25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 配方法 解一元二次方程 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 学习目标 新知探究 　　问题一　任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 　　能否用配方法得出它的解呢？ ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)， 3 新知探究 　　追问 1　是否可以用配方法求解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)？ 　　对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0， 　　移项，得 ax2＋bx＝－c， 　　二次项系数化为 1，得 x2＋ x＝－ 　　配方，得 ． 　　即 ．①　　　　 　　······　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 b a c a x2＋ x＋ ＝－ ＋ b a c a b 2a 2 b 2a 2 b 2a 2 x ＋ ＝ b2－4ac 4a2 4 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2−4ac 的符号有以下三种情况： (1) b2−4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 新知探究 　　追问 2　用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 时，你有哪些困惑？ b 2a 2 x ＋ ＝ b2－4ac 4a2 　　对于　　　　　　　　　 ， 怎么开平方？ 7 新知探究 　　对于　　　　　　 　　 ①，因为 a≠0，所以 4a2＞0． 　　式子 b2－4ac 的值有以下三种情况： 　　（1）当 b2－4ac＞0 时， 　　，由 ① 得 ． 　　方程有两个不相等的实数根 　　（2）当 b2－4ac＝0 时，　　　　＝0，由 ① 可知，方程有两个相等的实数根 　　（3）当 b2－4ac＜0 时， ＜0，由 ① 得 ． 　　而 x 取任何实数都不能使 成立．因此方程无实数根． b 2a 2 x ＋ ＝ b2－4ac 4a2 ＞0 b2－4ac 4a2 x＋ b 2a ＝± b2－4ac 2a x1＝ －b＋ b2－4ac 2a ， x2＝ －b－ b2－4ac 2a ． b2－4ac 4a2 x1＝ x2＝ －b 2a ． b2－4ac 4a2 b 2a 2 x＋ ＜0 b 2a 2 x＋ ＜0 8 (2) b2 − 4ac = 0， (3) b2 − 4ac ＜0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = . 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 一元二次方程的根的判别式 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ = b2 − 4ac. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 判别式的情况 根的情况 新知探究 　　当 b2－4ac≥0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的实数根可写为 x＝ 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的 求根公式. 2a －b ± b2－4ac 11 新知探究 　　追问 3　回顾推导过程，如何判别一元二次方程方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的情况？ 　　式子 b2－4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，我们把它叫作一 元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的判别式，通常用希腊字母“ Δ”表 示，即 Δ＝b2－4ac ． 　　对于方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) ， 　　当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； 　　当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 　　当 Δ<0 时，方程无实数根． 12 （1）方程2x2+x−6=0中，a= ，b= ， c= ； b2−4ac= . （2）方程5x2−4x=12中，a= ，b= ， c= ；b2−4ac= . （3）方程4x2−4x+1=0中，a= ，b= ， c= ；b2−4ac= . −4 1 −6 49 5 −4 −12 236 4 2 1 0 先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c： 按要求完成下列表格： 方程 Δ的值 根的 情况 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 新知探究 　　追问 4　观察根的判别式与求根公式，它们都是由谁确定的？ 根的判别式与求根公式都是由方程 ax2＋bx＋c＝0 的系数 a，b，c 确定 当Δ≥0时，求根公式 2a －b ± b2－4ac x＝ Δ＝b2－4ac 15 新知探究 　　追问 5　如何用求根公式解数字系数的一元二次方程？ 　　知道了方程的系数，就可以用根的判别式判别方程的根的情况； 　　若有实数根，可以用求根公式直接求得方程的解． 　　求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以 直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法． 16 1. [石家庄期中]一元二次方程x2－4x＋3＝0的根的判别式的值是(　　) A．28 B．4 C．25 D．16 B 17 2. 关于x的方程x2＋mx＝3的根的判别式的值是(　　) A．m2－12 B．m2＋12 C．m2－3 D．m2＋3 B 例题精讲 　　例　用公式法解下列方程： 　　（1）x2－4x－7＝0；　　 　 （2）2x2－2 2x＋1＝0； x1＝x2＝－ ＝－ ＝ ． －2 2 2×2 b 2a 2 2 　　解：（1）因为 a＝1，b＝－4，c＝－7， 所以 Δ＝b2 － 4ac ＝(－ 4)2 － 4×1×(－ 7) ＝44＞0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 x＝ －b± b2－4ac 2a ＝ －(－4)± 44 2×1 ＝2± 11 ， x1＝2＋ 11，x2 ＝2－ 11 ． 　　解：（2）因为 a＝2，b＝－2　2， c＝1，所以 Δ＝b2－4ac＝(－2　2)2－ 4×2×1＝0． 　　方程有两个相等的实数根， 19 例题精讲 　　（3）5x2－3x＝x＋1；　　 　 （4）x2＋17＝8x． 　　解：（3）方程化为 5x2－ 4x－1＝0． 因为 a＝5，b＝－4，c＝－1，所以 Δ＝ b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0． 　　方程有两个不相等的实数根， 　　即 　　解：（4）方程化为 x2－8x＋17＝0． 因为 a＝1，b＝－8，c＝17，所以 Δ＝ b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0， 　　方程无实数根． x＝ －b± b2－4ac 2a ＝ －(－4)± 36 2×5 ＝ ， 4±6 10 x1＝1，x2＝－ ． 1 5 20 3. [扬州中考]关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的情况，下列结论正确的是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 A 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 22 课堂小结 　　回顾本节课所学内容，请思考并回答下面的问题： 　　（1）如何推导一元二次方程根的判别式和求根公式？体现了什么数 学思想方法？ 　　（2）推导一元二次方程根的判别式和求根公式的过程中，遇到了哪 些困难？如何解决的？ 　　（3）如何判别一元二次方程的实数根的情况？ 　　（4）用公式法解数字系数的一元二次方程的具体步骤是什么？需要 注意什么？ 23 谢谢大家聆听 $