专题07圆的有关概念、圆心角、垂径定理、圆周角期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题07圆的有关概念、圆心角、垂径定理、圆周角期中复习讲义 ✵复习目标 理解圆、弦、弧、直径等相关概念，掌握圆的对称性。 掌握垂径定理及其推论，能构造直角三角形，结合勾股定理完成线段计算与简单证明。 掌握圆心角定理，能在同圆或等圆中实现圆心角、弧、弦之间的等量转化。 掌握圆周角定理及其推论，熟练进行角度计算与几何推理，重视分类讨论思想。 ✵高频题型梳理 题型1.圆的有关概念辨析 题型2.过圆内一点最长弦相关问题 题型3.判断确定圆的条件 4.圆心角概念辨析、圆弧度数计算 题型5.点与圆的位置关系判定及计算 题型6.点到圆上点的最值问题 题型7.三角形外接圆、外心的相关辨析与计算 题型8.弧、弦、圆心角关系的计算与证明 题型9.垂径定理及其推论的计算 题型10.垂径定理的实际应用 题型11.圆周角定理计算与应用 题型12.直径与90°圆周角互推的综合问题 题型13.求三角形外心坐标 题型14.垂径定理推论相关证明题 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、圆的有关概念 在同一平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，端点A经过的封闭曲线叫做圆，定点O为圆心，线段OA为半径，记作⊙O。 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，直径是圆中最长的弦。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧；半圆是特殊的弧，半圆既不是劣弧，也不是优弧。 等圆：半径相等的两个圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆是旋转对称图形，圆心是它的对称中心。 知识点二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 说明：垂径定理常用模型：半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解。 知识点三、圆心角及圆心角定理 圆心角：顶点在圆心，两边都与圆相交的角。 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中，只要有一组量相等，其余各组对应的量也分别相等。 知识点四、圆周角及圆周角定理 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即在下图中，∠ABC=∠AOC 定理解读:在圆中，同一条弧可以对应无数个圆周角，这些圆周角的度数全部相等，且始终等于该弧对应圆心角度数的一半。 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；（即∠DBE=∠DAE=∠DCE） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ✵易错提醒 1.圆心角、弧、弦等量转化的前提是同圆或等圆，缺少该前提，结论不一定成立。 2.垂径定理推论中，被平分的弦不能是直径；任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直。 3.圆周角必须同时满足两个条件：顶点在圆上，两边与圆相交。 4.同一条弦对应两条弧（劣弧、优弧），对应的圆周角有两种，分别在弦两侧，角度互补，无图时必须分类讨论。 5.等弧一定在同圆或等圆中；长度相等的弧不一定是等弧。 ✵典例精讲 题型1.圆的有关概念辨析 1．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．三角形的外心是三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弦的关系以及三角形的外心定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弦的关系以及三角形的外心定义，逐项判断正误． 【详解】解：∵ 选项A：不共线的三点确定一个圆，共线的三点不能确定一个圆，∴ A错误； ∵ 选项B：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴ B错误； ∵ 选项C：在同圆中，半径相等，相等的弦所对的圆心角相等，∴ C正确； ∵ 选项D：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，内心才是角平分线的交点，∴ D错误． 故选：C． 2．下列说法中，正确的是_________．（请填写序号） ①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧； ⑤直径是圆中最长的弦；⑥半径相等的两个圆是同圆；⑦长度相等的弧是等弧． 【答案】②⑤ 【分析】利用圆的相关概念逐一判断每个说法的正误即可得到结果； 【详解】解：①连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有过圆心的弦才是直径，因此不是所有弦都是直径，故①错误； ②弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧，故②正确； ③直径是过圆心且两个端点都在圆上的线段，仅过圆心的线段，端点不一定在圆上，故③错误； ④优弧的长度大于半圆的长度，因此半圆不是最长的弧，故④错误； ⑤直径过圆心，圆中任意其他弦的长度都小于直径，因此直径是圆中最长的弦，故⑤正确； ⑥半径相等的两个圆是等圆，圆心不同时是不同的圆，不是同圆，故⑥错误； ⑦等弧是能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，因此不一定是等弧，故⑦错误； 综上，正确的说法是②⑤． 3．如图，为的内接三角形，为直径，过点C作，垂足为D．设，． (1)分别用a，b表示，． (2)和的长之间有什么关系？由此你能得到怎样的关于a，b的不等式？ 【答案】(1)， (2)当且仅当时等号成立 【分析】（1）先求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可； （2）根据垂线段最短的性质，可得，当且仅当与重合时等号成立，再将的表达式代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据垂线段最短的性质，可得，当且仅当与重合时等号成立， 将的表达式代入得： 当且仅当时等号成立． 题型2.过圆内一点最长弦相关问题 1．如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是（    ）    A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，作于H．首先求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题； 【详解】解：连接、、，作于H．    ∵， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点，，P分别是，，的中点． ∴，，， ∴，， 当是直径时，的值最大，最大值为6， ∴的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 【答案】 【分析】圆内过点的最长弦为圆的直径，最短弦是过点且垂直于该直径的弦，利用垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与直径垂直的弦， ∴的直径为，半径为，最短弦长为， ∵根据垂径定理，最短弦被点平分， ∴最短弦一半的长度为， ∴由勾股定理得． 3．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 【答案】6 【分析】由是的中位线，从而得出，当为直径时即可求出的最大值． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ， ∴当取最大值时，的值最大． ∵当为的直径时值最大，此时， ∴的最大值为6． 题型3.判断确定圆的条件 1．下列说法：三点确定一个圆；三角形的外心一定在三角形内；长度相等的弧是等弧； 其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，三角形外心的性质，等弧概念等知识点，根据确定圆的条件，三角形外心的性质，等弧概念，逐一进行判断即可，熟练掌握确定圆的条件，三角形外心的性质，等弧概念是解决此题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故①错误，符合题意； 三角形的外心不一定在三角形内，故②错误，符合题意； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故③错误，符合题意； ∴错误的共有3个， 故选：A． 2．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 3．如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【答案】 证明：连接，      ∵， ∴， 又， ， ， 取的中点O，连接， ∴， ∴点在同一个圆上． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明． 【详解】略 4.圆心角概念辨析、圆弧度数计算 1．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 3．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可得出答案； （2）过点 C 作于点 H ，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用等面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ， ∴的度数为； （2）解：过点作于点，则， 在中，， ， ， ， ∴在中，， ． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 题型5.点与圆的位置关系判定及计算 1．已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形三边关系，掌握相关性质定理是解题的关键．根据点与圆的位置关系可得，，分两种情况讨论：当、、三点不共线时，根据三边关系确定的取值范围；当、、三点共线，根据线段和差关系确定的值，即可得解． 【详解】解：点在半径为的上， ， 点在外， ， 当、、三点不共线时，在中，，， 由三角形三边关系可得：， 即， ， ， 当、、三点共线，且点在点与点之间时，． 的取值范围为． 故选：C． 2．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 3．请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2) 解：如图③，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又∵， ∴， ∴， 这与已知条件“”矛盾，故点在圆内不成立； (3) 【分析】（）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （）若点在内，延长与交于点，连接，利用三角形外角及圆周角定理可知，，进而得，已知不符，所以假设不成立； （）由可得四点共圆，即得，为直径，进而得，得到，再由得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）略 （3）解：∵在四边形中，，点在的同侧， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 题型6.点到圆上点的最值问题 1．如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 2．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 __ ． 【答案】2 【分析】取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2． 3．如图，在矩形中，是的中点，(不与点重合)是边上的动点，将沿着翻折后得到延长交边于点，连接， (1)求证∶ (2)当点运动到时，点在点的左边，求的长； (3)在(2)问，的长度下，在点的运动过程中，求、两点之间距离的最小值． 【答案】(1) 证明：在矩形中，， 沿着翻折后得到， ，，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质得，，，证明，得，进而可以解决问题； （2）过点作于点，得矩形，得，所以设，，根据勾股定理得，然后证明，根据线段的和差求出，进而可以解决问题； （3）根据题意得点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，点，，三点共线时，、两点之间距离的最小，根据勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，得矩形， ，， 四边形是矩形， ， ， ； 设，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，连接， 当点的运动过程中， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点，，三点共线时，、两点之间的距离最小， ， ， ， 、两点之间距离的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，解决本题的关键是理解点的运动轨迹． 题型7.三角形外接圆、外心的相关辨析与计算 1．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 2．已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，确定的外接圆直径为斜边，连接，，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，且为直角， ∴， 作的外接圆如图，连接，，交于点 ，则为直径，，    ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 题型8.弧、弦、圆心角关系的计算与证明 1．如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键，先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 2．如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 【答案】3 【分析】由直径的长度求出圆的半径，明确的长度均等于半径．因为弧等于弧，所以对应圆心角与相等，结合已知的度数，求出的度数．根据的边长和角度特征，利用对应三角形的性质，求解的长度． 【详解】设圆形喷泉的圆心为点，连接， ∵直径米， ∴圆的半径米． ∵，且， ∴， ∴． ∵是直径，， ∴． ∴是等边三角形， ∴ 3．如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）通过圆心角定理的推论得出，再证明，进而即可得到结论； （2）连接，证明是等边三角形，进而即可得到答案 【详解】（1）略； （2）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 题型9.垂径定理及其推论的计算 1．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 2．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 3．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 题型10.垂径定理的实际应用 1．如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接， 由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面， ∴， 在中，， ∵， ∴． 2．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，求截面圆圆心到水面的距离． 【答案】截面圆圆心到水面的距离为6 【详解】解：，， ， ， ， 即截面圆圆心到水面的距离为6． 题型11.圆周角定理计算与应用 1．如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角定理可得，再根据，可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，是的直径，交于点E，，连接，． (1)若，求的度数； (2)如图2，点N在上，作，分别交，于点M，P，，过点B作交于点F． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①证明：如图，连接， ∵，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴； ②10 【分析】（1）连接，得到，，求出即可解题； （2）①连接，设，可得，，由，结合三角形内角和定理得，根据平行线的性质得，故，根据等角对等边得，等量代换可得结论； ②连接，取中点，连接，过作于，过作交于，证明四边形是平行四边形，得到，，求出，得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①略； ②连接，取中点，连接，过作于，过作交于，如图： 由①知， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型12.直径与90°圆周角互推的综合问题 1．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，然后根据圆周角的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，四边形是的内接四边形，，直线与相切于点A．若，则的度数为_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质，直径的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 连接，根据圆内接四边形的性质得出，，证明，得出，再根据切线的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是的内接四边形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵直线与相切， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴即， ∵， ∴， ∴，即为中点； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证； （2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 题型13.求三角形外心坐标 1．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为________ 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求． 【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求， 所以的外心坐标为 ， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为_______； (3)直接写出的长度为_______（结果保留）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形、确定圆的条件、弧长计算公式及勾股定理，熟练掌握坐标与图形、确定圆的条件、弧长计算公式及勾股定理是解题的关键； （1）连接，分别作的垂直平分线，交于一点，则圆心M即为两垂直平分线的交点，然后根据坐标系可进行求解； （2）连接，则即为的半径，然后根据勾股定理可进行求解； （3）连接，由题意易得，即，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于一点，则圆心M即为两垂直平分线的交点，如图所示： 由坐标系可知：点M的坐标为； 故答案为； （2）解：连接，则即为的半径， ∵， ∴， 故答案为； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴的长度为； 故答案为． 题型14.垂径定理推论相关证明题 1．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 2．如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则_________， _________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，利用圆周角定理及推论得出，，利用垂径定理求出 ，，，由，得出，利用，列式求出或，结合，得，得出，再利用，即可求出；连接，，，，延长交于点，利用为的中点，得出垂直平分，可得，，求出，再利用，，求出，在中，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 得（负值舍）； 如图，连接，，，，延长交于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 得（负值舍）， 在中，， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查圆周角定理及推论，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 3．如图，是的直径，点位于半圆上，平分，，垂足为，与相交于，连接． (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若cm，cm，求线段的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 直线与相切，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵是的半径， ∴直线与相切； (2)线段的长为 (3)图中阴影部分的面积为 【分析】（1）通过角平分线得，结合得，进而得，可得，再由得，最后由是的半径得出直线与相切； （2）过点作，垂足为，构造矩形，得，，再由勾股定理求出，进而得，最后在中用勾股定理算出； （3）连接，交于点，通过垂径定理的推论得，，证明得，进而得，得出是等边三角形，推出，再在中求出，，最后通过即可得出． 【详解】（1）解：略． （2）解：如图，过点作，垂足为， 又，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是的直径，cm， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ； （3）解：如图，连接，交于点， ∵是弧的中点， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线判定、垂径定理的推论、勾股定理、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，利用圆的相关性质构造辅助线转化图形关系是解题的关键． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，是的弦，于点C，，，点P为所在平面内一点，且，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系；根据垂径定理可得，由含角的直角三角形的性质，可得，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x，进而求出圆的半径，即可求解． 【详解】解：∵于点C，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， 在中， 根据勾股定理得：，即， 解得：或（舍去）， ∴半径为2， ∵，且， ∴点P在外， 故选：B． 2．如图，是的直径，点在上，且点在的异侧，连接．若，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线的性质可得的度数，则由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径． 由直角三角形斜边上中线的性质可得，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 4．如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，根据垂径定理得出，再由勾股定理得出，结合图形即可求解 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的弦，半径于点D，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，是半圆O的直径，点C，D将弧分成相等的三段弧，点P在弧上．已知点Q在弧上且，则点Q所在的弧是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据已知条件和圆的性质可得的度数，则由圆周角定理可得的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径，P在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴， ∵， ∴Q在上． 二、填空题 6．已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____． 【答案】1或7 【分析】连接，，过点O作直线于F，交于E，由，根据垂径定理得到，再根据勾股定理可计算出，，然后分类讨论：①当和在圆心的两侧时，则；②当和在圆心的同侧时，则． 【详解】解：如图所示，连接，，过点O作直线于F，交于E， ∵， ∴．   ∵，， ∴， ∴； ①当和在圆心的两侧时，则； ②当和在圆心的同侧时，则； 则与间的距离为1或7． 7．平面直角坐标系内的三个点：，，_______确定一个圆．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】设经过，两点的直线解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，把代入，得出点不在直线上，根据确定圆的条件，即可得出答案． 【详解】解：设经过，两点的直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入解析式得：， ∴点不在直线上，即三点不在同一直线上， ∴，，三个点能确定一个圆． 8．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴． 9．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且， ∴弧弧 ∵是直径，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 10．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 由可知，点在以为直径的圆上，故以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此即可求出最值． 【详解】解：于点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， ∵等边三角形，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了圆的性质，三角形面积的计算，以及三角函数等知识，作辅助圆是解决问题的关键． （1）根据点与圆上点的最值问题解答即可； （2）根据题意可得总费用，连接，求出，再作于点E，于点G，作于H，求出，即可得到当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小，求出解题即可． 【详解】（1）当点C在与的交点时，点C到的距离最小，则的面积最小． ，的半径为2， ， ， 面积的最小值， 故答案为：6； （2）由题意得：， ， 总费用 ， 连接 ，， ， ， ， ， 作于点E，于点G， ， 作于H， 又， ， 当点D、N、H在同一条直线上时，的面积最小， 边上的高， ， ， 总费用（元）， 答：总费用的最小值为元． 12．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度．      【答案】隧道主洞断面的最大高度的长度为 【分析】根据垂径定理可得，在中根据勾股定理列方程即可求出的长，进而可得的长． 本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：连接，   经过圆心，， ， 直径为， ， 在中， ∴， ， ． 答：隧道主洞断面的最大高度的长度为． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图①，点、、都在格点上． ①作出三角形外接圆的圆心； ②作出的平分线，交于点； (2)如图②，点和点是与网格线的交点，在上找一点，连接，使． 【答案】(1) ①如图，取格点、，连接，交于， ②即为所求 (2) 如图，根据网格的特点作出直径，连接，则,可知点即为所求 【分析】本题考查无刻度直尺作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，三角形的外心的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； （1）①先根据网格特征得出是直角三角形，根据圆周角定理确定圆心在上，利用网格结合矩形性质即可找出圆心； ②利用网格找出中点，利用垂径定理及圆周角定理即可作出； （2）根据网格的特点作出直径，连接，则,可知点即为所求． 【详解】（1）解：①由网格特征可知：，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴圆心在上， 由网格可知四边形是矩形， ∴， ∴点即为所求． ②如①图中，由网格可知点为中点，连接并延长，交于，连接， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴是的角平分线． （2）略 14．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AC＝AD，AB 交 CD 于 E，直径 CM 交 AD 于 N，连接 DM． (1)求证：ABDM； (2)若 OE＝4，ON＝2，求⊙O 的半径． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∵CM是⊙O的直径， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负舍）， 故⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 15．如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，，再通过等腰三角形的性质得到，从而证得，然后由圆心角定理证得； （2）作于，利用菱形的性质可得，是等边三角形，得到，通过等腰三角形的性质结合勾股定理得到，然后通过求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07圆的有关概念、圆心角、垂径定理、圆周角期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解圆、弦、弧、直径等相关概念，掌握圆的对称性。 · 掌握垂径定理及其推论，能构造直角三角形，结合勾股定理完成线段计算与简单证明。 · 掌握圆心角定理，能在同圆或等圆中实现圆心角、弧、弦之间的等量转化。 · 掌握圆周角定理及其推论，熟练进行角度计算与几何推理，重视分类讨论思想。 ✵高频题型梳理 题型1.圆的有关概念辨析 题型2.过圆内一点最长弦相关问题 题型3.判断确定圆的条件 4.圆心角概念辨析、圆弧度数计算 题型5.点与圆的位置关系判定及计算 题型6.点到圆上点的最值问题 题型7.三角形外接圆、外心的相关辨析与计算 题型8.弧、弦、圆心角关系的计算与证明 题型9.垂径定理及其推论的计算 题型10.垂径定理的实际应用 题型11.圆周角定理计算与应用 题型12.直径与90°圆周角互推的综合问题 题型13.求三角形外心坐标 题型14.垂径定理推论相关证明题 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、圆的有关概念 在同一平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，端点A经过的封闭曲线叫做圆，定点O为圆心，线段OA为半径，记作⊙O。 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，直径是圆中最长的弦。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧；半圆是特殊的弧，半圆既不是劣弧，也不是优弧。 等圆：半径相等的两个圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆是旋转对称图形，圆心是它的对称中心。 知识点二、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 说明：垂径定理常用模型：半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解。 知识点三、圆心角及圆心角定理 圆心角：顶点在圆心，两边都与圆相交的角。 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中，只要有一组量相等，其余各组对应的量也分别相等。 知识点四、圆周角及圆周角定理 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 即在下图中，∠ABC=∠AOC 定理解读:在圆中，同一条弧可以对应无数个圆周角，这些圆周角的度数全部相等，且始终等于该弧对应圆心角度数的一半。 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；（即∠DBE=∠DAE=∠DCE） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ✵易错提醒 1.圆心角、弧、弦等量转化的前提是同圆或等圆，缺少该前提，结论不一定成立。 2.垂径定理推论中，被平分的弦不能是直径；任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直。 3.圆周角必须同时满足两个条件：顶点在圆上，两边与圆相交。 4.同一条弦对应两条弧（劣弧、优弧），对应的圆周角有两种，分别在弦两侧，角度互补，无图时必须分类讨论。 5.等弧一定在同圆或等圆中；长度相等的弧不一定是等弧。 ✵典例精讲 题型1.圆的有关概念辨析 1．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆心角所对的弧是等弧 C．在同圆中，相等的弦所对的圆心角也相等 D．三角形的外心是三个内角平分线的交点 2．下列说法中，正确的是_________．（请填写序号） ①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧； ⑤直径是圆中最长的弦；⑥半径相等的两个圆是同圆；⑦长度相等的弧是等弧． 3．如图，为的内接三角形，为直径，过点C作，垂足为D．设，． (1)分别用a，b表示，． (2)和的长之间有什么关系？由此你能得到怎样的关于a，b的不等式？ 题型2.过圆内一点最长弦相关问题 1．如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点．若的半径为6，则的长度的最大值是（    ）    A．6 B．12 C． D． 2．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 3．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 题型3.判断确定圆的条件 1．下列说法：三点确定一个圆；三角形的外心一定在三角形内；长度相等的弧是等弧； 其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 3．如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    4.圆心角概念辨析、圆弧度数计算 1．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 3．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 题型5.点与圆的位置关系判定及计算 1．已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 3．请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且． 求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接， 则（依据） 又，（依据） 所以， 所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内， …… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？ 依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 题型6.点到圆上点的最值问题 1．如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 __ ． 3．如图，在矩形中，是的中点，(不与点重合)是边上的动点，将沿着翻折后得到延长交边于点，连接， (1)求证∶ (2)当点运动到时，点在点的左边，求的长； (3)在(2)问，的长度下，在点的运动过程中，求、两点之间距离的最小值． 题型7.三角形外接圆、外心的相关辨析与计算 1．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 2．已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 3．如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 题型8.弧、弦、圆心角关系的计算与证明 1．如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 3．如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型9.垂径定理及其推论的计算 1．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 2．如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 3．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 题型10.垂径定理的实际应用 1．如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，求截面圆圆心到水面的距离． 题型11.圆周角定理计算与应用 1．如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，内接于，，，为的直径，________ ． 3．如图，是的直径，交于点E，，连接，． (1)若，求的度数； (2)如图2，点N在上，作，分别交，于点M，P，，过点B作交于点F． ①求证：； ②若，，求的长． 题型12.直径与90°圆周角互推的综合问题 1．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，，直线与相切于点A．若，则的度数为_______°． 3．如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 题型13.求三角形外心坐标 1．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，则的外心坐标为________ 3．如图，在平面直角坐标系中，、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________； (2)这个圆的半径为_______； (3)直接写出的长度为_______（结果保留）． 题型14.垂径定理推论相关证明题 1．如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，内接于半径为的，于点，延长交于点，为的中点，连接交于点，若，，，则_________， _________． 3．如图，是的直径，点位于半圆上，平分，，垂足为，与相交于，连接． (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若cm，cm，求线段的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，是的弦，于点C，，，点P为所在平面内一点，且，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 2．如图，是的直径，点在上，且点在的异侧，连接．若，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 5．如图，是半圆O的直径，点C，D将弧分成相等的三段弧，点P在弧上．已知点Q在弧上且，则点Q所在的弧是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知的直径是10，、是的两条弦，，且，，则这两条弦间的距离为_____． 7．平面直角坐标系内的三个点：，，_______确定一个圆．（填“能”或“不能”） 8．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 9．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 10．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________． 三、解答题 11．（1）如图1，线段，的半径为2，点O到的距离等于4，C为上一动点，则面积的最小值为______； （2）如图2，四边形是某区的一处景观示意图，，，，，，M是上一点，且．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛和草坪，且需．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师计算修好花坛和草坪最少需要多少元？（结果保留根号） 12．天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为的的一部分，路面最大宽度约为，求隧道主洞断面的最大高度．      13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图①，点、、都在格点上． ①作出三角形外接圆的圆心； ②作出的平分线，交于点； (2)如图②，点和点是与网格线的交点，在上找一点，连接，使． 14．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AC＝AD，AB 交 CD 于 E，直径 CM 交 AD 于 N，连接 DM． (1)求证：ABDM； (2)若 OE＝4，ON＝2，求⊙O 的半径． 15．如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $