第 12 章 因式分解单元测试 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级第一学期能力进阶卷

《第 12 章 因式分解》单元测试 沪教版（五四制）2026-2027学年

 七年级第一学期 能力进阶卷

（满分：100 分）

一、填空题（本大题共 12 题，每题 2 分，满分 24 分）

1.因式分解：________.

2.因式分解：________.

3.因式分解：________.

4.因式分解：________.

5.因式分解：________.

6.关于 、 的整式 能分解为 与 的积，其中 、 为整数，则 ________.

7.已知关于 、 的代数式 能分解为两个一次因式的乘积，那么有理数 是________.

8.已知 ，且 与 的值都为质数，如果 ，那么 ________.

9.当 时， 的最大值是________.

10.因式分解：________.

11.因式分解：________.

12.已知一个三位数，百位上的数加 1 或减 1 后的结果都是完全平方数，那么这个三位数是________.

二、选择题（本大题共 6 题，每题 3 分，满分 18 分）

13.整式 与整式 的乘积为 ，整式 是（　　）.

A.  B.  C.  D.

14.若整式 在整数范围内可以因式分解，则整数 的不同取值有（　　）.

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

15.已知整式 有一个因式是 ，则 的值是（　　）.

A. 8 B. -8 C. 12 D. -12

16.能被 之间的某个正整数整除，这个数是（　　）.

A. 67 B. 68 C. 70 D. 72

17.方程 的整数解的组数为（　　）.

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

18.如果 ，那么 、、、的大小关系是（　　）.

A.  B.  C.  D.

三、解答题（本大题共 5 题，每题 6 分，满分 30 分）

19.因式分解：.

20.因式分解：.

21.因式分解：.

22.因式分解：.

23.因式分解：.

四、解答题（本大题共 4 题，满分 28 分）

24.(6 分) 求 的值.

25.(6 分) 已知 能被 整除，求整数 、、的值.

26.(8分)智能手机、电脑与智能手表的核心元件为芯片. 如果将芯片主板比作一座城市，那么其内部的各种功能模块就像是组成城市的建筑. 芯片设计师需要合理地规划模块排布，在不留空隙的前提下紧凑布局，以此缩小主板面积、优化芯片性能. 模块排布越紧凑，信号传输损耗越小，芯片综合性能越优异. 现以芯片设计师的视角分析：研发部门提供了如图所示的 A、B、C 三种模块. 拼接时，模块无缝贴合、不可裁切.

(1)研发部门提供4块A模块、26块B模块、37块C模块，从中选取若干模块无缝密铺成一块正方

形芯片主板，在现有数量限制下尽可能多地使用模块，求取用三种模块的数量与对应正方形芯片主板的边长；

(2)研发部门提供4块A模块、8块B模块、3块C模块，模块不可裁切，全部拼接为长方形芯片主板，求所得长方形主板的长与宽；

(3)芯片主板上拼接越多的模块，智能芯片的性能越好，其运行得越快、效率越高. 现在厂家提供了A模块、B模块、C模块各7块，要如何设计主板，才能使其性能更好？

27.(8分)索菲·热尔曼是法国历史上一位著名的女性数学家，是历史上第一位获得“科学院金质奖章”的女性. 在热尔曼研究数论的过程中，她需要处理一类特殊的代数式：.

这个式子看起来很简单，既没有公因式可提，也不能直接套用我们熟悉的平方差或完全平方公式. 但热尔曼想出了一个巧妙的办法：添项.

她发现，只要在式子中同时加上和减去 ，就能创造出新的结构：

这个分解式虽然简单，但在数论证明中却非常有用. 后来的人们为了纪念她的巧妙思路，就把它称作“热尔曼恒等式”.

请结合“热尔曼恒等式”的添项思路，解决下列问题.

(1)因式分解：；

(2)因式分解：；

(3)因式分解：. 提示：；.