专题09圆周角.圆内接四边形及正多边形期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题09圆周角.圆内接四边形及正多边形期中复习讲义 知识点01：圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 圆周角与圆心角对比表 知识点02:圆周角定理及推论（高频考点） 1.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，∠ABC = ∠AOC 同弧或等弧所对的圆周角相等。如图 2.圆周角定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。 如上图， AB 是直径∠ACB = ∠ADB = 90 ∠ACB = 90 AB 是直径 知识点03:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 知识点 04： 正多边形及有关概念 1.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.圆内接正多边形：把圆分成 n(n≥3) 等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正 n 边形，这个圆就是这个正 n 边形的外接圆。 3.与正多边形有关的概念 知识点 05： 正多边形的有关计算 知识点06：综合解题思路汇总 1.求角度：优先圆周角定理、圆内接四边形对角互补 / 外角性质； 2.求线段、半径、边长：直径造直角、正多边形勾股直角模型； 3.证明等角：同弧圆周角相等、圆内接四边形外角等于内对角； 4.证明四点共圆：一组对角互补。 1、忽略圆周角定理的前提条件 易错提醒：圆周角的度数等于同弧所对圆心角度数的一半，必须满足同一条弧这个前提；不同弧所对应的圆心角与圆周角，不存在这个二倍数量关系。 2、一条弦所对圆周角出现漏解 易错提醒：同一条弧所对应的所有圆周角相等；一条弦所对的圆周角有两种，分布在弦的两侧，这两个角互补，解题极易漏掉其中一种结果。 3、相等圆周角推弧相等缺少前提 易错提醒：只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等；没有这个前提，不能够推出弧相等。 4、混淆圆内接四边形对角与邻角关系 易错提醒：圆内接四边形的性质是对角互补，不是邻角互补；不可误认为相邻两个内角之和等于180°。 5、找错圆内接四边形外角的等角 易错提醒：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（这个外角相邻内角的对角），不是等于它的相邻内角，要找准对应关系。 6、判定正多边形只依据边长相等 易错提醒：判定一个多边形是正多边形，必须同时具备两个条件：各边相等、各内角相等；仅边长相等或仅内角相等，不能判定为正多边形。 7、混用正多边形中心角与内角公式 易错提醒：正n边形的中心角=；正n边形的内角=，两个计算公式不可混淆。 8、混淆外接圆半径与边心距 易错提醒：正多边形的外接圆半径，是中心到顶点的线段长；边心距是中心到一条边的垂线段长，二者含义不同，不可代入混用。 9、正多边形计算未构造基础直角三角形 易错提醒：正多边形的计算题，常规辅助线：连接中心与顶点，再作中心到这条边的垂线，得到可用于计算的直角三角形；不要随意选取线段列式运算。 题型 考察方向 难度 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型二 圆周角定理 ★★ 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型六 已知圆内接四边形求角度 ★★ 题型七 求四边形外接圆的直径 ★★★ 题型八 求正多边形的中心角 ★ 题型九 已知正多边形的中心角求边数 ★ 题型十 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型十一 尺规作图 —— 正多边形 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 2．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（    ）． A．15° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【分析】根据题意得：OD=OC=PD，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：OD=OC=PD， ∴∠ODC=∠OCD，∠DOP=∠OPD， ∵， ∴∠ODC=∠OCD=， ∴∠DOP=∠OPD=， ∴∠POC=∠DOP-∠AOB=15°． 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    ) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键. 题型二 圆周角定理 4．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍求解即可． 【详解】 解：∵与是同弧所对的圆周角与圆心角， ∵， ∴． 5．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 6．如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 7．如图，是的直径，，是上半圆上的一点，是下半圆上的中点，过点作的垂线，垂足为，连接．若，则的长是（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，构造等腰直角三角形，在中，利用勾股定理求解、，可证得，，，求得，利用得出答案． 【详解】解：如解图，连接，，，过点作交于点， 是下半圆上的中点， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， 设， ， 在中，， 解得，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 8．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，由的度数即可求出的度数． 【详解】解：与都是所对的圆周角， ， ， ． 9．如图，是的弦，点C是的中点，连接，若，则_______． 【答案】56 【分析】根据，利用等弧所对的圆周角相等，得到，再根据圆周角定理，得出，即可作答． 【详解】解：是的中点， ， ， ． 10．如图，为的直径，，则的度数为____________． 【答案】/62度 【分析】先利用等弧所对的弦的性质得出垂直平分，再结合圆周角定理和直角三角形的角度关系求解的度数． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是圆与三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，由，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，利用和是定值，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，， ∵的直径为，C为半圆弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧， ∵，C为半圆弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 12．已知是圆的直径，C是圆上一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角，进行求解即可． 【详解】解：∵是圆的直径，C是圆上一点， ∴， ∵， ∴； 故选C． 13．如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为__________． 【答案】/51度 【分析】作出辅助线，根据直径所对的圆周角为可得，再结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴ ． 14．如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为________． 【答案】/10度 【分析】根据题意可得，则，进而根据同弧所对的圆周角相等得出，求得，根据即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】解：如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选D． 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 16．下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 17．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____．    【答案】13 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，    ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的直径为， 故答案为：13． 18．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 题型六 已知圆内接四边形求角度 19．如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得，代入的度数即可求解． 【详解】解：∵点在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 20．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 21．如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】连接,则为直角，可以求出的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的值． 【详解】解：连接,如图所示． ∵是圆直径， ∴为直角， ∴， ∴, ∵圆周角与圆周角所对同一段弧， ∴, ∴． 22．如图，过的顶点，，，且圆心在边上，若，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，设的半径为，分别根据勾股定理求得，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为， 设的半径为， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，即， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的半径是． 题型七 求四边形外接圆的直径 23．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 24．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 【答案】 【分析】根据题意得出正方形的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个正方形的最小圆面的半径． 【详解】解：如图所示：点O为正方形的外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的外接圆与外心，解题关键是得出外接圆圆心位置． 25．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 题型八 求正多边形的中心角 26．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 27．如图，正五边形内接于，则的度数为 ________ ． 【答案】/36度 【分析】连接，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， 由题意，， ∴． 28．如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 【答案】90 【详解】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为， ． 29．如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，根据正六边形的性质得出，即可证明是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，设正六边形的中心是，， ∴，， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型九 已知正多边形的中心角求边数 30．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 由题意可得：， 解得， 故选：C． 31．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 32．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接，先得出是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵点为正多边形的中心， ∴是这个正多边形的外接圆， 由圆周角定理得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 题型十 正多边形和圆的综合 33．张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，勾股定理，如图，过A作于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆内接正八边形的面积为， 故选：C． 34．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______． 【答案】12 【分析】先求出的度数，即可得出的值． 【详解】解：如图，标注顶点，连接， ∴由正六边形与正方形的性质可得，， ∴， ∵恰好等于一个正n边形的一个外角， ∴． 35．如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 36．如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 【答案】 【分析】设正八边形的半径为，根据题意，得，设与交于点W，与交于点T，求得，，解答即可； 【详解】解：设正八边形的半径为，根据题意，得， ， 正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，与交于点W，与交于点T， 故， ， ， 故四边形是正方形，四边形是正方形， ，， 同理可证，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形， ， ； 题型十一 尺规作图 —— 正多边形 37．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 38．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 39．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 解答题 1．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； (2) 解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 【答案】证明：连接，， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵A为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】连接，，证明，即可得到结论． 【详解】略 3．如图，点A，D，B，C在上，于点E．若，，求半径的长．    【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，90度的圆周角对的弦是直径，同弧或等弧所对的圆周角相等，直接利用圆周角定理结合等腰直角三角形的性质得出的长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图，连接，连接与交于点F，    ∵， ∴． ∴为直径． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∴半径的长5． 4．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当时，求的度数． (2)若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据外角的性质求出，根据圆内接四边形对角互补求出，最后根据外角可得答案； （2）根据圆内接四边形的性质和外角的性质可得，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 四边形内接于， ， ， ； （2）解：由题意得， ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 5．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09圆周角.圆内接四边形及正多边形期中复习讲义 知识点01：圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 圆周角与圆心角对比表 知识点02:圆周角定理及推论（高频考点） 1.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，∠ABC = ∠AOC 同弧或等弧所对的圆周角相等。如图 2.圆周角定理的推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径。 如上图， AB 是直径∠ACB = ∠ADB = 90 ∠ACB = 90 AB 是直径 知识点03:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 知识点 04： 正多边形及有关概念 1.各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.圆内接正多边形：把圆分成 n(n≥3) 等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正 n 边形，这个圆就是这个正 n 边形的外接圆。 3.与正多边形有关的概念 知识点 05： 正多边形的有关计算 知识点06：综合解题思路汇总 1.求角度：优先圆周角定理、圆内接四边形对角互补 / 外角性质； 2.求线段、半径、边长：直径造直角、正多边形勾股直角模型； 3.证明等角：同弧圆周角相等、圆内接四边形外角等于内对角； 4.证明四点共圆：一组对角互补。 1、忽略圆周角定理的前提条件 易错提醒：圆周角的度数等于同弧所对圆心角度数的一半，必须满足同一条弧这个前提；不同弧所对应的圆心角与圆周角，不存在这个二倍数量关系。 2、一条弦所对圆周角出现漏解 易错提醒：同一条弧所对应的所有圆周角相等；一条弦所对的圆周角有两种，分布在弦的两侧，这两个角互补，解题极易漏掉其中一种结果。 3、相等圆周角推弧相等缺少前提 易错提醒：只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等；没有这个前提，不能够推出弧相等。 4、混淆圆内接四边形对角与邻角关系 易错提醒：圆内接四边形的性质是对角互补，不是邻角互补；不可误认为相邻两个内角之和等于180°。 5、找错圆内接四边形外角的等角 易错提醒：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（这个外角相邻内角的对角），不是等于它的相邻内角，要找准对应关系。 6、判定正多边形只依据边长相等 易错提醒：判定一个多边形是正多边形，必须同时具备两个条件：各边相等、各内角相等；仅边长相等或仅内角相等，不能判定为正多边形。 7、混用正多边形中心角与内角公式 易错提醒：正n边形的中心角=；正n边形的内角=，两个计算公式不可混淆。 8、混淆外接圆半径与边心距 易错提醒：正多边形的外接圆半径，是中心到顶点的线段长；边心距是中心到一条边的垂线段长，二者含义不同，不可代入混用。 9、正多边形计算未构造基础直角三角形 易错提醒：正多边形的计算题，常规辅助线：连接中心与顶点，再作中心到这条边的垂线，得到可用于计算的直角三角形；不要随意选取线段列式运算。 题型 考察方向 难度 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型二 圆周角定理 ★★ 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型六 已知圆内接四边形求角度 ★★ 题型七 求四边形外接圆的直径 ★★★ 题型八 求正多边形的中心角 ★ 题型九 已知正多边形的中心角求边数 ★ 题型十 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型十一 尺规作图 —— 正多边形 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆周角的概念辨析及简单运算 1．下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B．C． D． 2．已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C．②以D为圆心，DO长为半径画，与OB交于点E，连接DC并延长，使DC的延长线交于点P，连接DE，则的度数为（    ）． A．15° B．20° C．30° D．40° 3．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    ) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 题型二 圆周角定理 4．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 6．如图，内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____________． 7．如图，是的直径，，是上半圆上的一点，是下半圆上的中点，过点作的垂线，垂足为，连接．若，则的长是（     ） A．1 B． C． D．2 题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等 8．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的弦，点C是的中点，连接，若，则_______． 10．如图，为的直径，，则的度数为____________． 11．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 12．已知是圆的直径，C是圆上一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．如图，，是以为直径的圆上两点，已知，则的度数为__________． 14．如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为________． 15．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 题型五 90 度的圆周角所对的弦是直径 16．下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C．D． 17．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____．    18．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 题型六 已知圆内接四边形求角度 19．如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 20．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 21．如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 22．如图，过的顶点，，，且圆心在边上，若，则的半径是（     ） A． B． C． D． 题型七 求四边形外接圆的直径 23．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 24．如图，将正方形放在边长为的正方形网格中，点，，，均落在格点上，能够完全覆盖正方形的最小圆面的半径是______． 25．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 题型八 求正多边形的中心角 26．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 27．如图，正五边形内接于，则的度数为 ________ ． 28．如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 29．如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口至少为（   ）． A． B． C． D． 题型九 已知正多边形的中心角求边数 30．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 31．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 32．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为_____． 题型十 正多边形和圆的综合 33．张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 34．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O，若由点O和顶点连成的恰好等于一个正n边形的一个外角，则n的值为______． 35．如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 36．如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形的顶点恰好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形的对角线上，对角线与相交于点O，正八边形的另外四个顶点H，I，J，K分别是正方形各边的中点，连接分别交和于点E，F，则的值为______． 题型十一 尺规作图 —— 正多边形 37．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 38．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 39．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 2．已知：如图，为的直径，为弦，A为的中点，，垂足为D，和相交于点E．求证：． 3．如图，点A，D，B，C在上，于点E．若，，求半径的长．    4．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E，F． (1)当时，求的度数． (2)若，且．请用含有α，β的代数式表示的大小． 5．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $