专题08圆心角与垂径定理期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题08圆心角与垂径定理期中复习讲义 知识点 01 基础相关概念 1.弦、直径、弦心距 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段的长度。 2.圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 3.弧的度数 圆心角的度数 = 它所对弧的度数；1° 圆心角对应 1° 的弧。 4. 圆心角与圆周角对比表 知识点02:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，∵CD⊥AB于P， 2.推论：平分非直径弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，直径CD平分非直径弦AB于P⇒CD⊥AB， 3.拓展结论：弦的垂直平分线必过圆心，且平分弦所对的两条弧 4.核心勾股模型（解题必考）：弦心距d、弦半长、半径r构成直角三角形 公式：d2+(l)2=r2 5.弦心距与弦长关系：同圆 / 等圆中，弦心距越大，弦越短；弦心距越小，弦越长（直径弦心距 = 0，为最长弦） 知识点 03： 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：(1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 补充说明（便于课堂理解） （1）前提强调：所有 “知一推二” 的结论，必须在同圆或等圆中才成立，不同半径的圆不适用。 （2）弧的对应：比较弧时，必须是同类型弧（同为优弧或同为劣弧），不能将优弧与劣弧直接比较。 （3）记忆口诀：同圆等圆中，角等 ⇔ 弧等 ⇔ 弦等，知其一，得其二。 知识点 04 综合计算题型思路 线段长度计算（垂径定理） 连半径、作弦心距，构造直角三角形，用勾股定理列方程求解半径、弦长、弦心距。 角度、弧度数计算（圆心角性质） 利用圆心角 = 对应弧的度数；结合等量转换找等弧、等角。 几何证明 证弦相等 / 弧相等：先证对应圆心角相等； 证垂直、平分线段：使用垂径定理及推论。 实际应用模型 圆柱形水管截面、石拱桥、圆形工件，统一用垂径直角模型求解。 1、由圆心角相等直接推出弦、弧相等缺少前提 易错提醒：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦相等、所对的弧才相等；缺少“同圆或等圆”的条件，该结论不成立。 2、混淆弧相等与弧的度数相等 易错提醒：两条弧度数相等，不一定是等弧；只有在同圆或等圆中，度数相等的弧才是等弧；等弧的度数一定相等。 3、应用垂径定理忽略弦不为直径的限制 易错提醒：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论中，若一条直径平分一条弦，则这条弦不能是直径，才可以推出垂直关系。两条直径互相平分，但不一定互相垂直。 4、缺少垂直或平分条件滥用垂径定理推论 易错提醒：垂径定理的推论：直径平分一条非直径的弦，则直径垂直于这条弦。如果没有对应的平分或者垂直条件，不可随意推导结论。 5、无图形时忽略弦的两种位置造成漏解 易错提醒：已知弦长和半径，不给出示意图时，这条弦可分布在圆心的两侧，存在两种情形，解题需要分类讨论，防止漏解。 6、垂径定理构建直角三角形时线段识别出错 易错提醒：垂径定理常用辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的一个端点，构成直角三角形；两条直角边分别是弦长的一半、圆心到弦的距离，斜边是圆的半径。 7、错误认为弧的中点就是弦的中点 易错提醒：一条弧的中点，一定在这条弧所对弦的垂直平分线上；但是弧上任意一点，并不一定是弦的中点。 8、圆心角‑弧‑弦关系忽视对应关系 易错提醒：在同圆或等圆中，一组量相等，只能推出它所对应的另外两组量相等，不能随意得到其它无关的弧、弦相等。 题型 考察方向 难度 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 题型二 求圆弧的度数 ★★ 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★ 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★ 题型五 利用垂径定理求值 ★★ 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 ★★★ 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 ★★★ 题型八 利用垂径定理求解其他问题 ★★ 题型九 垂径定理的推论 ★★ 题型十 垂径定理的实际应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 1．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 3．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型二 求圆弧的度数 4．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 6．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解 7．如图，在中，，，则______． 8．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若为的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，是弦，半径，点是弧的中点，与交于点．若，求弦的长度______． 10．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求证 11．如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 13．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ） A．3 B． C． D． 题型五 利用垂径定理求值 14．如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 16．如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 17．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 18．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 19．的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 20．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 21．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 22．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 23．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 题型八 利用垂径定理求解其他问题 24．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　） A．AM=BM B．CM=DM C． D． 25．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm． 26．如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 题型九 垂径定理的推论 27．如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 28．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 29．如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 题型十 垂径定理的实际应用 30．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管件的直径为，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 31．如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 32．在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 33．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 解答题 1．如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 2．如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，求的长． 3．如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结． (1)求证：； (2)若，求的值（用R表示）； (3)若，，求的值． 4．如图，是的直径，平分，，垂足为，交于点． (1)求证：． (2)若，的直径为10，求的长． 5．如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08圆心角与垂径定理期中复习讲义 知识点 01 基础相关概念 1.弦、直径、弦心距 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段的长度。 2.圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 3.弧的度数 圆心角的度数 = 它所对弧的度数；1° 圆心角对应 1° 的弧。 4. 圆心角与圆周角对比表 知识点02:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，∵CD⊥AB于P， 2.推论：平分非直径弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，直径CD平分非直径弦AB于P⇒CD⊥AB， 3.拓展结论：弦的垂直平分线必过圆心，且平分弦所对的两条弧 4.核心勾股模型（解题必考）：弦心距d、弦半长、半径r构成直角三角形 公式：d2+(l)2=r2 5.弦心距与弦长关系：同圆 / 等圆中，弦心距越大，弦越短；弦心距越小，弦越长（直径弦心距 = 0，为最长弦） 知识点 03： 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：(1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 补充说明（便于课堂理解） （1）前提强调：所有 “知一推二” 的结论，必须在同圆或等圆中才成立，不同半径的圆不适用。 （2）弧的对应：比较弧时，必须是同类型弧（同为优弧或同为劣弧），不能将优弧与劣弧直接比较。 （3）记忆口诀：同圆等圆中，角等 ⇔ 弧等 ⇔ 弦等，知其一，得其二。 知识点 04 综合计算题型思路 线段长度计算（垂径定理） 连半径、作弦心距，构造直角三角形，用勾股定理列方程求解半径、弦长、弦心距。 角度、弧度数计算（圆心角性质） 利用圆心角 = 对应弧的度数；结合等量转换找等弧、等角。 几何证明 证弦相等 / 弧相等：先证对应圆心角相等； 证垂直、平分线段：使用垂径定理及推论。 实际应用模型 圆柱形水管截面、石拱桥、圆形工件，统一用垂径直角模型求解。 1、由圆心角相等直接推出弦、弧相等缺少前提 易错提醒：只有在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦相等、所对的弧才相等；缺少“同圆或等圆”的条件，该结论不成立。 2、混淆弧相等与弧的度数相等 易错提醒：两条弧度数相等，不一定是等弧；只有在同圆或等圆中，度数相等的弧才是等弧；等弧的度数一定相等。 3、应用垂径定理忽略弦不为直径的限制 易错提醒：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论中，若一条直径平分一条弦，则这条弦不能是直径，才可以推出垂直关系。两条直径互相平分，但不一定互相垂直。 4、缺少垂直或平分条件滥用垂径定理推论 易错提醒：垂径定理的推论：直径平分一条非直径的弦，则直径垂直于这条弦。如果没有对应的平分或者垂直条件，不可随意推导结论。 5、无图形时忽略弦的两种位置造成漏解 易错提醒：已知弦长和半径，不给出示意图时，这条弦可分布在圆心的两侧，存在两种情形，解题需要分类讨论，防止漏解。 6、垂径定理构建直角三角形时线段识别出错 易错提醒：垂径定理常用辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦的一个端点，构成直角三角形；两条直角边分别是弦长的一半、圆心到弦的距离，斜边是圆的半径。 7、错误认为弧的中点就是弦的中点 易错提醒：一条弧的中点，一定在这条弧所对弦的垂直平分线上；但是弧上任意一点，并不一定是弦的中点。 8、圆心角‑弧‑弦关系忽视对应关系 易错提醒：在同圆或等圆中，一组量相等，只能推出它所对应的另外两组量相等，不能随意得到其它无关的弧、弦相等。 题型 考察方向 难度 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 题型二 求圆弧的度数 ★★ 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★ 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★ 题型五 利用垂径定理求值 ★★ 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 ★★★ 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 ★★★ 题型八 利用垂径定理求解其他问题 ★★ 题型九 垂径定理的推论 ★★ 题型十 垂径定理的实际应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 1．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 2．如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为.利用三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆的知识可求出大量角器上对应的角度. 【详解】设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为，连接、， 则，， 因而， 在大量角器中弧所对的圆心角是， 因而在大量角器上对应的度数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆心角是，能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键. 3．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 题型二 求圆弧的度数 4．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角． 【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，那么整个圆的面积可看作份 丁扇形的面积占6份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为 ∵整个圆的圆心角是 ∴丁扇形的圆心角为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利用这一关系结合圆的圆心角为，计算扇形的圆心角是解题的关键． 5．如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 【答案】/52度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 6．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解 7．如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 8．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若为的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出． 【详解】解：D为的中点， ， ． 故选：A． 9．如图，在中，是弦，半径，点是弧的中点，与交于点．若，求弦的长度______． 【答案】 【分析】连接和，根据，可得，结合，可得，． 【详解】解：如图所示，连接和． ∵点是弧的中点， ∴． ∴． 又∵ ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． 10．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求证 11．如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 、不能保证，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 故选：． 12．如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 13．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆 由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短 点P是BO的中点 在中， 是等边三角形 在中， ． 【点睛】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆． 题型五 利用垂径定理求值 14．如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的直径，弦于点，， ∴． 15．如图，是的直径，弦于，若，，则的长为______． 【答案】13 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 16．如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 由题意得，， ∴． ∵圆盘的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】设点P坐标为，如图，连接，当为直径时，m最大，最大值为4，当点P为即的中点时，，，，此时即最小，利用勾股定理求得此时的弦的长m的最小值即可求解． 【详解】解：设点P坐标为，如图，连接， 根据题意，当为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为即的中点时，，，，此时即最小， 由勾股定理得， ∴弦的长m的最小值为， ∴满足题意的m值的取值范围为． 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 18．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 19．的两条平行弦的长分别为6和8，若的半径为6，则这两条平行弦之间的距离为______． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分两种情况：当两条平行弦在的同侧时和当两条平行弦在的异侧时，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当两条平行弦在的同侧时，如图，过点作于点，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 当两条平行弦在的异侧时，如图，过点作于点，于，连接， ∵，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴共线， ∴， 综上，这两条平行弦之间的距离为或， 故答案为：或． 20．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 21．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 22．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 23．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 题型八 利用垂径定理求解其他问题 24．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　） A．AM=BM B．CM=DM C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得． 【详解】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O， ∴AM=BM，，， 即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意， 当根据已知条件得CM和DM不一定相等， 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理． 25．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm． 【答案】12 【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可． 【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝48cm， ∴BD＝AB＝×48＝24（cm）， ∵⊙O的直径为60cm， ∴OB＝OC＝30cm， 在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm）， 即水的最大深度为12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 26．如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作于点，连接，，则，设半径为，在直角三角形和中，利用勾股定理整理化简，是解决问题的关键． 【详解】解：作于点，连接，，则，    设半径为， ∵，则， ∴， ∴ ∴的值保持不变． 故选：D． 题型九 垂径定理的推论 27．如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂径定理的推论，解题的关键是掌握垂径定理的推论． 根据“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”即可得答案． 【详解】解：，是的直径，是非直径的弦， ． 故答案为：（答案不唯一）． 28．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 29．如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 题型十 垂径定理的实际应用 30．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管件的直径为，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 连接，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， ∵管件的直径为， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：B． 31．如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 【答案】20 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 32．在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理得，点D在上，设，则，根据勾股定理得，即可得关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得， ∵拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为， ∴，，，， ∴点D在上， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴该圆弧的半径是． 33．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 【答案】 【分析】根据弧田的面积公式列出关于“矢”的方程求出“矢”长，设圆的半径为米，利用垂径定理和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设矢长为米， 由题意可得，， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴矢长为米， 设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米， ∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差． ∴,即， 如图，连接过点作， ∵，米， ∴米 在中，， ∴， 解得米， 即弧田弧所在的圆的半径为米． 解答题 1．如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理得，，，则，然后根据圆周角定理求解即可； （2）设的半径长，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一条弦，，∴由垂径定理得，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数； （2）解：设的半径长，则， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径长为． 2．如图，内接于，是的直径，是上一点，是的中点，连接，，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形： (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)． 【分析】（）由是的直径，得，故有，由垂直定义可得，所以，通过同角的余角相等得，再由等弧所对圆周角相等可得，，然后可得，从而得出； （）根据弧、弦、圆心角的关系可得，由勾股定理得，然后根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的判定，垂直定义，同角的余角相等，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．如图所示，半径为R的的弦交于点E，F为上一点，连结． (1)求证：； (2)若，求的值（用R表示）； (3)若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； (2) (3)1 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，从而得到，然后根据圆周角定理得到，从而根据等角对等边得到结论； （2）连结，先证明为等腰直角三角形得到，再根据圆周角定理得到，即可解答； （3设交于G点，连结，先证明，得到，再证明为等腰三角形得到，再证明得到，证明得到，从而得到，然后利用为等腰直角三角形求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：连结，如图， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：设交于G点，连结，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． 4．如图，是的直径，平分，，垂足为，交于点． (1)求证：． (2)若，的直径为10，求的长． 【答案】(1) 证明： 平分， ． 是的直径，点在圆上， ． ， ， ． ， ， ． (2) 【分析】本题考查了圆周角的性质，等腰三角形的判定，垂径定理的推论，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由平分，得到，由是的直径，，得到，所以，即可得到结论． （2）连接交于，由勾股定理得到，由平分，得到，可由垂径定理的推论，，可得是的中位线，从而求得、的长，由勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于， ，， ． 平分， ， ， ，， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理得：． 5．如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径． 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，设半径为r，连接，利用勾股定理列出即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得， 米， 设半径为r，则， 由勾股定理得，即， 解得， 所以该门洞所在圆（）的半径为米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $