第26章 二次函数 单元测试试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册第26章《二次函数》单元测试试卷（精品） （满分：150分 时间：120分钟） 姓名： 班级： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的值可能是（     ） A． B． C． D．1 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 4．已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能为（    ）． A．  B． C．  D．   7．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 8．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 9．抛物线的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是下列结论中： ；；方程有两个不相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点坐标为；若点在该抛物线上，则． 其中正确的有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____． 12．二次函数化成的形式是_________． 13．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为______米． 14．抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新图象的解析式为______． 15．二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_________． 16．如图，这是四个二次函数的图象，则a，b，c，d的大小关系为________． 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 17．(12分）利用描点法画二次函数的图象，列表如下： … … … … (1)该二次函数的顶点坐标是________． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． (3)当时，写出自变量的取值范围：________． 18．(10分）已知关于的函数． (1)当为何值时，此函数是二次函数？ (2)当为何值时，此函数是一次函数？ 19．(10分）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 20．(10分）已知二次函数（为常数）的图象经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)将抛物线先向左平移（）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求的值． 21．(10分）已知二次函数的部分图象如图所示． (1)该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 　 　； (2)求这个二次函数的解析式； (3)直接写出满足时x的取值范围． 22．(10分）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况进行了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出数量） (1)求出与之间的函数解析式； (2)若该菊花茶某月的总销售利润为元，求关于的函数解析式，当售价为多少元/两时，销售利润最大？ 23．(10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组用总长为28米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花园，墙长8米，设的长为米，矩形花园的面积为平方米．    (1)写出关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当为多少时，取得最大值，最大值是多少？ 24．(12分）如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿线段向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接，设运动时间为，的面积为． (1)写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (2)当为何值时，的面积取得最大值，最大值为多少? 25．(12分）一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米． (1)按如图所示建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由： (3)假设出手的角度和力度都不变，请直接回答：小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B D B C B B 1．D 【分析】本题考查二次函数的定义，需依据二次函数的一般形式判断各选项的函数类型．形如（、、为常数，且）的函数是二次函数． 【详解】解：二次函数的一般形式为（、、为常数，且）． A选项是一次函数，不符合二次函数定义； B选项是一次函数，不符合二次函数定义； C选项是反比例函数，不符合二次函数定义； D选项符合二次函数的一般形式，其中，是二次函数． 故选：D． 2．D 【分析】找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：，解得， 可知若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是， 则a的值可能是1． 3．C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 4．B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先把一般式化为顶点式，得出函数图象的对称轴为直线，开口向上，算出，，对应的函数值，即可得出y的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， ∴y的取值范围是：， 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵是抛物线上的三点，且， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了一次函数图象及二次函数的图象，根据直线和抛物线的图象的交点在轴上则可判断A，根据抛物线的图象经过原点则可判断B和C，直线和抛物线的图象得，，，则可判断D，熟练掌握一次函数及二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，即：， ，即或， 则直线和抛物线的图象的交点在轴上，则A不满足，故不符合题意； 当时，，则抛物线经过原点，则B和C不满足，故不符合题意； D、直线和抛物线的图象得，，，则D满足，故符合题意， 故选D． 7．B 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题考查二次函数与不等式（组，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， 即， ∴不等式的解集为：． 故选：B． 8．C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 9．B 【分析】结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】对称轴是y轴的右侧， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故错误，不符合题意； ， ，，故正确，符合题意； 由图像得：时，与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根，故正确，符合题意； 抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为，故正确，符合题意； 抛物线的对称轴是， 有最大值是， 点在该抛物线上， ，故正确，符合题意， 本题正确的结论有：，4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解答本题的关键. 10．B 【分析】本题主要考查了一次函数及二次函数与几何动点问题的综合运用．熟练掌握动点产生的三角形面积计算方法，是解题关键． 根据题意，当Q点分别在、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用x将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可． 【详解】正方形的边长为，点P的速度为，点Q的速度为，P，Q两点同时出发，运动的时间为， ①当时，如下图， ，， ∴， ∵的面积为， ∴， 是开口向下顶点为的抛物线， ∴B、D符合； ②当时，如下图， ， 是y随x增大而减小的线段， ∴只有B符合． 故选：B． 11．且 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与二次函数的定义，解答本题的关键是明确二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．根据抛物线与轴有两个不同的交点及二次函数的定义，则且，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 12． 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的最大值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∴火箭”升空的最大高度为米， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据抛物线图象平移的性质，先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，应用“左加右减，上加下减”的规则求解． 【详解】解：原抛物线解析式为， 先向左平移3个单位，得：， 再向上平移4个单位，得：， 故答案为：或． 15．， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数图象与轴的交点得方程的两个根． 【详解】解：由图可知，抛物线对称轴为直线，且与轴的一个交点为， 根据抛物线的对称性，另一个交点到对称轴的距离与相等， ∵， ∴另一个交点的横坐标为，即交点为． 方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标， 故解为． 16． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图， ，直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格数据可知当和时，即可求出对称轴直线，进而可求出顶点坐标； （2）描点，连线，即可画出函数图象． （3）结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知当和时，， ∴抛物线的对称轴直线为， 结合表格可知该二次函数的顶点坐标是： （2）略 （3）解：，， 故由点与对称轴直线对称的点为， 结合函数图象可知：当时，． 18．(1)且 (2) 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据二次函数的定义即可求解； （2）根据一次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由二次函数的概念可得 解得且； （2）解：由一次函数的概念可得 ， 解得：或，且， ∴． 19．(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 20．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的平移变换. （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用平移的规律求得平移后的解析式，再代入原点坐标求得n的值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（h为常数）的图象经过点 ∴，解得， ∴此二次函数的表达式为； （2）解：将抛物线先向左平移个单位，再向上平移5个单位，得到，即， ∵图象恰好经过原点， ∴，解得或， ∵， ∴n的值为2． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）由图象可知抛物线的顶点，与x轴交于，可得抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性可求解； （2）由图象可知二次函数的顶点坐标和与x轴的应该解得坐标，即可利用顶点式求出二次函数解析式； （3）根据图象即可得出的x的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴交于一点为， ∴抛物线与x轴交于另一点为； （2）解：由图象可知抛物线的顶点，与x轴交于， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， 所以二次函数解析式为． （3）解：由图象可知：满足的x的取值范围是． 【点睛】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数与x轴交点坐标求法和利用二次函数图象求自变量取值范围等知识，此题是基础题． 22．(1)解：设与的函数解析式为， 将点，代入， 得， 解得 与之间的函数解析式为． (2)解：根据题意，得． ，， ∴当时，取得最大值， ∴当售价为元/两时，销售利润最大． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可求解； （2）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 23．(1)， (2)当时，有最大值，最大值为80 【分析】（1）表示出的长，再根据长方形的面积公式求解； （2）根据二次函数的性质结合x的范围求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴关于的函数表达式为； ∵x满足， ∴， （2）∵，且， ∴当时，S随着x的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为80． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24．(1)（）． (2)当时，的面积取得最大值，最大值为． 【分析】（1）用含的式子表示、，写出与的函数解析式及自变量取值范围； （2）把与的解析式化成顶点式，求面积的最大值． 【详解】（1）解：点、都以的速度同时出发， ，， ． ， ． 点、到达终点分别需、，且一点到达终点时另一点也随之停止，又时点与点重合，不存在， 自变量的取值范围是． （）． （2）解：． ， 当时，取得最大值，且在的范围内， 当时，的面积取得最大值，最大值为． 25．(1) (2) ， 当时，， 小明的这次投篮未能命中篮圈中心； (3)小明应该向前走1米才能命中篮圈中心 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与3比较即可； （3）由题意可知出手的角度和力度都不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物线的解析式为，将代入求得的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特点，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ； （2）略 （3）解：出手的角度和力度都不变， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， ， 解得：，， 向前走7米，因为原来是八米，向前七米，还剩一米呢！应该是球处于上升趋势，故舍去． 小明应该向前走1米才能命中篮圈中心． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $