<50,且n也是整数，则n的所有可能值为 答案25,36,49 解析因为Vn为整数，所以n是完全平方数。42=16<20,52=25,62=36,7=49,8=64>50。 因此符合条件的n为25,36,49。 27.已知a是两位小数，且0.93<√a<0.94,则a的所有可能值为 答案0.87或0.88 解析因为0.93<Va<0.94,且三者均为正数，所以0.93<a<0.942,即0.8649<a<0.8836。 又a是两位小数，故符合条件的只有0.87,0.88。其中0.86<0.8649,0.89>0.8836，两侧相邻的两位 小数均不符合条件。 28.小于V43的最大整数与大于-V43的最小整数的积为 答案-36 解析62<43<7，所以6<V43<7,且-7<-V43<-6。 小于√43的最大整数是6，大于-√43的最小整数是-6，两者的积为6×(-6)=-36。 第9页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 29.已知a=√13-3，则|a-1+a=一。 答案1 解析由32<13<42，得3<V13<4,所以0<a<1。 因此a-1+a=1-a+a=1。 30.正数a的两个平方根分别为b,c,且b-c=8,则a+b+c=。 答案16 解析正数的两个平方根互为相反数，所以b+c=0。又b-c=8,得b=4,c=-4。 因此a=b=16,故a+b+c=16+0=16。 31.一个数的立方根是-4，则这个数的相反数的平方根为 答案±8 解析这个数为(-43=-64，它的相反数是64.64的平方根为±8。 32.一个两位小数按四舍五入法精确到十分位后为6.8，这个两位小数的最大值为， 答案6.84 解析设这个数为x。由四舍五入得6.75≤x<6.85。 因为x是两位小数，所以它的最大值是6.84，不能取会舍入为6.9的6.85。 33.如图，延长BC至点D,CE平分∠ACD。若∠A=70°，∠B=48,则∠ACE= A E D C 答案59 解析∠ACD是△ABC的外角，所以∠ACD=∠A+∠B=70+48=118。 CE平分∠ACD,故∠ACE=号×118=59。 第10页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 34.如图，AB=AC,AD1BC,BC=10,△ABC的面积为30，则腰长AB=一。 & D 答案√61 解折由面积公式得AD=2×30=6。 10 等腰三角形底边上的高也是中线，所以BD=号BC=5。 在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2=62+52=61。边长为正，因此AB=V61,不能把61当作 边长。 35.如图，∠ACB=90,AB=13,AC=5。点D在直线BC上（图中未画出），且BD=15,则CD 的长为一。 A B 答案3或27 解析由勾股定理，BC=V√132-52=12。 直线上距点B为15的点有两个：若D在从B经过C的方向上，则D越过C,CD=15-12=3;若D在相 反方向上，则CD=15+12=27。 题目限定的是“直线BC”,不是“射线BC”或“线段BC”,所以两种情况都要保留。 第11页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 36.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD⊥AC,垂足为D,则CD=一 ∠ABD=· D B 答案330 解析等边三角形有BA=BC,所以从顶点B到底边AC的高BD同时是中线和角平分线。 因此CD=7AC=3,且∠ABD=∠ABC=30, 37.如图，AD平分∠BAC,点D在边BC上，DM⊥AB,DN⊥AC。若AB=7,AC=9, SAABC=28,则DM=0 N MB 答案子 解析点D在∠BAC的平分线上，故DM=DN。设DM=DN=h。 把△ABC分成△ABD和△ACD,有28=2×7h+左×9h=8h, 解得h=乙，所以DM=。这里等的是两段垂距，不是BD与CD。 第12页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 38.如图，PM是线段AB的垂直平分线，AB=8,PM=3,则PA=一。 M 答案5 解析因为PM垂直平分AB,所以AM=BM=×8=4,且∠PMA=90。 在直角三角形PMA中，PA=VPM2+AM=V3+4=5。 39.一个直角三角形的两条边长分别为5和12，则第三条边长为一。 答案13或√119 解析若5和12都是直角边，则第三边为斜边，长度为V52+12=13。 若12是斜边，则第三边为直角边，长度为V12-52=√119。 5小于已知边12，不可能是斜边，所以没有第三种情况。 40.如图，△ABC是等边三角形，延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,则∠BAD= 0 B 答案90 解析等边三角形中，AC=BC,∠BAC=∠ACB=60。由CD=BC得AC=CD。 ∠ACD=180°-60°=120，所以等腰三角形ACD的底角∠CAD=(180-120)÷2=30。 因此∠BAD=∠BAC+∠CAD=60+30°=90。 第13页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 41.如图，线段AB、CD交于点O,且O分别是AB、CD的中点。若OA=3,OC=5,AC=4,则 △BOD的周长为一。 B D 答案12 解析由中点条件得OB=OA=3,OD=OC=5,又∠AOC=∠BOD(对顶角相等)。 OA=OB 在△AOC和△BOD中，∠AOC=∠BOD,所以△AOC兰△BOD(SAS)。 OC=OD 因此BD=AC=4,所求周长为OB+OD+BD=3+5+4=12。 42.如图，AD⊥BC,垂足D在CB的延长线上。若AB=5,BD=3,CD=6, 则△ABC的面积为 D b C 答案6 解析在直角三角形ABD中，AD=√52-3=4。 按点的顺序D、B、C,有BC=CD-BD=6-3=3,不能把两段相加。 虽然高的垂足在三角形外部，面积公式仍为5。版DC×AD-×3×4=6。 第14页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 43.如图，每个小正方形的边长均为1，A、B、C都是格点，则△ABC的面积为一。 C B 答案5 解析利用网格中的直角三角形可得AB=32+1=10,BC2=12+32=10,AC2=2+4=20。 因为AB2+BC2=AC2,由勾股定理的逆定理得∠ABC=90;又AB=BC。 所以S6Am=AB×BC=AB=5。不能把图上水平或竖直的格数直接当作斜边长度。 44.如图，A、C、E依次在同一直线上，点B、D位于该直线两侧，BC⊥AE,DE⊥AE, AB=AD,∠BAD=90。若BC=5,DE=2,则CE= B 答案3 解析由∠BAD=90,得∠BAC+∠DAE=90;由DE⊥AE,得∠ADE+∠DAE=90,故 ∠BAC=∠ADE。 ∠BAC=∠ADE 在△ABC和△DAE中， ∠BCA=∠DEA=90,，所以△ABC≡△DAE(AAS), AB-DA 从而AC=DE=2,AE=BC=5。 点A、C、E依次共线，所以CE=AE-AC=5-2=3。这里应根据垂足的顺序取差，不能把两条投影线 段相加。 第15页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 45.如图，∠AOB=120,点P在射线OB上，OP=6。点M是射线OA上的动点（允许与点O重 合)，则PM的最小值为。 B M A 答案6 解析过点P作PH⊥直线OA,垂足为H。因为∠AOP=I20,所以H在射线OA的反向延长线上。 对射线OA上的任意点M,有HM=HO+OM≥HO。由勾股定理， PM2=PH2+HM2≥PH+HO=PO2,因此PM≥PO=6。 当M与O重合时等号成立，所以最小值为6。垂足H不在允许的射线上，不能把PH当作最小值。 B H A M 第16页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 46.如图，△ABC是边长为12的等边三角形，点D在线段AB内部，过点D作DE‖BC交AC于点E, 过点E作EF‖AB交BC于点F,则DE+EF=。 A 答案12 解析等边三角形ABC的各内角均为60。由DE‖BC,得∠ADE=∠ABC=60, ∠AED=∠ACB=60。 所以△ADE是等边三角形，DE=AE。 由EF‖AB,得∠EFC=∠ABC=60°；又∠ECF=∠ACB=60,所以△ECF是等边三角形， EF=EC。 点E在边AC上，因此DE+EF=AE+EC=AC=12。 47.如图，在△ABC中，∠ABC=90,AB=6,BC=8。将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕所 在直线与AB的延长线交于点D,则BD= 0 答案了 解析折痕上的点到折叠前后对应点的距离相等，所以DA=DC。设BD=X,由点的顺序A、B、D, 得DA=x+6。 在直角三角形DBC中，DC2=DB+BC,所以(x+62=x2+64。 展开得X2+12x+36=X+64,即12x=28,解得x=了。该值为正，与D在延长线上的位置-致。 第17页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 48.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90,点M是斜边AB的中点。若AB=10,BC=8,则 △BMC的周长为 A M 答案18 解析点M是斜边AB的中点，所以BM=AB=5, 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CM=2AB=5。 因此△BMC的周长为BM+CM+BC=5+5+8=18。这里所求是小三角形周长，不需要先求AC。 三、解答题（共34题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 49.计算： w+晋· .327 (2）)V-62-11-4+-1。 答案 8° (2)1+V11。 w得陪 解析 原衣吕后 (2）由32<11<42，得3<V11<4,故V11-4=4-V11。 又V(-62=6,-1=-1,所以原式=6-(4-V11)-1=1+V11。 第18页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 50.一张正方形纸片的面积为30平方分米。现从中剪出一张边长为整厘米数的正方形纸片，不计剪 裁损耗。 (1)原纸片的边长在娜两个相邻的整分米数之间？ (2）剪出的正方形纸片的边长最大为多少厘米？ (3)按(2)中的最大边长剪裁后，剩余纸片的面积是多少平方厘米？ 答案(1)在5分米与6分米之间。 (2）54厘米。 (3)84平方厘米。 解析(1)设原纸片边长为x分米，则x=V30。因为52<30<6，所以5<x<6。 (2)30平方分米=3000平方厘米。因为54=2916<3000<3025=552，所以原纸片边长在54厘米与 55厘米之间。 沿原纸片的一组邻边可剪出边长为54厘米的正方形；边长为55厘米的正方形面积已大于原纸片面 积，无法剪出。因此最大边长为54厘米。 (3)剩余纸片面积为3000-542=3000-2916=84平方厘米。 51.已知实数a,b满足Va-2+b+1=0,c是9的平方根。 (1)求a,b的值。 (2）求a+b+c的所有可能值。 (3)求V(b-c的所有可能值。 答案（1)a=2,b=-1。 (2)4或-2。 (3)4或2。 解析(1)算术平方根和绝对值都非负，它们的和为0，故√a-2=0,b+1=0。因此a=2,b=-1。 (2)因为c是9的平方根，所以c=3或c=-3。当c=3时，a+b+c=2-1+3=4;当c=-3时， a+b+c=2-1-3=-2。 (3)当c=3时，V(b-c=V-1-3=4;当c=-3时，Vb-c=-1+32=2。故所求值为4或2。 第19页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 52.已知a是V26的整数部分，b是V26的小数部分。 (1)求a,并用含根号的式子表示b。 (2）求b-1+Va-V262的值。 (3)比较b与0的大小。 答案(1)a=5,b=V26-5。 (2)1。 (3)b<1 10° 解析(1)因为52<26<62，所以5<V26<6。因此a=5,b=V26-5,且0<b<1。 (2)由0<b<1,得b-1=1-b。又a-V26=5-V26=-b,故Va-V26=-b=b。 因此原式=1-b+b=1。 3)因为5.1=26.01>26，且两数都为正，所以V26<5.1。于是b=V26-5<0.1=0 53.正整数a不大于60。 (1)当a=26时，分别求√a与Va+9的整数部分。 (2)若Va与Va+9的整数部分相同，求a的所有可能值。 (3)在(2)的结果中，使这两个算术平方根都是无理数的a共有多少个？ 答案(1)都是5。 (2)25,26,36,37,38,39,49,50,51,52,53,54。 (3)9个。 解析(1)当a=26时，25<26<36且25<35<36，所以√26与√35的整数部分都是5。 (2)设两个算术平方根的整数部分都为非负整数b,则b≤a且a+9<(b+1)2,即b2≤a<(b+12-9。 要存在这样的a,必须有b2+9<(b+12,即9<2b+1,所以b≥5。又a≤60<64=82，故b≤7。 当b=5时，25≤a<27,得a=25,26;当b=6时，36≤a<40,得a=36,37,38,39；当b=7时， 49≤a<55,得a=49,50,51,52,53,54。这些值均不大于60，且代入均满足条件。 (3)(2)中共有12个值，其中a=25,36,49时，Va为整数，应排除。其余9个值都不是完全平 方数。 对(2)中的任一值，b2<a+9<(b+1)2,所以a+9不是完全平方数，Va+9一定是无理数。故两个算 术平方根都是无理数的a共有12-3=9个。 第20页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 54.若Va-1与Va+20都是整数，求实数a的所有可能值。 答案a=5或a=101。 解析令b=Va-1,则b是非负整数，a-1=b2,所以a+20=b2+21也必须是一个整数的平方。 当b≥11时，(b+12-b2=2b+1≥23>21，故b2<b2+21<(b+12。两个相邻整数的平方之间没有完全 平方数，因此b≥11时不符合条件。 所以只需检查b=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。此时b2+21依次为21,22,25,30,37， 46,57,70,85,102,121。 其中只有25=5和121=112是完全平方数，分别对应b=2和b=10。所以a=b+1=5或101。 检验：当a=5时，两个算术平方根为2和5；当a=101时，两个算术平方根为10和11，均为整数。故a 的所有可能值为5,101。 55.如图，在△ABC中，AB=AC。点D、E分别在线段AB、AC内部，且BD=CE,BE与CD相交 于点P。 A B (1)求证：CD=BE。 (2）求证：PD=PE。 答案(1)CD=BE;(2)PD=PE。 解析(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠BCA。又因为D在AB上，E在AC上，所以 ∠CBD=∠BCE。 CB=BC 在△CBD和△BCE中， ∠CBD=∠BCE,所以△CBD兰△BCE(SAS),故CD=BE。 BD=CE (2)由(1)的全等关系，得∠BCD=∠CBE。因为P在线段CD、BE上，所以∠BCP=∠CBP, 从而BP=CP。 所以PD=CD-CP=BE-BP=PE。 第21页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 56.如图，△ABC中，∠BAC=60,AB=12,AC=15。AD平分∠BAC,交BC于点D,点P在线 段AD内部，且AP=10。过点P分别作PE⊥AB、PF⊥AC,垂足为E、F。 D B E (1)求证：PE=PF。 (2)求S△ABP+S△ACP0 答案()PE=PF:(②)5。 解析(1)因为AD平分∠BAC,所以∠EAP=∠AP=30。 ∠AEP=∠AFP=90 在△AEP和△AFP中， ∠EAP=∠FAP，所以△AEP≡△AFP(AAS)，故PE=PF。 AP=AP (2)在直角三角形AEP中，∠EAP=30所以PE=号AP=5,故PF=5。 因此Ssm+S:e号AB-PE+号ac-PF-x12+151x5-, 第22页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 57.如图，AB=AC,点D是BC的中点，△ABC的周长为36，△ABD的周长为30。 B D C (1)求AD的长。 (2）求BC的长。 答案(1)AD=12;(2）BC=10。 解析 (1)因为AB=AC,BD=DC,所以AB+BD=号{AB+AC+BC)=18。 由AB+BD+AD=30,得AD=30-18=12。 (2)等腰三角形底边上的中线也是高，所以AD⊥BC。设BD=x,则AB=18-x。 在直角三角形ABD中，由勾股定理得(18-x)2=x2+12,即324-36x=144,解得x=5。所以 BC=2BD=10。 58.如图，△ABC中，∠ABC=70,∠ACB=60。AB、AC的垂直平分线分别交直线BC于点D、 E,其中点E、B、C、D依次在同一直线上。连接AD、AE,求∠DAE的度数。 B 答案80。 解析由三角形内角和，得∠BAC=180°-70°-60°=50°。 因为D在AB的垂直平分线上，所以DA=DB。在△ADB中，∠DAB=∠ABD=70°，故 ∠DAC=70°-50°=20°。 因为E在AC的垂直平分线上，所以EA=EC。在△AEC中，∠EAC=∠ACE=60。 所以∠DAE=∠DAC+∠CAE=20+60=80。 第23页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 59.如图，△ABC中，∠BAC=68。延长BC至点D,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACD,两条 平分线相交于点P。∠ACB的内角平分线交线段BP于点O。 A B C D (1)求∠BOC的度数。 (2）求∠BPC的度数。 答案(1)124；(2)34°。 解折()因为∠ABC+∠ACB=180-68=12,所以∠0BC+∠0CB=号×112-56。 在△B0C中，∠B0C=180-56=124。 (2)因为0C、PC分别平分∠ACB及其外角∠ACD,所以∠0CP∠ACB+∠ACD)=90。 点B、O、P依次共线，故∠C0P=180°-124°=56。在△COP中， ∠BPG=∠OPC=180-90-56=34。 第24页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 60.如图，点C、D在直线AB的两侧，∠ACB=∠ADB=90,且AC=AD。 B D (1)求证：射线AB平分∠CAD。 (2）若∠CAD=54,求∠CBD的度数。 答案(1)射线AB平分∠CAD;(2）126。 ∠ACB=∠ADB=90 解析(1)在直角三角形ACB和ADB中， AB=AB ，所以△ACB兰△ADB(HL)。 AC=AD 因此∠CAB=∠DAB,即射线AB平分∠CAD。 (2)由(1)，得∠CAB=∠DAB=27。两个直角三角形中，∠CBA=∠DBA=90°-27°=63。 所以∠CBD=∠CBA+∠ABD=63+63°=126。 61.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在线段BC、CA内部，且BD=CE,AD与BE相交于 点P。 A B (1)求证：AD=BE。 (2）求∠APB的度数。 答案(1)AD=BE;(2)120。 解析（1)因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC,∠ABD=∠BCE=60。 AB=BC 在△ABD和△BCE中， ∠ABD=∠BCE,所以△ABD兰△BCE(SAS),故AD=BE。 BD=CE (2)由全等可得∠BAD=∠CBE。设∠BAD=Q,则∠PAB=a,∠PBA=60°-。 因此在△APB中，∠APB=180-a-(60°-a)=120。 第25页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 62.如图，∠ABC=∠ADC=90,点O是AC的中点。连接OB、OD、BD。已知BD=6,△BOD的 周长为16，AB=6。 (1)求AC的长。 (2）求△ABC的面积。 答案(1)AC=10;(2)24。 解析(1)因为O是两个直角三角形公共斜边AC的中点，所以0B=OD=号AC。 由OB+OD+BD=16,得AC+6=16,所以AC=10。 (2)在直角三角形ABC中，BC=VAC2-AB=V10-62=8。 因此5a=ABBC=×6×8=24, 第26页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 63.如图，AB=AC=10,BC=16,AD⊥BC,垂足为D。过点B作直线AC的垂线BE,垂足E在 CA的延长线上。求BE的长。 E A B D 答案BE=48 解折因为AB=AC,AD1BC,所以BD=DC-号BC=8. 在直角三角形ABD中，AD=VAB2-BD=V10-82=6。 1 以BC为底，SaAc=2×16×6=48。 点E虽在CA的延长线上.BE仍是△ABC在底边AC上对应的高，所以×10×BE=48, 解得85织。 64.如图，AB=9,BC=12,AC=15。延长AB至点D,使AD=14,连接CD。求CD的长。 B D 答案CD=13。 解析因为AB+BC2=92+122=225=152=AC2,由勾股定理的逆定理，得∠ABC=90°。 点B在线段AD上，所以BD=AD-AB=14-9=5,且∠CBD=90。 在直角三角形CBD中，CD=√BC2+BD2=V12+52=13。 第27页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 65.如图，墙面与地面垂直，一架长25分米的梯子最初斜靠在墙上，顶端为A,底端为B,此时 OB=7分米。将梯子底端沿地面向远离墙面的方向移动8分米至点D,顶端沿墙面下滑至点C,梯子 长度不变。求顶端下滑的距离AC。 A B D 答案4分米。 解析在直角三角形AOB中，OA=√AB-0B=V252-7=24(分米)。 梯子底端向远离墙面的方向移动，所以OD=OB+BD=7+8=15(分米)。 在直角三角形C0D中，0C=VCD2-0D2=V252-152=20(分米)。 因此AC=OA-OC=24-20=4(分米)。 66.如图，△ABC中，∠ABC=90,AB=6,BC=8。沿折痕EF折叠，使点C与线段AB内部的点 D重合，其中E、F分别在线段BC、AC内部。已知BD=2,求BE的长。 B E 答案BE=15 ° 解析折叠后点C与点D重合，折痕上的点E不动，所以EC=ED。 设BE=X,则EC=8-X,从而ED=8-X。 在直角三角形BDE中，由勾股定理得X+2=(8-x,即4=64-16X,解得X= 4。 所得0<5<8，符合点E在线段BC内部的条件。因此BE=5 4 49 第28页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 67.如图，AB=AC,∠BAC=90。点E、A、D依次在同一直线上，点B、C在直线ED的同侧，且 BD⊥ED,CE⊥ED。已知BD=3,CE=5。 C B A D (1)求DE的长。 (2）求△ABC的面积。 答案(1)DE=8;(2)17。 解析(1)因为∠BAC=90,且E、A、D共线，所以∠BAD+∠CAE=90。又因为CE⊥ED, 所以∠ACE+∠CAE=90,从而∠BAD=∠ACE。 ∠ADB=∠CEA=90 在△ABD和△CAE中， ∠BAD=∠ACE,所以△ABD兰△CAE(AAS)。 AB=CA 故AD=CE=5,AE=BD=3。点A在线段ED上，所以DE=DA+AE=5+3=8。 (2)在直角三角形ABD中，AB=AD2+BD=5+32=34。因为AB=AC且∠BAC=90°，所以 5a版号ABAC=AB=17。 2 第29页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 68.如图，点D、E分别是BC、CA的中点，AD与BE相交于点P,连接DE。 已知△ABP的面积为12。 A E P B D (1)求△ABC的面积。 (2）求△PDE的面积。 答案(1)36；(2)3。 解析(1)连接PC。因为BD=DC,所以SAABD=SAACD,SAPBD=SAPCD。两式相减，得 S△ABP=SAACP=12。 因为AE=EC,所以S△ABE=SACBE,S△APE=SACPE。两式相减，得S△ABP=S△BCP=12。 因此S△ABc=S△ABP+SAP+SACAP=12+12+12=36。 2》由中点条件与等高面积关系，SAu0=S胶=6，S,e =6。 同里，S么e号5acu56度=9。 因此S△PDE=SARCD+S△PCE-SACDE=6+6-9=3。 第30页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 69.在△ABC中，AB=AC=6。过点B作BD⊥直线AC,垂足为D,且∠ABD=30。下图示意两种 可能的位置。 B D (1)求∠BAC的所有可能值。 (2）分别求两种情况下的BC,并比较两个三角形的面积。 答案(1)60°或120。 (2)BC分别为6、6V3;面积均为9V3。 解析(1)在直角三角形ABD中，∠BAD=60°。若D在射线AC上，则∠BAC=60°；若D在射线 AC的反向延长线上，则∠BAC=180°-60°=120°。这已包括垂足在直线AC上的全部可能位置。 (2)由∠ABD=30及AB=6,得AD=3。由勾股定理，BD=V62-3=3V3。当∠BAC=60时，等 腰三角形ABC为等边三角形，所以BC=6。 当∠BAC=120时，点的顺序为D,A,C,故DC=DA+AC=9。在直角三角形BDC中， BC2=BD2+DC2=27+81=108,所以BC=6V3。两种情况下，以AC为底的高均为BD,故面积均为 号*6x3vg=9va 第31页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 70.如图，∠BAC=90,AB=6,AC=8。点E在AC上，将△BCE沿BE翻折，使点C落在射线BA 上的点D处。 D A B (1)求BD,判断点D在线段BA上还是在BA的延长线上。 (2）求AE。 (3)求翻折后的△BDE与原△ABC重叠部分的面积。 答案(1)BD=10,D在BA经过A的延长线上。 (2)AE=3。 (3)重叠部分面积为9。 解析(1)由勾股定理，BC=V62+8=10。翻折保持长度不变，故BD=BC=10。因为BA=6<10, 且D在射线BA上，所以点的顺序为B,A,D,AD=BD-BA=4。 (2)设AE=x,则CE=8-X。翻折得DE=CE。由于AD⊥AE,在直角三角形ADE中， (8-x2=x2+42,即64-16x+x=x2+16,解得x=3。此时0<3<8，符合E在AC上的要求。 (3)D与B在直线AC的两侧，且A在线段BD上，因此△BDE被AE分为△BAE与△DAE。前者在 △ABC内，后者在△ABC外，重叠部分恰为△BAE。其面积为AB:AE=×6×3=9。 第32页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 71.如图，AB=AC=6,∠BAC=90,点D在线段BC内部。将线段AD绕点A逆时针旋转90，得 到线段AE,连接CE、DE。 E (1)证明：BD=CE,且CD⊥CE。 (2）当△CDE为等腰三角形时，确定点D的位置，并求△CDE的面积。 答案(1)BD=CE,CD⊥CE。 (2)D为BC的中点，面积为9。 解析（1)旋转得AD=AE,∠DAE=90。由于∠BAC=90,扣去公共的∠DAC,得 AB=AC ∠BAD=∠CAE。在△BAD与△CAE中， ∠BAD=∠CAE,所以△BAD兰△CAE(SAS),从而 AD=AE BD=CE,∠ACE=∠ABD。 AB=AC且∠BAC=90°，故∠ABC=∠ACB=45°。于是∠ACE=45。射线CD与CE分居直线AC 两侧，故∠DCE=∠DCA+∠ACE=45°+45°=90°，即CD⊥CE。 (2)△CDE在C处为直角，DE严格大于两条直角边，因此等腰只能是CD=CE。 由(1)CE=BD,得CD=BD,故D为BC的中点；反过来，D为中点时也确有CD=CE。 由勾股宠理BC=6+6-72。因8：w-CD-CF--是=9. 228 第33页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 72.如图，AC⊥CD,BD⊥CD,A、B在直线CD同侧，AC=BD=4,CD=6。点E在DC经过C的 延长线上。 A E C D (1)点P在直线CD上运动，求PA+PB的最小值，并确定取到最小值时P的位置。 (2）若点P只能在射线CE上运动，求PA+PB的最小值及对应的P的位置。 答案(1)最小值为10，P为CD的中点。 (2)最小值为4+2V13,P=C。 解析（1)作点A关于直线CD的对称点F,则CF=4,且对任意P都有PA=PF。由两点之间线段最 短，PA+PB=PF+PB≥FB,当且仅当P在线段FB上时取等号。 ∠FCP=∠BDP=90 设FB与CD交于P。在△FCP与△BDP中， ∠FPC=∠BPD,故两三角形全等(AAS),所以 FC=BD CP=DP=3,FP=BP=5。从而FB=10。交点P确在直线CD上，故最小值10能够取到。 (2)当P在射线CE上时，PD=PC+CD≥6。由垂线段最短，PA≥AC=4;由勾股定理， PB=PD+BD≥6+4=52，故PB≥2V13。两处等号同时成立恰在P=C时，所以此时最小值为 4+2V13。不能沿用(1)的取等点，因为CD中点不在射线CE上。 A B 第34页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 73.在△ABC中，AB=AC=10,BC=12。过点P分别作PE⊥直线AB、PF⊥直线AC, 垂足为E、F。 A p (1)求△ABC的面积。 (2）当P在线段BC内部时，求PE+PF。 3)当P在BC经过C的延长线上，且PF时，求卫 答案(1)48。 2典 (3)12。 解析(1)作AH⊥BC于H。由等腰三角形三线合一，BH=CH=6,故AH=V102-62=8。于是 SAABC= F号×12×8=48。 (2）连接AP。P在BC内部，故S△ABP+S△ACP=S△ABC。分别以AB、AC为底，得到 ×10×PE+号x10×PF=48,即PE+PF- 5 3)此时C在线段BP上，故SAABP-SA ACPSA ARC。因5PE-5PF=48,即PE-PE三4拍。代入 PF号得PE-四=2。点在线段内部时用面织和，移到延长线后应改为面积差。 第35页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 74.如图，∠BAC=90,AB=6,AC=8。点D与点C在直线AB的两侧，∠BAD=45。过D作 DE⊥AB于E,作DF⊥直线AC于F,其中E在线段AB内部。连接BD、CD。 C 飞 B ◇ (1)证明：DE=DF。 (2）若△BCD的面积为20，求DE和AD。 答案(1)DE=DF。 (2)DE=4,AD=4V2。 解析(1)由于D与C在AB两侧，垂足F在CA经过A的延长线上，故∠BAF=90,∠DAF=45。 ∠AED=∠AFD=90 在△ADE与△ADF中 ∠EAD=∠FAD=45°，所以两三角形全等(AAS),从而DE=DF。 AD=AD (2）设DE=DF=h。SaBc=2×6x8=24,S△Ao=3h,S△ACD=4h。由图中三角形的分割关系， SABCD+S△AcD=S△ABc+S△ABD,故20+4h=24+3h,解得h=4。这里两条距离相等，但对应的面积应 一加一减，不能把20直接等于3h+4h。 在直角三角形ADE中，∠EAD=45°，所以AE=DE=4。由勾股定理，AD=V42+42=4V2。且 AE=4<AB=6,符合E在线段AB内部的条件。 第36页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 75.如图，每个小方格的边长均为1，点A、B是给定的格点。点P只能取图中方格网的格点，且A、 B、P必须能构成三角形。 A B (1)在图中标出所有满足PA=PB的点P,并写出个数。 (2）在图中补出其余使△ABP为等腰三角形的点P,求所有符合要求的点的总数。 答案(1)6个，位于AB垂直平分线上的格点，但不包括AB中点。 (2)另有2个，总共8个，位置见解析图中的空心圆。 解析(1)AB=4。满足PA=PB的点在AB的垂直平分线上，即经过图中正中央一列格点的竖直线 上。该直线上共7个格点，其中AB中点与A、B共线，不能构成三角形，故剩6个。 (2)还要分别考虑PA=AB=4和PB=AB=4。 设两格点之间横向、竖向所跨的格数为非负整数m,n,则长度为4必须满足m+n2=16。在 02,1,2,3,4中，只有0+16能组成16，因此两点必须在同一水平线或同一竖直线上，相隔4格。 以A为一端，图内相距4的格点为B和A正上方4格的点；B不能作为第三顶点，只新增上方点。以B 为一端，同理只新增B正上方4格的点。这两点不在前述垂直平分线上，互不重复。因此总数为 6+1+1=8,三种相等边关系已全部检查。 0 O 0 0 A B 第37页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 76.如图，AB⊥AC,AB=AC=7,D在AB上，E在AC上，AD=3,AE=4。点P从A出发沿AB运 动，点Q同时从C出发沿CA运动，速度均为每秒1个单位长度。运动时间为t秒，0<t<7。 C Q A B P D (1)当t=2时，求PQ,判断△APQ与△ADE是否全等。 (2）求使这两个三角形全等的所有t值，并分别写出正确的顶点对应顺序。 答案(1)PQ=V29,两三角形不全等。 (2)t=3时△APQ兰△ADE;t=4时△APQ兰△AED。 解析（1)AP=t,AQ=7-t。当t=2时，AP=2,AQ=5,故PQ=√2+52=V29。而 DE=V3+4=5。两个直角三角形的斜边不相等，所以不全等。 (2)两个三角形均只有A处为直角，因此全等时直角顶点必须对应，两个直角边的对应有且只有两 种：一是AP=AD=3、AQ=AE=4,得t=3;二是AP=AE=4、AQ=AD=3,得t=4。 t=3、4均在0<t<7内。分别由两边及其夹角相等(SAS),可得△APQ兰△ADE、 △APQ兰△AED。不能只按图中字母的书写次序保留第一种对应，也不能将直角边与斜边配对。 第38页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 77.在△ABC中，AB=8,AC=5,∠ABC=30。过A作AH⊥直线BC于H。 A B B H C H (1)求AH和BH。 (2）求BC的所有可能值，以及各自对应的△ABC的面积。 答案(1)AH=4,BH=4V3。 (2)BC=4V3-3或4V3+3;对应面积为8V3-6或8V3+6。 解析(1)）由于∠ABC=30为锐角。垂足H在射线BC上。在直角三角形AB1I中，AH-AB=4。 由勾股定理，BH=V8-4=4V3。 (2)在直角三角形ACH中，CH=VAC2-AH=V25-16=3。当C在B、H之间时， BC=BH-CH=4V3-3;当C在射线BH上且越过H时，BC=BH+CH=4V3+3。 因为BH=48>9=CH,所以BH>CH,第一种位置也确实位于射线BC上，两种位置均成立。面积 分别为2×(43-3)×4=8V3-6,以及5×(4V3+3)×4=83+6。仅给两边及其中-一边的对角。不 能直接认定只有一种三角形。 第39页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 78.如图，在△ABC中，AB<AC,AE平分∠BAC,交BC于E。 E (1)若∠ABC=2∠ACB,证明：AB+BE=AC。 (2）反过来，若AB+BE=AC,证明：∠ABC=2∠ACB。 答案(1)AB+BE=AC。 (2)∠ABC=2∠ACB。 解析(1)在AC上取点D,使AD=AB,连接DE。由于AB<AC,D在线段AC内部。在△ABE与 AB=AD △ADE中，{∠BAE=∠DAE,所以△ABE兰△ADE(SAS)，故BE=DE AE=AE ∠ADE=∠ABE=∠ABC。 A,D,C共线，∠ADE是△DEC在D处的外角，所以∠ADE=∠DEC+∠DCE。由 ∠ADE=2∠ACB及∠DCE=∠ACB,得∠DEC=∠DCE,从而DE=DC。故 AB+BE=AD+DC=AC。 (2)仍在AC上取AD=AB并连接DE。同样由SAS,得BE=DE,∠ADE=∠ABC。由已知 AB+BE=AC=AD+DC,可得DE=BE=DC,因此∠DEC=∠DCE=∠ACB。 再用三角形外角性质，∠ABC=∠ADE=∠DEC+∠DCE=2∠ACB。这说明在题设的角平分线和 边长大小条件下，两个结论可以相互推出。 A 第40页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 79.如图，∠BAC=90。在△ABC的外侧，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD、ACE。连接 CD、BE,两线段交于点P。 E A (1)证明：CD=BE。 (2）求∠CPB。 答案(1)CD=BE。 (2)∠CPB=120。 解析(1)由等边三角形，得AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°。两等边三角形均作在原 三角形外侧，所以∠DAC=∠DAB+∠BAC=150°，∠BAE=∠BAC+∠CAE=150°。 AD-AB 在△DAC与△BAE中， ∠DAC=∠BAE,故△DAC兰△BAE(SAS),从而CD=BE, AC=AE ∠ADC=∠ABE。 (2)设∠ADC=∠ABE=。由图中射线次序及△ABD为等边三角形，∠BDP=∠BDC=60-a, ∠DBP=∠DBE=60+a。在△BDP中，∠DPB=180-(60-a)-(60°+a)=60°。 点C,P,D共线，且P在CD内部，因此∠CPB=180°-∠DPB=120。这里60°是∠DPB,不是题目 所求的∠CPB。 第41页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 80.如图，AB=AC=6,∠BAC=90,D为BC的中点。过D作两条互相垂直的直线，分别交AB、 AC的内部于E、F,连接AD、EF。 D B E (1)证明：△BDE三△ADF,并写出由此得到的BE与AF的关系。 (2）求SABDE+S△cDFO (3)小明认为EF=6。判断这个结论是否正确，并比较EF与6的大小。 答案(1)△BDE三△ADF,BE=AF。 (2)面积和恒为9。 (3)不正确，EF<6。 解析（1)等腰三角形的三线合一得AD⊥BC,且∠BAD=∠DAC=45。又由直角三角形斜边上 的中线性质，AD=BD。于是∠DBE=∠DAF=45。 因为AD⊥DB、DE⊥DF,所以∠BDE与∠ADF都与∠EDA互余，从而∠BDE=∠ADF。在 ∠DBE=∠DAF △BDE与△ADF中，{BD=AD,故两三角形全等(ASA),从而BE=AF,且两三角形面积 ∠BDE=∠ADF 相等。 (2)由(1)，SABDE=SAADF,所以SABDE+SACDF=SAADF+SACDF=SAADC。由于D为BC中点， Sx5-6×6-9. (3)由BE=AF,得AE+AF=AE+BE=AB=6。由于E、F分别在两条边内部，△AEF确为三角 形。由三角形两边之和大于第三边，EF<AE+AF=6。长度和等于6不能改成连接两端点的线段长等 于6。 第42页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 81.如图，∠BAC=90,AB=5,AC=12。点P从B出发，先沿BC到达C,再沿CA到达A,速度始 终为每秒1个单位长度。设运动时间为t秒，0<t<25。过A作AH⊥BC于H。 H B (1)求BC、AH和BH。 (2）当P在线段BC上时，求使△ABP为等腰三角形的所有t值。 3)求整个运动过程中，同时满足△ABP为等腰三角形且SA8=)SAA的所有值 答案 (1)BC=13,AH=60.BH=25 13, 13° 2器5是 (日)只有=只秒。 解析(1)BC-V5+12-1B,由三角形面积的两种表示，是AB~AC=号BC~AH,得AH-0。在 直角三角形ABH中，BH=52- 602625 13 故BH=25 3° (2)第一段运动中，BP=t。分三种相等边关系：①AB=BP时，t=5。②AB=AP时，△ABP为以 73即r=50 BP为底的等腰三角形，AH是底边上的高，故BH=HP,BP=2BH=50, 3° ③AP=BP=t时，不论P在H的哪一侧，都有PH=(t-BH。由勾股定理，t=t 252 602 13 3。展 开并消去，符碧=25，所以受。三值豆不相同。均在0t13内，代入客分支均成立。 (3)SAA=号×5×12=30，题设面积要求为SA4m=15,第-段运动中，△ABP与△ABC以BP, BC为底时离相同。所以5心既5m器。令沿-15，得只。由②)，这个时制包满足 13 等腰条件。 第43页共44页 三角形实数的初步认识勾股定理教师详解版 第二段运动中，13≤t<25,AP=25-t,且∠BAP=90。由面积要求， x5×25-=15, 得AP=6、t=19。此时两条直角边分别为5和6，不相等；斜边又严格大于每条直角边，所以不是等 13 腰三角形，应排除。故整个运动过程中同时满足两项要求的时刻只有〔=秒。 82.如图，∠ACB=90,CA=CB=8,M为AB的中点。点D、E分别在线段CA、CB上，且 DE=10,N为DE的中点。 A D 么 N B E (1)证明：MN≥4V2-5。 (2）求MN的最小值，确定此时CD、CE的长度，并求△CDE的面积。 (3)若再增加限制CD≤7，第(2)问中的最小值还能取到吗？ 答案(1)MN≥4V2-5。 (2)最小值为4V2-5;CD=CE=5V2;面积为25。 (3)不能取到，因为取等必须有CD=5V2>7。 解析()）由勾股定理，AB=8V2。两个直角三角形分别应用斜边中线性质，得CM=号AB=42, CN=DE=5。因为(4v2=32>25=5,故CM>CW。由线段长度关系CM≤CN+M,得 MN≥CM-CN=4V2-5。 (2)取等必须且只需C,N,M共线，且N在线段CM上。由于CA=CB,CM平分∠ACB。若取等， N到直线CA、CB的距离相等，设为h。又N为DE中点，SACDN=S△CEw;分别以CD、CE为底，得 CDh=CEh,h>0,故cD=CE。 由CD+CE2=DE2=100,得CD=CE=5V2。因为50<64，所以5√2<8，两点确在线段CA、CB内 部。反过来按此取点，等腰三角形CDE的中线CN平分∠DCE,与CM在同一射线上；又 CN=5<CM,故N在CM上，确能取到上述下界。 因此最小值为42-5，面积为2×52×5V2=25。 (3)取到第(2)问的值必须有CD=5V2,而(5V22=50>49=7,所以CD>7,不符合新增限制。 因此该值不能取到。新增条件并非没有可行图形，例如CD=6、CE=8时，DE=10且CD≤7，但此时 MN严格大于4V2-5。 第44页共44页