精品解析：福建省南安第一中学2025-2026学年高一上学期第二次阶段测试数学试题

南安一中2025～2026学年度上学期高一年第二次阶段考 数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 函数零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 5 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知且，函数，若存在实数，使得函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若， D. 若，，则 10. 已知函数 则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上的最大值为 C. 在上无最小值 D. 的图象关于直线对称 11. 已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在是减函数 D. 存在实数使得函数在是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，扇形周长是6，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为______. 13. 函数的值域为___________. 14. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求的值; （2）若函数，求的单调递增区间. 17. 某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案： 方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元； 方案二：整体报价为元，. （1）当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值； （2）求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 18. 设，函数. （1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 19. 对于函数，，若存在，使得，则称是函数的不动点． （1）已知在上有且仅有一个不动点，求实数的取值范围； （2）若是增函数，且的定义域包含其值域，证明：“是的不动点”的充要条件是“是的不动点”； （3）求方程的实数解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2025～2026学年度上学期高一年第二次阶段考 数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解两个集合中的不等式后得到对应的集合，然后进行并集的运算即可. 【详解】由，解得，所以，由，解得，所以， 因此. 故选：B. 2. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出命题“”是真命题的充要条件，再根据充分不必要条件的定义选出正确答案即可. 【详解】由于命题“”是真命题， 等价于对恒成立，则只需即可； 又由，得，可知，从而得. 又因区间是区间的真子集， 所以满足题意的一个充分但不必要条件是. 故选：B 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得. 【详解】由题意得，解得或， 故函数的定义域为. 故选：C. 4. 函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 5. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 6. 设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行比较即可. 【详解】因为是R上的单调递减函数， 所以； 因为是R上单调递增函数， 所以； 因为在上单调递增， 所以； 又因为， 即， 又因为， 综上，. 故选：A. 7. 已知且，函数，若存在实数，使得函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数单调递减的特点列出相应的不等式，利用的取值范围，由不等式的性质求解可得实数的取值范围即可. 【详解】因为在上单调递减，则，解得， 因为，所以，要存在满足，故． 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为， 因为，，，所以， 所以. 又因为， 当且仅当即时取等号. 所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若， D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AB；取判断C；利用作差法判断D. 【详解】对于A：由可知，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，，所以，所以，所以，故B错误； 对于C：取，所以，故C错误； 对于D：因为，且， 所以，所以，故D正确； 故选：AD. 10. 已知函数 则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上的最大值为 C. 在上无最小值 D. 的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】 化简函数的解析式，求解函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件，逐项判断，即可得出结果.． 【详解】，由得，函数的定义域为； 令，则， 二次函数开口向下，其对称轴直线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又函数在上单调递增； 由复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减； 故A错； 因为时，，即，所以在上的最大值为，无最小值； 故BC正确； 因为，，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】思路点睛： 求解对数型复合函数的单调性及最值时，一般根据对数函数的单调性，以及复合函数单调性的判定方法，先判断函数单调性，再由函数单调性，即可求出最值等. 11. 已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在是减函数 D. 存在实数使得函数在是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A选项，利用赋值法，令，求出，再令，进行检验，即可判断A； 对B选项，当时，则，故，令，得出与关系，进而得出的范围，即可判断B； 对C选项，利用函数单调性的定义，由，结合已知条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断C； 对D选项，因为函数在上为增函数，若在上递减，则时，，则，由此可求得，即可判断D． 【详解】令，则，即， 解得或， 当时，令，，则，解得， 与时，矛盾，所以，故A正确； 当时，则，故， 令，则， 整理得，则， ∵，∴，，∴，故B正确； 设，则， ， ∵，，∴，， ∴，∴， 所以函数在上单调递增，故C错误； 因为函数在上为增函数，所以在上也为增函数， 若在上递减，则时，， 则时，，即， 又因为当时，，所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，扇形的周长是6，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由扇形周长求得半径同，弧长，再由面积公式得结论． 【详解】设半径为，则，，所以弧长为， 面积为． 故答案为：2． 13. 函数的值域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，令，求出的范围，再求的范围即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】可令，判断的单调性，并且可判断的图象关于点成中心对称，将问题转化为求解. 【详解】易知函数在上为单调性递增， 即可得是上的增函数， 令，则是上的增函数， 易知， 可得，即的图象关于点成中心对称， 由可得， 即， 由可得；所以， 利用是上的增函数可得， 解得. 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由正切的定义求得，根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入的值可求值；法二：利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可. （2）法一：利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；法二：直接由定义求得，代入求值即可. 【小问1详解】 方法一：根据任意角三角函数的定义可得 所以. 所以的值为. 方法二：根据任意角三角函数的定义可得. 所以. 所以的值为. 【小问2详解】 方法一：由（1）知，， 所以. 所以的值为. 方法二：由（1）知，. 所以. 所以的值为. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求的值; （2）若函数，求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义得到或，代入函数解析式中，再判断函数的奇偶性即可得到答案； （2）将函数化为，按照和分别讨论函数的单调性即可得到答案. 【小问1详解】 因为函数为幂函数，则，解得或， 当时，，此时，函数为奇函数，不满足题意， 当时，，此时，函数为偶函数，满足题意， 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，的单调递增区间为． 17. 某学校计划建造一个长方体形状的体育器材室，器材室的高度为3米，宽度为米，，地面面积为144平方米.建筑公司给出两种报价方案： 方案一：器材室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总计报价记为元； 方案二：整体报价为元，. （1）当宽度为10米时，方案二的报价为37800元，求的值； （2）求方案一中总报价（单位：元）与器材室宽度（单位：米）之间的函数关系式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）15 （2）；38400 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，代入即可求解， （2）利用基本不等式即可求解， （3）根据题意列出不等式，分离参数，进而结合换元法以及函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 宽度为10米时，方案二的报价为37800元， 即，所以的值为15. 【小问2详解】 底面长为，所以墙面面积为， ， ，当且仅当，即时等号成立， 所以方案一中报价的最小值为38400元. 小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为， 设，则， 由于对勾函数在单调递增， 故当时，取最小值，所以， 又，所以， 所以若对任意的时，方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 18. 设，函数. （1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：按函数的定义域为和定义域内不含两种情况分别求解的值，并用奇函数的定义进行验证即可； 方法二：利用奇函数的定义，代入具体解析式求解的值即可； （2） 由于，可得：函数的定义域为，然后利用分离常数并利用函数单调性求解函数值域即可. （3）当时，可判断函数单调递增，进而根据已知条件可得：，即得：关于的方程有两个互异实根，最后通过换元并根据二次函数存在两个相异正根求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 （方法一）若函数的定义域内含有，则，于是，从而； 当时，检验：，定义域为，知，是奇函数，符合要求； 若的定义域内不含，则，于是； 当时，检验：，知定义域为，且，是奇函数，符合要求. 综上，实数的所有可能值是1或. （方法二）因函数是奇函数，故其定义域满足：对任意，有， 故，即， 去分母整理，得到，即，解得， 经检验，知和均为定义域内的奇函数，从而. 【小问2详解】 当时，知，故函数的定义域为， 注意到，因为，所以，即， 所以的值域为. 【小问3详解】 当时，，注意到单调递减，因此单调递增. 故，即从而关于的方程有两个互异实根. 令，则，所以方程有两个互异正根， 所以从而. 综上，实数的取值范围是. 19. 对于函数，，若存在，使得，则称是函数的不动点． （1）已知在上有且仅有一个不动点，求实数的取值范围； （2）若是增函数，且的定义域包含其值域，证明：“是的不动点”的充要条件是“是的不动点”； （3）求方程的实数解． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给定义，列出方程，令，利用换元法，可得在上只有一根，所以在上只有一根，根据对勾函数的性质，代入数据，即可得答案. （2）根据所给定义，结合充分、必要条件的定义，分析整理，即可得证. （3）将方程配方可得，令，方程变为，根据（2）结论，变形可得，利用求根公式，即可得答案. 【小问1详解】 因在上有且仅有一个不动点， 所以，在上有且仅有一个根， 令，则， 所以原式等价于，即在上只有一根， 所以在上只有一根， 设，，则， 当且仅当，即时取等号， 根据对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为， 【小问2详解】 充分性：若是的不动点，则， 所以，所以是不动点，充分性成立； 必要性：若是的不动点，则， 设，则， 因为是增函数，假设，则，即，与假设矛盾， 反之，若，则，即，与假设矛盾， 所以，即，，必要性成立， 综上，“是的不动点”的充要条件是“是的不动点”. 【小问3详解】 方程配方得， 令，方程变为， 当时，显然方程不成立， 当时，单调递增，且值域为，满足定义域包含其值域， 由（2）可得，等价于的解，即， 所以，解得， 所以方程的实数解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $