第十二章 因式分解重难点检测卷 -2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第十二章 因式分解重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 是整式乘法运算，结果不是整式积的形式，不符合要求； B. 是整式乘法运算，结果不是整式积的形式，不符合要求； C. 结果不是整式积的形式，不符合要求； D. ，左边是多项式，右边是整式的积，且等式左右相等，符合因式分解的定义，符合要求． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如果把二次三项式进行因式分解，可以得到，那么常数m的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】将展开，根据因式分解得到，再根据同类项部分系数相同可得，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，解得：， 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解题的关键是将多项式正确展开． 3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）把多项式分解因式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】此题考查了利用提公因式法和公式法分解因式，正确掌握分解因式的方法是解题的关键． 4．（25-26七年级上·安徽·寒假作业）老师在课堂上布置了用平方差公式分解因式的题目：①；②；③；④．小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】解：①，能利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ②，不能利用平方差公式因式分解的，符合题意； ③，能利用平方差公式因式分解的，不符合题意； ④，能利用平方差公式因式分解的，不符合题意． 故选：B． 5．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式因式分解与展开的逆用，抓住 “看错系数但正确系数不变” 的特点是解题的关键． 甲看错了的值但正确，从甲分解结果求；乙看错了的值但正确，从乙分解结果求，再计算即可． 【详解】∵ 甲看错了的值，分解结果为， 展开得， ∴ ， ∵ 乙看错了的值，分解结果为， 展开得， ∴ ， ∴． 故选：A． 6．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算四个小图形的面积之和，再确定拼成的大长方形的长和宽，根据面积相等即可得出多项式的因式分解形式，注意因式分解是将和化为积的形式． 【详解】解：∵四个小图形的面积分别为：，，，， ∴四个图形的面积之和为：， 又∵这四个图形能拼成一个大长方形， ∴大长方形的长为，宽为或长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴根据面积相等可得：且符合多项式的因式分解． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）与的公因式是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式的公因式，把两个多项式分解因式后即可得解． 【详解】解：，，则公因式为； 故答案为：． 8．（2026·贵州铜仁·模拟预测）把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【详解】解： ． 9．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）对任意整数，都能被_____整除． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式因式分解，再结合的奇偶性进行分类讨论，判断分解后式子的倍数特征，即可得到结果． 【详解】解：， ①当为偶数时， ∴是偶数，是奇数， ∴是8的倍数； ②当为奇数时， ∴是奇数，是偶数， ∴是8的倍数； 综上所述，对任意整数，都能被整除． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个__________的积的形式． 【答案】整式 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”． 【详解】解：因式分解的结果是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 故答案为：整式． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）化简，结果为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的因式分解能力．特别是对复杂三次多项式的处理技巧． 发现表达式的对称性，并通过巧妙的展开或变量替换简化计算． 【详解】解：当时， ， ∴原多项式含有因式，即含有因式， 同理，原多项式含有因式和， 又∵原式是三次对称式， ∴化简后结果不超过三次， ∴设， 令，，， ∴， 解得． ∴结果为． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将转化为，把已知条件代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 13．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）先阅读，再分解因式：，按照这种方法分解因式：________． 【答案】 【分析】仿照题干给出的添项因式分解方法，先对原式添项配成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 14．（25-26七年级下·四川达州·期末）若关于的二次三项式的因式是和，则的值是____． 【答案】2 【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可． 【详解】解：由题意得：， ． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键． 15．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 16．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 【答案】121236或361212或123612（答案不唯一） 【分析】先对多项式运用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入，计算各因式的值，将各因式的值按顺序组合即可得到密码． 【详解】解： ， 当，时，，， 将三个因式的值按顺序排列，可得密码为121236或361212或123612． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 18．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不是因式分解 (2) 是因式分解 (3) 是因式分解 (4) 不是因式分解 【分析】本题根据因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，对每个小题逐一判断即可． 【详解】（1）解：，从左到右是整式的乘法运算，结果是多项式的和的形式，不是几个整式的乘积，因此不属于因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，因此属于因式分解； （3）解：，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，因此属于因式分解； （4）解：，变形后结果仍是和的形式，不是几个整式乘积的形式，因此不属于因式分解． 20．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式整理为平方差公式的标准形式，利用平方差公式分解后化简即可； （2）把看作整体，先十字分解，再利用完全平方公式分解至彻底即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 21．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)两个连续整数的平方差必是奇数； (2)若a为整数，则能被6整除． 【答案】(1)说法正确，理由如下： 设两个连续整数为，（为整数），则平方差为， ∵为整数， ∴是偶数，是奇数， ∴两个连续整数的平方差必是奇数； (2)说法正确，理由如下： ， ∵为整数， ∴，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数， ∴三个连续整数的乘积必定能被整除，即能被6整除． 【分析】（1）设两个连续整数为，（为整数），再结合完全平方公式计算即可得证； （2）将变形为，再结合，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数，分析即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 22．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）对代数式进行因式分解． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 我们发现，代数式可写成平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得． (1)根据上述方法，因式分解：； (2)小明认为：“对于形如（n为正整数）的多项式，都能用这种方法进行因式分解．”请你判断这个说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出反例并解释原因． 【答案】(1) (2)正确，理由如下： ， 因此，对于形如（n为正整数）的多项式均可用此法因式分解． 【分析】（1）根据新方法，用构造出平方项，再进行因式分解； （2）仿照（1）的方法，进行解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）略 24．（24-25七年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 25．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 因式分解重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：因式分解全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）如果把二次三项式进行因式分解，可以得到，那么常数m的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）把多项式分解因式，结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽·寒假作业）老师在课堂上布置了用平方差公式分解因式的题目：①；②；③；④．小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（　　） A．① B．② C．③ D．④ 5．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出一个多项式的因式分解（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）与的公因式是________． 8．（2026·贵州铜仁·模拟预测）把多项式分解因式的结果是______． 9．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）对任意整数，都能被_____整除． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个__________的积的形式． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）化简，结果为_______． 12．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，，则代数式的值为_____． 13．（25-26七年级上·湖南张家界·期末）先阅读，再分解因式：，按照这种方法分解因式：________． 14．（25-26七年级下·四川达州·期末）若关于的二次三项式的因式是和，则的值是____． 15．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 16．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 18．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2)． 21．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)两个连续整数的平方差必是奇数； (2)若a为整数，则能被6整除． 22．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 23．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）对代数式进行因式分解． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 我们发现，代数式可写成平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得． (1)根据上述方法，因式分解：； (2)小明认为：“对于形如（n为正整数）的多项式，都能用这种方法进行因式分解．”请你判断这个说法是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出反例并解释原因． 24．（24-25七年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 25．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 学科网（北京）股份有限公司 $